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(1) Sia (X, d) uno spazio metrico. Si dimostri che d(x, z) ≥ |d(x, y) − d(y, z)|

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Academic year: 2021

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(1)

Tutorato di Geometria 3 del 10-10-2012 (P. Salvatore)

(1) Sia (X, d) uno spazio metrico. Si dimostri che d(x, z) ≥ |d(x, y) − d(y, z)|

per ogni x, y, z ∈ X.

(2) Sia d : X ×X → R

≥0

una funzione che soddisfa la diseguaglianza triangolare d(x, z) ≤ d(x, y)+d(z, y), e tale che d(x, y) = 0 se e solo se x = y. Si deduca che d soddisfa la simmetria d(x, y) = d(y, x) e quindi ` e una metrica.

(3) Si dimostri che uno spazio topologico finito ` e metrizzabile se e solo se ha la topologia discreta.

(4) Si classifichino tutte le topologie sull‘insieme {a, b, c}.

(5) Siano d

1

e d

2

due metriche su X tali che M d

2

(x, y) ≥ d

1

(x, y) ≥ N d

2

(x, y), con M, N > 0. Si dimostri che le topologie indotte su X coincidono.

(6) Siano τ

1

e τ

2

due topologie su X. Si dimostri che τ = {U

1

∩ U

2

|U

1

∈ τ

1

, U

2

∈ τ

2

}

`

e la base di una topologia, che ` e la meno fine tra quelle pi´ u fini di τ

1

e τ

2

. (7) Siano τ

1

e τ

2

due topologie su X. Si dica se τ

1

∪ τ

2

` e sempre una topologia,

giustificando l’affermazione.

(8) Sia C lo spazio delle funzioni continue da [0, 1] a R. Si dimostri che le intersezioni finite degli insiemi {f |f (x

0

) ∈ (a, b)}, al variare di x

0

∈ [0, 1]

e a, b ∈ R, costituiscono una base per una topologia τ su C. Si dica se τ ` e Hausdorff e 1-numerabile. Si confronti la topologia τ con quella della convergenza uniforme, indotta dalla metrica

d(f, g) = max

x∈[0,1]

|f (x) − g(x)|.

(9) Si determini la chiusura in R

2

del grafico della funzione x 7→ sin(1/x) definita sul dominio (0, +∞).

(10) Si dimostri che gli operatori di chiusura e di interno commutano rispetti-

vamente con le unioni e le intersezioni finite. Cosa si pu` o dire per unioni e

intersezioni arbitrarie?

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