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Simone Martini Logica e Informatica:
cosa i calcolatori possono e non possono fare
Dipartimento di Scienze dell’Informazione Alma Mater Studiorum
Università di Bologna
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Simone Martini
Professore di Informatica
Laurea in Scienze dell’Informazione, Pisa
Dottore di Ricerca in Informatica, Pisa
Insegnato a Pisa (fino al 1994) e poi Udine, fino al 2002
Ricerca: come sopra e:
Digital Eq. Co. Systems Res. Center, Palo Alto
Stanford University
École normale superieure, Parigi
Université Paris Nord
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info
E-mail:
martini@cs.unibo.it
web
www.cs.unibo.it/~martini
ricevimento studenti
mercoledì 13:30
su appuntamento per posta elettronica
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testo
un manuale autocontenuto con tutti i dettagli tecnici:
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Logica e Informatica
I materiali del corso...
La prima parte:
limiti assoluti alle possibilità del calcolo
– materiale maturo intorno al 1935!
La seconda parte:
limiti dettati dalle risorse alle possibilità del calcolo
– materiale maturo intorno al 1975
– molta ricerca ancora attiva:
• il problema aperto più importante dell’informatica teorica:
P=NP?
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Il primo atto
Circa 1930-1936
Cambridge
Vienna
Princeton
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Cambridge: Alan M. Turing
23 June 1912 in London, England
7 June 1954 in Wilmslow
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Princeton: Alonzo Church
14 June 1903 in Washington, D.C., USA
11 Aug 1995 in Hudson, Ohio
Princeton: Stephen C. Kleene
5 Jan 1909 in Hartford, Connecticut,
25 Jan 1994 in Madison, Wisconsin,
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Princeton-Vienna: Kurt Gödel
28 April 1906 in Brünn, Austria-Ungheria (Brno, Repubblica Ceca)
14 Jan 1978 in Princeton, New Jersey,
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Vienna-Princeton: John (János) von Neumann
28 Dec 1903 in Budapest, Hungary
8 Feb 1957 in Washington D.C.,
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La dote di Zeus
Formalismi per la calcolabilità effettiva
in cosa consiste una funzione effettivamente calcolabile?
(in opposizione ad enunciati puramente esistenziali)
Turing
– automa “symbol pushing”
Gödel-Kleene
– Funzioni ricorsive generali
Church
– calcolo di funzioni come riscrittura di stringhe
e molti altri...
Perché la logica se ne interessava ?
I paradossi
La soluzione matematico-logica
i Principia Mathematica
– Bertrand Russell e Alfred North Whitehead
Il programma di David Hilbert
la riduzione all’aritmetica
la dimostrazione di consistenza dell’aritmetica
Una sua componente
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Quale esito ha il programma?
Non esiste alcun procedimento meccanico per decidere della verità di un asserto:
Church
L’aritmetica (= gli asserti veri sui numeri) non corrisponde alla sua “teoria logica formalizzata”
vi sono asserti veri che non sono dimostrabili
– Gödel (I teorema di incompletezza)
la consistenza dell’aritmetica può essere dimostrata solo con strumenti più potenti di essa
– Gödel (II teorema di incompletezza)
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Ma...
Come sottoprodotto
fonda la logica matematica moderna
fonda la calcolabilità effettiva
che von Neumann trasformerà nel primo calcolatore fisico
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Torniamo a Vienna
Gödel presenta il suo primo teorema di incompletezza, 1930
Carnap, H. Hahn, H. Reichenbach, J. von Neuman
M. Schlick
L. Wittgenstein
il Tractatus logico-philosophicus,
1918-1922
Prefazione:
Quanto può dirsi, si può dir chiaro.
Proposizione 7 (l’ultima):
Su ciò, di cui non si può parlare, si deve tacere.
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Problemi di cardinalità
Quante sono le cose di cui si può parlare?
Quanti i sono i numeri?
E quanti sono i problemi numerici?
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La macchina di Turing
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Funzioni Turing-calcolabili
Fissati:
un insieme di simboli S
una codifica dei naturali con stringhe finite di S _ : Nat → S*
f : Nat
k→ Nat (parziale) è Turing-calcolabile
sse esiste una MdT M t.c.
per ogni n1,...,nk, m
f(n1,...,nk)≅m sse M(n1,...,nk) ↓m