APPUNTI DI CALCOLO ELASTICO DELLE PIASTRE SOTTILI

(1)

LAUREA QUINQUENNALE IN ARCHITETTURA INGEGNERIA a.a. 2009-2010

CORSO DI

TECNICA DELLE COSTRUZIONI

Prof. Roberto Capozucca

APPUNTI DI CALCOLO ELASTICO DELLE PIASTRE SOTTILI

Generalità

E’ tradizione consolidata dei corsi di Tecnica delle Costruzione delle Facoltà di Ingegneria riprendere l’analisi dei continui elastici bidimensionali – piastre e lastre – o quelli di a sviluppo spaziale – gusci, per le numerose applicazioni che si riscontrano nella pratica tecnica delle strutture in cemento armato, in acciaio o nelle più tradizionali strutture in muratura di edifici monumentali.

In quanto segue l’attenzione sarà rivolta alla teoria delle piastre sottili in grado di mantenere un regime flessionale prevalente a quello membranale e costituite di materiale isotropo. Il problema dell’equilibrio elastico della piastra sottile viene ricondotto alla soluzione di un’equazione differenziale alle derivate parziali, associata a particolari condizioni al contorno, in cui è la superficie elastica è incognita. Soluzioni ancora efficaci per gli ingegneri strutturisti sono praticabili mediante uno sviluppo in serie di funzioni che, per la rapida convergenza delle serie adottate, permettono di determinare i valori degli spostamenti e sollecitazioni in modo semplice ed utile per il controllo di soluzioni spesso onerose ottenibili con codici di calcolo agli elementi finiti usualmente utilizzabili.

Si discutono le soluzioni con lo sviluppo in serie semplici ed in serie doppie.

Inoltre, come esempio applicativo, si controlla il comportamento di un modello sperimentale di piastra quadrata in conglomerato cementizio rinforzato appoggiata su tutti i lati sottoposta ad un carico distribuito su un’area quadrata limitata.

(2)

2 Proprietà dei materiali e legge dell’elasticità

Nello studio del continuo si considera che i materiali posseggano alcune particolari proprietà fisiche. In particolare, un materiale si definisce perfettamente elastico se a seguito della rimozione del carico riassume completamente la forma originaria. Matematicamente la proprietà elastica è descritta dalla legge di Hooke.

Un corpo che mostra lo stesso comportamento elastico in tutte le direzioni è chiamato isotropo.

Nel caso in cui il corpo possieda differenti proprietà elastiche nelle due direzioni ortogonali è detto ortotropo. L’ortotropia è solo un caso particolare di anisotropia. Nell’analisi delle strutture impiegate nell’ingegneria si distinguono due tipologie di elementi ortotropi: l’ortotropia naturale, conseguente alle proprietà fisiche del materiale che differiscono lungo le varie direzioni, l’ortotropia strutturale, che comprende gli elementi rinforzati per motivi di resistenza e stabilità, come le piastre nervate. Le proprietà elastiche variabili in questi casi possono essere espresse dalle differenti rigidezze torsionali e flessionali nelle due direzioni. In campo elastico questo secondo gruppo può essere trattato con la stessa teoria impiegata per le piastre ortotrope con qualche modifica.

Per la soluzione del problema della distribuzione delle tensioni e delle deformazioni in un corpo isotropo, è necessario utilizzare equazioni che tengano conto delle stesse proprietà nelle varie direzioni.

La relazione generale di elasticità è esprimibile nel modo seguente

_ij C_ijkl_kl (1) Secondo la notazione di Voight:

33 33

31

23 22

21

13 12

11

;

























z zy

zx

yz x

yx

xz xy

x

(2)

Esplicitando una delle componenti di tensione (ad esempio _x), si ricava:





₁₁ ₁₁₁₁₁₁ ₁₁₁₂₁₂ ₁₁₁₃₁₃ ₁₁₂₁₂₁ ₁₁₂₂₂₂ ₁₁₂₃₂₃ ₁₁₃₁₃₁

_x C C C C C C C

 C₁₁₃₂₃₂C₁₁₃₃₃₃

(3)

In generale, ogni componente di tensione si scrive attraverso 9 costanti elastiche;

essendo 9 il numero delle componenti di tensione ( per i,j=1,3) si ottengono 81 _ij costanti elastiche. Poiché risulta_ij _ji e _ij _ji, le componenti di tensione indipendenti sono 6 e quindi le costanti della (3.1) diventano 36. L'equazione (3.1), per le condizioni di elasticità di Green, richiede che sia verificata anche la seguente condizione:

C₍_ij₎₍_kl₎ C₍_kl₎₍_ij₎ (3) Quindi le 36 costanti elastiche si riducono a 21. Se ci sono simmetrie del materiale, le 21 costanti presenti nei legami possono essere ancora ridotte.

MATERIALE ANISOTROPO

L'equazione (3.3) può essere scritta in forma matriciale esplicitando le 21 costanti:

zx yz xy z y x





=

66 65 64 63 62 61

56 55 54 53 52 51

46 45 44 43 42 41

36 35 34 33 32 31

26 25 24 23 22 21

16 15 14 13 12 11

c c c c c c

zx yz xy z y x





(4)

essendo le costanti c_ij (i,j=1,6) legate alle costanti C_ijkl (i,j,k,l=1,3) dell'equazione (1). Per esempio :

1111

11 C

c  ;

1123

15 C

c  ;

1212

44 C

c  ;

….

MATERIALE ORTOTROPO

Un materiale ortotropo possiede una simmetria elastica rispetto a 3 assi perpendicolari. Considerando le coordinate dei tre assi x,y,z perpendicolari a tre piani di simmetria, si possono determinare alcune relazioni tra le costanti dell'equazione (3.4). Si hanno quindi solo 9 costanti elastiche:

(4)

zx yz xy z y x





=

66 55 44 33 23 22

13 12 11

0 0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

0 0 0

c c c c c c

c c c

zx yz xy z y x





(5)

Se si utilizzano le notazioni dei moduli elastici definiti ingegneristicamente si perviene alla seguente forma dei legami elastici:

zx yz xy z y x





=

zx yz xy z

y yz x

yz

z zy y

x xy

z zx y

yx x

G G G E E E

E E

E

E E

E

0 1 0 0

0 0

1 0 0 0

0 0

0 1 0

0 0

0

0 0 1 0



 



zx yz xy z y x





(6)

Sono inoltre presenti ulteriori legami:

) ; 2 1 (

x zx z

x z zx

z yz y

z y yz

y xy x

y x xy

E E

E G E

E E

E G E

E E

E G E





 



 



 

(7)

in cui

z y

x E E

E , , = moduli di Young nelle direzioni x,y,z;

G_xy,G_yz,G_zx= moduli di taglio per piani paralleli, rispettivamente, alle coordinate x-y,y-z e z-x. (per esempio, il modulo di G_xy caratterizza la deformazione

 prodotta dalla tensione tangenziale xy  ); _xy

(5)

 (i,j=x,y,z) = coefficienti di Poisson che caratterizzano la deformazione di ij

compressione nella direzione j (direzione dell'effetto) prodotta dalla tensione di trazione nella direzione i ( direzione dello sforzo).

Per le condizioni di simmetria espresse dalle relazioni di Green, si ha inoltre:

zx x xz z

yz z zy y

xy y yx x

E E





(8)

L'equazione (6) contiene 12 costanti, ma soltanto 9 sono indipendenti essendo valide le relazioni (8).

MATERIALE ISOTROPO

L’isotropia rappresenta la più completa simmetria di comportamento e riconduce il legame elastico lineare a 2 sole costanti indipendenti, per cui i legami costitutivi per un materiale elastico lineare ed isotropo risultano in definitiva:

zx yz xy z y x





=

G G G E E E

E E

E

E E E

0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0

0 0 0

0 0 1 0





zx yz xy z y x





(9)

(6)

3 Legami costitutivi per piastre isotrope

Nel caso delle piastre isotrope, in cui il continuo elastico è costituito da un solido bidimensionale con riferimento xoy, le relazioni elastiche sono espresse nel modo seguente:

















 







G

E E

xy xy

x y y

x y x

 

 



 

 

(10)

essendo G il modulo di taglio esprimibile con

) 1 ( 2 

 E

G (11) Le deformazioni _x e _y sono state ottenute utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti. Infatti, se si considera un elemento di piastra isotropa, rappresentato in Fig. 3.1, con i lati paralleli agli assi coordinati e soggetta all’azione della tensione normale sxuniformemente distribuita sui due lati opposti, l’ampiezza dell’elongazione in direzione x è data dall’espressione:

E

x x

  (12)

in cui E è il modulo elastico per la piastra ortotropa in direzione x.

L’estensione dell’elemento in direzione x è accompagnata dalla contrazione laterale in direzione y data dall’espressione:

E

x



 (13) in cui  è il rapporto di Poisson che rappresenta il coefficiente di contrazione in direzione normale all’asse delle x per sollecitazione in direzione x.

Analogamente, la tensione  produce due componenti di deformazione. Quindi se _y agiscono contemporaneamente le tensioni normali _xe  , si ottengono le relazioni _y

(7)

Fig. 1 - Effetto Poisson.

Le tensioni invece sono espresse dalle seguenti relazioni:

xy xy

x y y

y x x

G E E







 





 





 



 



) (

1

) (

1

2 2

(14)

La teoria di Lagrange

Si consideri l’elemento piano di Fig. 2 e si assuma come sistema di riferimento la terna 0, x y z con x ed y giacenti nel piano medio della piastra e z normale a questo; siano u, v e w le componenti dello spostamento secondo i rispettivi assi di riferimento. La struttura sia inoltre caricata da una distribuzione qualsiasi di forze agenti parallelamente all’asse z.

Considerato che il materiale sia perfettamente elastico, omogeneo, continuo e segua la legge di Hooke, si supponga ancora che lo spessore t sia molto piccolo rispetto alle dimensioni in pianta (circa 1/20 del lato minore).

(8)

Fig. 2 – Schema della piastra.

Quest’ultima condizione permette di formulare il problema elastico della piastra nella forma sviluppata da Lagrange.

Tale teoria si basa sulle seguenti ipotesi fondamentali:

a) i segmenti rettilinei e normali al piano medio della piastra restano tali nella configurazione deformata. L’ipotesi, detta di Kirchoff, è analoga a quella della conservazione della sezione piana per la trave ed è attendibile solo se lo spessore t è piccolo rispetto alle altre dimensioni, perché in questo caso è trascurabile la deformazione dovuta al taglio rispetto alle deformazioni provocate dai momenti flettenti;

b) le componenti u e v dello spostamento dei punti appartenenti al piano medio della piastra sono nulle, ciò significa che le componenti di deformazione sx e sy si suppongono nulle. L’ipotesi è giustificata solo se lo spessore t, pur trascurabile rispetto alle dimensioni in pianta, non è estremamente piccolo rispetto a queste:

la piastra deve essere sottile ma non troppo, altrimenti gli spostamenti w sono paragonabili a t e viene chiamata in gioco anche la resistenza membranale della piastra, con conseguente deformazione del piano medio;

c) La componente w dello spostamento in direzione normale al piano medio è indipendente dalla quota z ed è quindi funzione solo di x ed y.

Secondo le ipotesi elencate, la configurazione deformata della piastra è pertanto definita quando è nota la componente dello spostamento w(x,y) del piano medio della piastra.

(9)

Fig. 3 - Deformazioni dell'elemento di piastra.

Infatti facendo riferimento alla Fig. 3, le componenti dello spostamento u e v della fibra disposta alla quota z rispetto al piano medio della piastra, sono rappresentate dalle relazioni seguenti:

x

z w

u 

 



y z w

v 

 

 (15) E’ così possibile esprimere le componenti di deformazione del generico elementino della piastra in funzione dello spostamento w(x,y):

0

2 2

 

 



 

 

 



 

 

 

z w

y z w y v

x z w x u

z y x



0 0 2

2

 





 

 





 



 

 





 

y w z v

x w z u

y x z w x

v y u

yz xz xy



(16)

Per passare dalle componenti di deformazione (3.16) alle componenti di tensione, in virtù dell’ipotesi fatta sullo spessore della piastra, è lecito porre:

0

z (17) Infatti, indicando con p il carico sulla faccia superiore della piastra, il valore della s_z dovrà variare fra i due estremi –p per z = -t/2 e 0 per z = t/2; se la piastra è abbastanza sottile il valore di p e quindi della massima sz è trascurabile rispetto ai

(10)

risulta perciò giustificata e le componenti di tensione (14) associate alle (16) assumono la forma:

y x

w G Ez

x w y

w Ez

E

y w x

w Ez

E

xy xy

x y y

y x x



 

















 



 



 

















 



 



 



2

2 2 2

1

1 ) (

1

1 ) (

1

 



 



 



 



 



(18)

E’ opportuno precisare che le tensioni txz e t_yz , anche se le deformazioni g_xz e gyz sono considerate nulle, non possono essere uguali a zero. Infatti, considerando che per l’equilibrio alla traslazione nelle direzioni x ed y devono essere soddisfatte le equazioni

0 0

 









 









z y

x

z y

x

yz y

xy

xy xz x







 



(19)

sostituendo in esse le (18), si ricava:

y w Ez y

w x

w y Ez z

x w Ez y

w x

w x Ez z

yz xz

 



 



 











 



 



 



 











 



2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

1 1









(20)

con operatore matematico o laplaciano.

Integrando le (3.20) rispetto a z e ricordando che txz e tyz assumono valore nullo per z =  t/2, si ha infine:

y w z t Ez

x w z t Ez

yz xz

 

 



 



 

 



 

 



 



 

 



2 8 1

2 2 2

 

(21)

A meno che risulti w = cost, è quindi evidente che le (21) sono diverse da zero: la contraddizione, per il fatto che le gxz e gyz sono invece nulle, dipende