IV Rappresentazione dell elica. I Geometria dell elica. Considerazioni generali. Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1

IV Rappresentazione dell’elica

In questo capitolo saranno descritte la geometria dell’elica navale e le sue più importanti caratteri- stiche, unitamente alla metodologia per disegnare le tavole che sono utilizzate usualmente per la rappresentazione dell’elica.

I Geometria dell’elica

I1 Considerazioni generali

L’elica è ancora oggi il sistema di propulsione più usato in campo navale, essendo il mezzo propul- sivo più pratico e solitamente il più efficiente tra quelli disponibili. [In inglese l’elica viene denomi- nata screw propeller, o più semplicemente propeller].

Figura IV-1

L’elica è costituita da un certo numero di pale [blades] (da 2 a 7) calettate ad un mozzo [hub; boss].

Il numero delle pale di un’elica è indicato con il simbolo Z. Queste possono essere fisse od orienta- bili e di conseguenza l’elica viene denominata rispettivamente a pale fisse [Fixed Pitch Propeller o FPP] od a pale orientabili [Controllable Pitch Propeller o CPP]. Nella Figura IV-1 è rappresentata una vista assonometrica di una pala e del mozzo di un’elica.

L’elica viene solitamente riferita ad una terna di assi ortogonali XYZ orientati rispettivamente verso prora, verso sinistra e verso l’alto. Nella presente trattazione l’asse X coincide con l’asse (di rota- zione) dell’elica [shaft axis], mentre il piano coordinato YZ coincide con il piano del disco (dell’elica) [propeller plane]. Quest’ultimo viene definito come il piano normale all’asse di rotazio- ne dell’elica contenente l’intersezione tra lo stesso asse e la generatrice.

Il verso di rotazione dell’elica, visto da poppa, può essere orario od antiorario. Nel caso in cui per imprimere allo scafo un moto in avanti l’elica, vista da poppa, debba ruotare in senso orario si dice che l’elica è destrorsa [right handed] mentre nel caso contrario l’elica è sinistrorsa [left handed].

L’elica rappresentata in figura è destrorsa.

Normalmente l’elica non viene rappresentata mediante assonometria, ma utilizzando proiezioni or- togonali. Le figure seguenti sono un esempio delle tre proiezioni ortogonali corrispondenti alla vista assonometrica della Figura IV-1.

Figura IV-2

Figura IV-3

Il disegno dell’elica è limitato alle rappresentazioni di una delle pale in quanto la presenza di tutte le pale sui disegni ne complicherebbe notevolmente la comprensione senza nulla aggiungere al conte- nuto di informazioni dal momento che tutte le pale sono eguali. Con queste premesse il numero di pale dell’elica deve sempre essere indicato sui disegni dal momento che esso non è desumibile dalla rappresentazione grafica.

Generalmente la proiezione della pala sul piano XY non viene utilizzata ma è stata qui riportata poiché permette di mettere in evidenza le due superfici di ciascuna delle pale. La superficie poppie- ra viene chiamata faccia [face], mentre quella prodiera prende il nome di dorso [back].

Nella proiezione sul piano YZ la pala viene sempre vista da poppa, mentre nella proiezione sul pia- no XZ l’elica è sempre vista da destra in modo che la parte prodiera dell’elica risulti a destra.

Figura IV-4

Sul contorno della pala possono essere individuati tre punti notevoli, indicati nelle figure con le let- tere E, U e T. I punti E ed U rappresentano le intersezioni del contorno della pala con il mozzo, mentre il punto T [dall’inglese tip] rappresenta l’estremità della pala ovvero il punto della pala più distante dall’asse di rotazione.

Il tratto di contorno delle pale compreso tra i punti T ed E viene denominato lembo di entrata, [lea- ding edge, LE] poiché esso è la prima parte della pala che incontra l’acqua nel corso del moto di ro- tazione dell’elica; secondo analoga logica il tratto di contorno compreso tra i punti T ed U prende il nome di lembo di uscita [trailing edge, TE].

Se l’elica è destrorsa, nella proiezione sul piano YZ il lembo di entrata è quello a destra dell’osservatore, quello a sinistra se l’elica è sinistrorsa. Nella proiezione sul piano XZ il lembo di

entrata è sempre quello più a proravia.

Il diametro (dell’elica) [(propeller) diameter] D coincide con il diametro del cerchio circoscritto al- la proiezione dell’elica sul piano YZ. L’area del disco dell’elica, detta semplicemente area del disco [disk area] ed indicata con il simbolo AO, vale ovviamente πD²/4.

Il diametro del mozzo [hub diameter] dh coincide con il diametro della sezione del mozzo fatta in corrispondenza della sua intersezione con la linea generatrice (la definizione di questa linea è data al paragrafo successivo). Il rapporto dh/D [hub ratio] ha normalmente valori attorno a 0.18 per eli- che a pale fisse, mentre per eliche a pale orientabili i valori salgono fino a 0.30.

I2 L’elicoide

Per le eliche di concezione più semplice la faccia della pala appartiene ad un elicoide cilindrico, su- perficie che può essere ottenuta dal moto combinato di rotazione e traslazione di un segmento di ret- ta detto generatrice [generating line GL]. La generatrice può anche non essere normale all’asse X, dando luogo a pale più o meno abbattute, ed in casi particolari può non essere rettilinea.

Consideriamo ad esempio la Figura IV-5, in cui la pala è stata sezionata con un cilindro di raggio r coassiale all’asse di rotazione dell’elica.

Figura IV-5

L’arco EMU rappresenta l’intersezione della faccia della pala con il cilindro coassiale. Dal momen-

to che la faccia della pala appartiene ad un elicoide cilindrico l’arco EMU appartiene alla spira di elica che si ottiene sezionando l’elicoide con un cilindro, ad esso coassiale, avente raggio r. La ge- ometria della pala può quindi essere descritta facendo uso delle equazioni che caratterizzano una spira di elica in una terna di assi ortogonali XYZ.

Con riferimento alla Figura IV-6 si definisce passo P della spira di elica la distanza in direzione X fra due punti omologhi appartenenti alla spira. Dal momento che la spira di elica è stata ottenuta se- zionando l’elicoide, il passo della spira di elica coincide con il passo dell’elicoide. Inoltre, avendo stabilito che la faccia della pala giace sull’elicoide, il passo così definito corrisponde anche al passo dell’elica [propeller pitch o più semplicemente pitch]. Il passo dell’elica può anche essere definito come la quantità di cui l’elica avanzerebbe in direzione assiale, a fronte di un giro completo, se essa si avvitasse in un mezzo non cedevole.

L’arco EMU della Figura IV-5 fa quindi parte della spira di elica, rappresentata nella Figura IV-6, passante per i punti AUMEB ed avente passo P.

X

Y

Z

E U

E0

U0

M P

A

B

Figura IV-6

Le figure seguenti, da Figura IV-7 a Figura IV-9, rappresentano le proiezioni ortogonali dell’elicoide.

X

Z

U

E M

E0

U0

Y

ϕ x

y

A B

P

Figura IV-7

Z

X E

U M

z

x

A B

P

Figura IV-8

Si consideri l’angolo γ indicato nella proiezione YZ in Figura IV-9 e misurato a partire dall’asse Z.

Esso è positivo anche se in questa proiezione appare di senso orario poiché questa proiezione è, come detto in precedenza, sempre vista da poppa, cioè dal lato negativo dell’asse X. Percorrendo la spira di elica a partire dal punto M, a fronte della rotazione γ attorno ad X si passa al punto E spo- standosi della quantità x in direzione assiale. La quantità x è ovviamente legata al passo P della spi- ra di elica dalla relazione:

2 x γE P

= π (B.1)

Y

Z

U0 ≡ U _γΕ E0≡ E

M

y

z r

Figura IV-9 per comodità si suole definire:

2 p P

= π (B.2)

e la grandezza p viene definite passo ridotto.

Sulla base di questa definizione le coordinate di un generico punto della spira di elica rappresentata in Figura IV-6 sono espresse dalle relazioni:

sin cos x p

y r

z r γ

γ γ

=



 = −

 =

(B.3)

Nel caso in cui il senso di avvolgimento della spira di elica fosse contrario a quello illustrato, e cioè in caso di elica sinistrorsa, le relazioni (B.3) si trasformerebbero come segue:

sin cos

x p

y r z r

γ γ γ

= −

 =

 =



(B.4)

dal momento che un avanzamento positivo in direzione X avverrebbe a fronte di una rotazione nel senso negativo di γ.

Occorre, a questo punto, ricavare una relazione tra la lunghezza di un arco di spira di elica e l’angolo γ corrispondente. A questo scopo ricordiamo la relazione che esprime la lunghezza di un arco infinitesimo di curva ds in funzione di dx dy dz :

2 2 2

ds= dx +dy +dz (B.5)

Affinché la relazione (B.5) rappresenti la lunghezza di un arco infinitesimo dell’elicoide rappresen- tato nelle figure precedenti occorrerà differenziare le relazioni (B.3) e sostituire nella (B.5). Dalla (B.3) si ottiene:

cos sin dx pd

dy r d

dz r d

γ γ γ γ γ

=

 = −

 = −



(B.6)

Sostituendo queste relazioni nella (B.5) si ottiene:

( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

cos sin

cos sin

cos sin

ds p d r d r d

p r r d

p r d

γ γ γ γ γ

γ γ γ

γ γ γ

= + +

= + +

= + +

da cui si ricava infine:

2 2

ds= p +r dγ (B.7)

Utilizzando quest’ultima relazione è possibile calcolare la lunghezza dell’arco ME:

q ^{2 2 2 2 2 2}

0 0

E E

ME=

∫

da cui si ottiene la relazione:

q

2 2

E

ME

p r

γ =

+ ^(B.8)

Risulta a questo punto evidente che conoscendo le lunghezze degli archi ME ed MU è possibile, uti-

lizzando le relazioni (B.8) e le (B.3) o (B.4) a seconda del caso, determinare le coordinate cartesiane dei punti U ed E.

I3 Le sezioni di pala

Consideriamo ancora una sezione di pala come quella rappresentata in Figura IV-5, ed immaginia- mo di sviluppare il cilindro contenente la sezione. A seconda del tipo di elica il risultato potrebbe essere il profilo alare [airfoil], detto anche più semplicemente profilo [profile], rappresentato nella Figura IV-10.

traccia dell'intersezione del piano YZ con il cilindro

traccia dell'intersezione del piano XZ con il cilindro

c

porzione di spira di elica di raggio r ≡ linea del passo

ϕ

LE ≡ E

TE ≡ U

Figura IV-10

La parte di profilo che per prima incontra il fluido viene denominata lembo di ingresso in analogia a quanto avviene per la pala. Il lembo di uscita è generalmente di spessore trascurabile. Il lembo di ingresso è geometricamente definito come il punto del profilo più distante dal lembo di uscita. Il segmento di retta condotto dal lembo di ingresso al lembo di uscita è denominato corda [chord] del profilo e la lunghezza della corda viene indicata con c. Nel caso in cui il lembo di uscita abbia spes- sore non trascurabile la corda è definita come il segmento di retta condotto tra i due punti più di- stanti del profilo.

È importante notare che per l’elica la cui sezione generica è rappresentata in Figura IV-10 sono le corde dei profili ad appartenere all’elicoide cilindrico e non la faccia della pala come invece avvie- ne per le eliche di concezione più semplice. Questa caratteristica risulta evidente dal fatto che la corda giace sulla porzione di spira di elica che si ottiene sezionando l’elicoide cilindrico con un ci- lindro ad esso coassiale.

La porzione di spira di elica viene anche chiamata linea del passo in quanto considerando l’intersezione tra l’elicoide ed il cilindro, limitatamente alla parte compresa tra punti omologhi sulla spira di elica, ed immaginando si sviluppare la superficie cilindrica si otterrebbe un triangolo ret- tangolo avente come base un segmento pari allo sviluppo della circonferenza direttrice del cilindro e quindi avente lunghezza 2πr e come altezza un segmento avente lunghezza pari al passo dell’elicoide e della spira di elica.

L’angolo ϕ è detto angolo di passo ed è collegato alla sezione in esame dalla relazione:

arctan 2

P ϕ r

= π (B.9)

La distribuzione del passo lungo il raggio dell’elica può essere costante o variabile; in questo caso si ha un’elica a passo variabile.

È evidente che la distribuzione del passo lungo il raggio ha un legame diretto con la geometria delle pale. Consideriamo, ad esempio, un’elica a passo costante lungo il raggio. In base alla relazione (B.9) risulta evidente che variando r mantenendo costante il passo P l’angolo ϕ si modifica a sua volta.

2πr2

2πr1

P ϕ1

ϕ2

linee del passo

Figura IV-11

La Figura IV-11 riporta lo sviluppo si due spire di elicoide, caratterizzate dal medesimo passo, gia- centi su due cilindri coassiali di raggio r1 ed r2 rispettivamente. Questa situazione illustra la varia- zione dell’angolo di passo ϕ per due sezioni di pala poste a raggi differenti in un’elica a passo co- stante. In particolare si può notare che le sezioni più vicine al mozzo sono caratterizzate da angoli di passo maggiori.

Piano del disco

Generatrice dei cilindri

r/R = 0.2

0.30.40.50.60.70.8 0.9

Figura IV-12

In Figura IV-12 sono riportate le sezioni sviluppate di una pala di elica a passo costante. Si può no- tare come l’angolo di passo decresca continuamente via via che la sezione si allontana dal mozzo.

Risulta così evidente il motivo dello svergolamento delle pale delle eliche navali.

TE LE

= =

c

SRP X Y

Figura IV-13

In generale l’origine del sistema di riferimento locale di un profilo coincide con il lembo di ingresso ed ha l’asse X giacente sulla corda e diretto verso il lembo di uscita, mentre l’asse Y è normale ad X ed orientato verso l’alto. Se non diversamente specificato il punto a metà corda viene denominato punto di riferimento della sezione [(blade) section reference point SRP]. Tale punto viene utilizzato per definire la posizione della sezione rispetto alla linea generatrice. La linea che unisce i punti di riferimento delle sezioni di pala viene chiamata linea di riferimento (di pala) [(blade) refernece line RL]

La porzione di profilo che appartiene alla faccia dell’elica, ed i cui punti sono caratterizzati da Y negative, viene denominata faccia del profilo, mentre quella che appartiene al dorso dell’elica, co- stituita da punti aventi Y positive, è detta dorso del profilo.

freccia

spessore

c t (x)

f(x)

LE TE

Figura IV-14

Lo spessore [thickness] del profilo viene misurato in direzione ortogonale alla corda. La curva otte- nuta congiungendo i punti medi dei segmenti che rappresentano la distribuzione dello spessore vie- ne detta linea media [mean line o camber line]. La distanza tra la corda e la linea media viene de- nominata freccia [camber]. La geometria di un profilo risulta quindi definita quando siano note le distribuzioni della freccia e dello spessore lungo la corda ed i raggi di raccordo delle estremità.

In alternativa la geometria di un profilo può essere definita utilizzando le coordinate y della faccia e del dorso lungo la corda.

Negli Stati Uniti la NACA ha definito diversamente lo spessore dei profili, in quanto esso viene mi- surato in direzione ortogonale alla linea media.

Le due definizioni di spessore portano, partendo dalla stessa linea media, a profili di forma differen- te, come illustrato nella Figura IV-15.

Camber line

Chord line

NACA

Figura IV-15

In ogni caso per profili sottili la differenza fra le due definizioni è piccola. Dal momento che le se- zioni delle pale delle eliche sono generalmente sottili, normalmente non viene indicato il metodo u- tilizzato per definire gli spessori.

I4 L’abbattimento delle pale

Come si è detto al paragrafo D2 la linea generatrice può non essere normale all’asse X, dando luogo ad un abbattimento delle pale [rake].

Y Z

X

iG

θ

GL

Figura IV-16

In Figura IV-16 è illustrato un esempio di generatrice abbattuta verso poppa; in questo caso l’abbattimento viene considerato positivo. L’abbattimento viene in generale quantificato per mezzo

dell’angolo di abbattimento [rake angle] θ che è una quantità definita univocamente per tutte le se- zioni della pala.

X Y

iG ≡δxR ϕ

GL ≡ SRP piano del disco Z

linea del passo

Figura IV-17

Quando occorra specificare o calcolare la posizione di una singola sezione della pala può essere uti- lizzato lo spostamento della sezione in direzione X causato dall’abbattimento. Questo spostamento, che si indica con iG, è evidentemente una funzione del raggio r a cui si trova la sezione che si consi- dera e si ricava dalla relazione:

( )

i rG =r ϑ

È importante notare che l’abbattimento non viene realizzato per mezzo di una rotazione della gene- ratrice e della pala nel piano XZ ma traslando ciascuna delle sezioni della pala in direzione parallela ad X della quantità iG corrispondente.

La Figura IV-17 illustra lo sviluppo della sezione di una pala ottenuta con un cilindro di raggio r coassiale all’elica. Si può notare che la traccia della generatrice GL ed il punto di riferimento della sezione SRP, in questo caso coincidenti, risultano entrambi traslati in direzione X della quantità iG a causa dell’abbattimento della pala.

X Z

O T' T

Figura IV-18

Nella Figura IV-18 sono illustrate le proiezioni longitudinale di due eliche identiche in tutto fuorché nell’angolo di abbattimento. La proiezione a tratto continuo è relativa ad un’elica senza rake, men- tre quella tratteggiata è relativa ad un’elica con 15° di abbattimento. Le due eliche hanno lo stesso diametro, ma le due generatrici OT ed OT’ hanno lunghezza differente in virtù del fatto che, come già detto, l’abbattimento non viene ottenuto mediante una rotazione. La proiezione nel piano YZ non viene alterata dall’abbattimento delle pale.

Si è già accennato al fatto che un abbattimento verso poppa delle pale viene tradizionalmente defi- nito positivo. Questa definizione può generare confusione in quanto un abbattimento positivo, carat- terizzato da θ>0, produce una traslazione di segno negativo in termini di coordinata X come si può vedere osservando i punti T e T’ della Figura IV-18. Può quindi essere utile introdurre la grandezza δxR definita dalla relazione:

( )

x rR r

δ = − ϑ ^(B.10)

L’abbattimento delle pale viene generalmente utilizzato per allontanare le pale dal fasciame, dai bracci portaelica o dai ringrossi in modo tale da attenuare le vibrazioni dello scafo indotte dal fun- zionamento dell’elica.

I5 La deviazione delle pale

La deviazione delle pale [skew] è un accorgimento cui si ricorre per consentire alle pale dell’elica di attraversare gradualmente zone di acqua particolarmente perturbate che possono trovarsi in corri- spondenza del disco dell’elica. Un attraversamento graduale di tali zone consente di ridurre le vi- brazioni che l’elica può indurre sullo scafo.

Y

Z

θS(r1) θS(r2)

o o

o o

Linea di riferimento di pala

Verso di rotazione

Figura IV-19

La proiezione nel piano YZ di una pala appartenente ad un’elica senza skew risulta infatti simmetri- ca rispetto alla generatrice ed all’asse Z che in questa proiezione con essa coincide. L’introduzione dello skew permette di deformare la pala in modo tale che la sua proiezione sul piano YZ non sia più simmetrica, come illustrato nella Figura IV-19 che rappresenta eliche destrorse.

La deviazione delle pale viene ottenuta facendo scorrere ciascuna delle sezioni della pala di una op- portuna quantità, detta skew, lungo la linea del passo. Questa operazione provoca, nella proiezione YZ, una rotazione delle sezioni attorno all’asse X e l’angolo di cui risultano ruotate le sezioni viene chiamato θ^S.

Nella Figura IV-19 sono state evidenziate due sezioni radiali della pala e, per ciascuna di esse, è sta- to indicato l’angolo θS. Esso viene misurato tra la generatrice, che in questa proiezione coincide con l’asse Z, e la linea di riferimento, che per l’elica priva di skew è rettilinea e coincide con la genera- trice mentre per l’elica con skew è rappresentata da una linea curva. Le sezioni dell’elica originale sono delimitate da piccole ellissi, mentre quelle dell’elica con skew sono delimitate da rettangoli.

X

Y

δxR≡iG ϕ

piano del disco Z

linea del passo

GL δxS≡iS

rθ^S SRP cS

Figura IV-20

Generalmente le sezioni più vicine al mozzo vengono ruotate nello stesso senso di rotazione dell’elica, mentre quelle prossime all’estremità della pala vengono ruotate in senso opposto; risulta quindi evidente che occorre assegnare la distribuzione di θ^S in funzione della posizione radiale delle

sezioni. A seguito di questa operazione il SRP delle sezioni può non appartenere alla generatrice.

Il segno di θS viene convenzionalmente assunto positivo se opposto al verso di rotazione dell’elica.

Con riferimento alla Figura IV-19 si ha θ^S(r1)<0 e θ^S(r2)>0.

Nella Figura IV-20 è rappresentata una sezione cilindrica sviluppata di un’elica dotata di skew e ra- ke. L’elica è destrorsa e la sezione è collocata verso l’estremità della pala, risulta quindi caratteriz- zata da un valore positivo di θS .

Come si può osservare il SRP della sezione non coincide con la traccia GL della generatrice. Lo spostamento lungo la linea del passo del punto di riferimento della sezione rispetto alla linea gene- ratrice, rappresentato in figura dal segmento GL-SRP, viene individuato con il simbolo cS. Per quantificare la deviazione delle pale può essere fornita la distribuzione di cS in funzione del raggio in alternativa alla distribuzione di θS.

Le grandezze cS, θS e ϕ risultano legate dalla relazione seguente:

( )

( )

S

r c r r

ϑ = ϕ (B.11)

Osservando ancora la Figura IV-20 si può notare che lo scorrimento della sezione lungo la linea del passo provoca una traslazione della sezione in direzione dell’asse dell’elica, chiamata abbattimento indotto dallo skew [skew induced rake] ed indicato con il simbolo iS. In termini di coordinata x lo spostamento iS può essere indicato con il simbolo δx^S.

Y Z Z

X

Figura IV-21

Tenendo presente la definizione del verso positivo di θS, δxS risulta sempre discorde da θS sia che l’elica sia destrorsa sia in caso contrario.

Si ha pertanto:

( ) ( )

S S

x r c r

δ = − ϕ ^(B.12)

ed anche:

( ) ( )

S S

x r r r

δ = − ϑ ϕ ^(B.13)

Facendo uso delle relazioni (B.2) e (B.9) la (B.13) può essere riscritta nella forma seguente:

( ) ( ) ( )

S S

x r p r r

δ = − ϑ ^(B.14)

La Figura IV-21 illustra le proiezioni di due eliche del tutto identiche tranne che per lo skew. Infatti l’elica disegnata con tratteggio è completamente priva di skew e pertanto le sue proiezioni sono simmetriche rispetto all’asse Z; l’elica disegnata con tratto continuo, al contrario, è dotata si skew, che provoca la deformazione di entrambe le proiezioni.

J Il disegno dell’elica J1 L’espansa

L’espansa dell’elica [expanded outline] è una rappresentazione convenzionale che viene utilizzata per completare le informazioni che vengono fornite dalle proiezioni ortogonali.

L’espansa è costituita da tanti segmenti rettilinei quante sono le sezioni di pala che si considerano.

Detti segmenti rappresentano le corde delle diverse sezioni della pala. e vengono posizionati orto- gonalmente ad un asse che ne stabilisce la posizione radiale. Le estremità dei segmenti vengono poi congiunte con una curva.

La Figura IV-22 rappresenta un esempio di espansa di un’elica; come si può osservare in questo ti- po di rappresentazione non compare il mozzo. Questa figura si riferisce ad un’elica dotata di skew e questo risulta evidente dal momento che il contorno non è simmetrico rispetto all’asse verticale. Le corde, infatti, vengono posizionate rispetto alla retta verticale considerando gli spostamenti cs, pro- vocati dallo skew, dei punti di riferimento delle sezioni SRP rispetto alla generatrice. Si suole inol- tre rappresentare la linea di riferimento che fornisce appunto un’idea dello skew.

L’espansa costituisce un documento indispensabile per la costruzione dell’elica in quanto permette di visualizzare la reale dimensione delle corde, che non può essere desunta delle proiezioni ortogo- nali.

0.975 1.000 0.950 0.900 0.850 0.800

0.700

0.600

0.500

0.400

0.300 0.250 0.200 0.150

r/R

Linea di riferimento

Figura IV-22

In corrispondenza delle corde si suole anche rappresentare la forma delle sezioni corrispondenti. La Figura IV-23 riporta una espansa completa delle sezioni di pala per un’elica tipo B di Wageningen ove è la faccia dell’elica a giacere sull’elicoide. Per questo motivo le sezioni risultano “appoggiate”

sulle corde.

L’area racchiusa dell’espansa, moltiplicata per il numero di pale dell’elica, viene definita area e- spansa ed indicata con il simbolo AE. Questa grandezza viene utilizzata per indicare quanto le pale occupino il disco dell’elica, mediante il rapporto AE/AO, chiamato rapporto area espansa/area di- sco [expanded area ratio o EAR].

Un’altra rappresentazione dell’elica, utilizzata in passato, prima che si diffondesse l’uso dell’espansa, è la sviluppata dell’elica [developed outline]. Essa veniva rappresentata assieme alla proiezione sul piano trasversale dell’elica. Ciascuna delle sezioni veniva sviluppata nell’ipotesi che la spira di elicoide sulla quale giace la sezione interessata potesse essere approssimata da un arco del cerchio osculatore della spira di elica. Questa costruzione geometrica risulta piuttosto laboriosa oltreché approssimata ed è per questi motivi che essa è caduta in disuso. L’area racchiusa dalla svi- luppata dell’elica, moltiplicata per il numero delle pale veniva denominata area sviluppata [develo- ped area] ed indicata con il simbolo AD. Anche questa grandezza veniva utilizzata per indicare quanto le pale occupassero il disco dell’elica, mediante il rapporto AD/AO, chiamato rapporto area sviluppata/area disco [developed area ratio o DAR].

0.975 1.000 0.950 0.900 0.850 0.800

0.700

0.600

0.500

0.400

0.300 0.250 0.200 0.150

r/R

Figura IV-23

J2 Le proiezioni dell’elica

Come si è già accennato le proiezioni ortogonali che vengono usate per la rappresentazione di un’elica sono la proiezione sul piano XZ, detta proiezione longitudinale dell’elica, e quella sul pia-

no YZ detta proiezione trasversale dell’elica o più semplicemente proiettata dell’elica. Nelle proie- zioni dell’elica si rappresentano i lembi di entrata e di uscita di una pala, il mozzo ed infine la linea di intersezione tra la pala ed il mozzo.

Per poter procedere al disegno delle proiezioni di un’elica è necessario disporre dei seguenti dati:

• Diametro dell’elica

• Diametri del mozzo

• Angolo di abbattimento delle pale

• Distribuzione del passo lungo il raggio

• Distribuzione delle lunghezze di corda lungo il raggio

• Distribuzione dello skew lungo il raggio

Innanzi tutto occorre calcolare le coordinate x, y e z dei lembi di entrata ed uscita di ciascuna delle sezioni radiali della pala.

Consideriamo una sezione di pala posta a raggio r di un’elica destrorsa. La corda c(r) appartiene all’elicoide cilindrico di raggio r e avente passo P(r) ed è quindi possibile fare uso delle equazioni dell’elicoide illustrate al paragrafo D2.

Per prima cosa è necessario calcolare gli angoli γE e γU corrispondenti alle estremità della corda tra- scurando l’effetto dell’eventuale skew. Ricordando la definizione di passo ridotto ed utilizzando la relazione (B.8) per un’elica destrorsa si ottiene:

2 2 2 2

( ) ( )

2 2

( ) ( )

( ) ( )

E U

c r c r

r r

r p r r p r

γ = γ = ⁻

+ + (C.1)

Nel caso di elica sinistrorsa i due angoli avrebbero i segni invertiti.

Se l’elica fosse priva di rake e skew le coordinate del lembo di entrata E(r) potrebbero essere calco- late utilizzando le relazioni (B.3):

( ) ( )

( ) sin

( ) cos

E E

E E

E E

x r p r

y r r

z r r γ

γ γ

=



 = −

 =



(C.2)

Per ottenere le coordinate del lembo di uscita della sezione xU(r) yU(r) e zU(r) sarebbe sufficiente so- stituire γ^U nelle relazioni precedenti.

La presenza del rake ha effetto solamente sulla coordinata x, mentre le restanti rimangono invariate.

Tale effetto è quantificabile mediante la relazione (B.10) e può essere sommato alla prima delle (B.3) ottenendo:

tan sin cos

x p r

y r

z r

γ ϑ

γ γ

= −



 = −

 =

Lo skew ha invece effetto su tutte le coordinate. Per quanto riguarda la coordinata x si è visto che la relazione (B.14) permette di tener conto di questo effetto. Considerando le coordinate y e z è suffi- ciente notare che l’effetto dello skew è quello di aumentare o ridurre gli angoli γ di inizio e fine del- la sezione; si è visto inoltre che l’angolo θS viene considerato positivo se contrario al verso di rota- zione dell’elica.

Ricordando che le relazioni (B.3) si riferivano ad una spira di elica destrorsa in presenza di skew es- se si modificano nel modo seguente:

sin( )

cos( )

S S S

x p p

y r

z r

γ ϑ

γ ϑ γ ϑ

= −



= − −

 = −



Gli effetti di rake e skew possono essere sommati tra loro e le relazioni che forniscono le coordinate x, y e z dei lembi di entrata ed uscita di ciascuna delle sezioni radiali della pala per un’elica destror- sa sono:

( )

sin( )

cos( )

S S S

x p r

y r

z r

γ ϑ θ

γ ϑ γ ϑ

= − −



= − −

 _{= −}



(C.3)

Nel caso di elica sinistrorsa si ha:

( )

sin( )

cos( )

S S S

x p r

y r z r

γ ϑ θ

γ ϑ γ ϑ

= − − −



= −

 _{= −}



(C.4)

In Figura IV-24 sono riportate le proiezioni di un’elica senza skew ne rake, della stessa elica con rake e dell’elica con rake e skew.

In conclusione si riportano le relazioni che consentono di ricavare le coordinate dei lembi di entrata ed uscita di una sezione di elica sinistrorsa e destrorsa.

ELICA DESTRORSA

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

( ) ( )

2 2

( ) ( )

( ) ( )

tan tan

sin( ) sin( )

cos( ) cos( )

E U

E E S U U S

E S U U S

E S U U S

c r c r

r r

r p r r p r

x r p r r r r x r p r r r r

y r r r r y r r r r

z r r r r z r r r r

γ γ

γ ϑ θ γ ϑ θ

γ ϑ γ ϑ

γ ϑ γ ϑ

= = −

+ +

 = − −  = − −

 

 

= − − = − −

 

 = −  = −

 

 

X

Z

X

Y

Z

X

Figura IV-24

ELICA SINISTRORSA

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

( ) ( )

2 2

( ) ( )

( ) ( )

tan tan

sin( ) sin( )

cos( ) cos( )

E U

E E S U U S

E S U U S

E S U U S

c r c r

r r

r p r r p r

x r p r r r r x r p r r r r

y r r r r y r r r r

z r r r r z r r r r

γ γ

γ ϑ θ γ ϑ θ

γ ϑ γ ϑ

γ ϑ γ ϑ

= − =

+ +

 = − − −  = − − −

 

 = −  = −

 

 = −  = −

 

 

Resta ora da determinare la curva di intersezione tra la pala ed il mozzo dell’elica. Anche questa viene determinata per punti. Consideriamo la Figura IV-25 ove è rappresentata parte della proiezio- ne di un’elica destrorsa sul piano XZ.

Prendiamo in esame una generica posizione sul mozzo, individuata dal valore x* della coordinata x, tale da essere compresa nella zona di intersezione tra pala e mozzo. In tale sezione si rileva il valore r* del raggio del mozzo. Dal momento che la linea di intersezione appartiene sia alla pala che al mozzo il valore del raggio da considerare per ottenere le coordinate y* e z* del punto di intersezio- ne in corrispondenza di x* sarà proprio r*.

Z

X x*

r*

TE GL RL

LE

Figura IV-25 La prima delle relazioni (C.3) può essere riscritta come segue:

( ) ( ) ( )

* * * _S * * tan

x = p r γ r −ϑ r −r θ e può essere utilizzata per ricavare l’incognita γ(r*):

( )

( )

( )

γ = ⁺ +ϑ

E ora possibile calcolare le coordinate y* e z* del punto utilizzando la seconda e la terza delle rela- zioni (C.3):

( ) ( )

( ) ( )

* *sin * *

* *cos * *

S S

y r r r

z r r r

γ ϑ

γ ϑ

 = −  − 

  

 =  − 

  



A questo punto è possibile disegnare il punto della linea di intersezione pala mozzo caratterizzato dalle coordinate così ottenute, ottenendo il punto contrassegnato dal simbolo + in Figura IV-26.

Ripetendo questo procedimento per un sufficiente numero di punti è possibile tracciare la linea in- tersezione pala mozzo che andrà poi opportunamente raccordata con le proiezioni dei lembi di en- trata e di uscita della pala come illustrato nella figura III-26.

J3 La serie di eliche BB

La serie sistematica di eliche denominata BB è stata elaborata dal Netherlands Ship Model Basin di Wageningen in Olanda.

La serie comprende eliche con numero di pale da 2 a 7, aventi rapporto AE/AO da 0.3 a 1.05, passo costante lungo il raggio, rapporto P/D da 0.5 a 1.4. La geometria di tutte queste eliche è stata fornita in modo parametrico, in modo che essa possa essere calcolata una volta stabiliti i valori di AE/AO, Z, D e P/D.

Z Z

X Y

TE GL RL

LE TE RL LE

Figura IV-26

La lunghezza delle corde c(r) è infatti data dalla formula:

( ) ( )

O

k r D A c r A

= Z

dove k(r) è una funzione del raggio adimensionale r/R i cui valori sono forniti nella Tabella 1 uni- tamente ai valori dello skew adimensionalizzato sulla lunghezza della corda.

Tabella 1: Coefficienti della serie BB

r/R k sk/c xtmax/c A B

0.150 1.480 -0.0740 0.3500 0.05570 0.00425 0.200 1.600 -0.0810 0.3500 0.05260 0.00400 0.250 1.720 -0.0838 0.3500 0.04950 0.00375 0.300 1.832 -0.0840 0.3500 0.04640 0.00350 0.400 2.023 -0.0800 0.3510 0.04020 0.00300 0.500 2.163 -0.0700 0.3550 0.03400 0.00250 0.600 2.243 -0.0520 0.3890 0.02780 0.00200 0.700 2.247 -0.0240 0.4430 0.02160 0.00150 0.800 2.132 0.0200 0.4860 0.01540 0.00100 0.850 2.005 0.0520 0.4955 0.01230 0.00075 0.900 1.798 0.0980 0.5000 0.00920 0.00050

0.950 1.434 0.1820 0.5000 0.00610 0.00025 0.975 1.122 0.2730 0.5000 0.00455 0.00013 1.000 0.000 0.3640 0.5000 0.00300 0.00000

I valori xtmax(r)/c(r), forniti anch’essi nella tabella 1, forniscono la posizione del massimo spessore delle sezioni nel sistema di riferimento locale delle sezioni con origine al LE.

Il valore dello spessore massimo di ciascuna sezione tmax(r) viene calcolato, utilizzando i coefficien- ti A(r) e B(r) ricavabili dalla tabella 1, per mezzo della formula seguente:

( ) ( ) ( )

tmax r

A r B r Z

D = −

Le coordinate dei punti della faccia delle sezioni possono essere calcolate per mezzo dei coefficienti V1 forniti nella tabella 2.

In detta tabella l’ascissa dei punti delle sezioni viene data in percentuale della distanza tra la posi- zione del massimo spessore della sezione ed il Trailing Edge ed il Leading Edge rispettivamente.

Questa notazione si rivela scomoda se si desidera esprimere la posizione dei punti nel sistema di coordinate usuale per i profili alari, ma consente di ricavare facilmente le coordinate x dei punti del profilo che debbono essere usate per disegnare l’espansa.

Utilizzando l’indice i ed i coefficienti u(i) come forniti nelle tabelle 3 e 4 {ove al lembo di ingresso corrisponde i=1 ed u(1)=1, alla posizione xtmax corrispondono i=11 ed u(11)=0 ed al lembo di uscita corrispondono i=20 ed u(20)=-1} e definendo i coefficienti h(r,i) come nella tabella seguente

le ascisse x(r,i) dei punti del profilo, rispetto alla linea generatrice, sono date dalla relazione:

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

x r i = −skew r + −x r +u i h r i

Tabella 2

i h(r, i) tE(r, i) 1 xtmax(r) tLE(r) 2 xtmax(r) tLE(r) 3 xtmax(r) tLE(r) 4 xtmax(r) tLE(r) 5 xtmax(r) tLE(r) 6 xtmax(r) tLE(r) 7 xtmax(r) tLE(r) 8 xtmax(r) tLE(r) 9 xtmax(r) tLE(r) 10 xtmax(r) tLE(r)

i h(r, i) tE(r, i) 11 c(r)-xtmax(r) tTE(r) 12 c(r)-xtmax(r) tTE(r) 13 c(r)-xtmax(r) tTE(r) 14 c(r)-xtmax(r) tTE(r) 15 c(r)-xtmax(r) tTE(r) 16 c(r)-xtmax(r) tTE(r) 17 c(r)-xtmax(r) tTE(r) 18 c(r)-xtmax(r) tTE(r) 19 c(r)-xtmax(r) tTE(r) 20 c(r)-xtmax(r) tTE(r)

Utilizzando la stessa convenzione per l’indice i, i coefficienti tE(i) definiti nella tabella 2 ed i coeffi- cienti V1(r,i) forniti nella tabella 3, le ordinate dei punti della faccia del profilo yF(r,i) si ottengono mediante la formula seguente:

( )

( )

( ) ( )

F E

y r i =V r i t r −t r i 

tenendo presente che gli spessori al lembo di entrata tLE ed al lembo di uscita tTE valgono:

( ) ( )

( ) ( )

max max

0.20 0.05

LE TE

t r t r

t r t r

=

=

Gli spessori della sezione t(r,i) si ottengono in modo analogo utilizzando i valori V2(r,i) forniti nella tabella 4 utilizzando la relazione:

( )

( )

( )

( )

( )

t r i =V r i t r −t r i +t r i

Le ordinate del dorso della sezione yB(r,i) si possono ottenere dalla relazione:

( )

( ) ( )

B F

y r i = y r i +t r i che fornisce:

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

B E E

y r i =V r i +V r i   t r −t r i +t r i

Tabella 3: Valori del coefficiente V1

i 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11

r/R|u(i) -1.00 -0.95 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.2 0 0.15 0.3000 0.2824 0.2650 0.2300 0.1950 0.1610 0.1280 0.0955 0.0365 0.0000 0.20 0.2826 0.2630 0.2400 0.1967 0.1570 0.1207 0.0880 0.0592 0.0172 0.0000 0.25 0.2598 0.2372 0.2115 0.1651 0.1246 0.0899 0.0579 0.0350 0.0084 0.0000 0.30 0.2306 0.2040 0.1790 0.1333 0.0943 0.0623 0.0376 0.0202 0.0033 0.0000 0.40 0.1467 0.1200 0.0972 0.0630 0.0395 0.0214 0.0116 0.0044 0.0000 0.0000 0.50 0.0522 0.0420 0.0330 0.0190 0.0100 0.0040 0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 0.60 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.70 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

i 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

r/R|u(i) 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.85 0.9 0.95 1.00 0.15 0.0096 0.0384 0.0615 0.0920 0.1320 0.1870 0.2230 0.2642 0.3150 0.3860 0.20 0.0049 0.0304 0.0520 0.0804 0.1180 0.1685 0.2000 0.2353 0.2821 0.3560 0.25 0.0031 0.0224 0.0417 0.0669 0.1008 0.1465 0.1747 0.2068 0.2513 0.3256 0.30 0.0027 0.0148 0.0300 0.0503 0.0790 0.1191 0.1445 0.1760 0.2186 0.2923 0.40 0.0000 0.0033 0.0090 0.0189 0.0357 0.0637 0.0833 0.1088 0.1467 0.2181 0.50 0.0000 0.0000 0.0008 0.0034 0.0085 0.0211 0.0328 0.0500 0.0778 0.1278 0.60 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0022 0.0067 0.0169 0.0382 0.70 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Tabella 4: Valori del coefficiente V2

i 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11

r/R|u(i) -1.00 -0.95 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.2 0 0.15 0.0000 0.0540 0.1325 0.2870 0.4280 0.5585 0.6770 0.7805 0.9360 1.0000 0.20 0.0000 0.0640 0.1455 0.3060 0.4535 0.5842 0.6995 0.7984 0.9446 1.0000 0.25 0.0000 0.0725 0.1567 0.3228 0.4740 0.6050 0.7184 0.8139 0.9519 1.0000 0.30 0.0000 0.0800 0.1670 0.3360 0.4885 0.6195 0.7335 0.8265 0.9583 1.0000 0.40 0.0000 0.0905 0.1810 0.3500 0.5040 0.6353 0.7525 0.8415 0.9645 1.0000 0.50 0.0000 0.0950 0.1865 0.3569 0.5140 0.6439 0.7580 0.8456 0.9639 1.0000 0.60 0.0000 0.0965 0.1885 0.3585 0.5110 0.6415 0.7530 0.8426 0.9613 1.0000 0.70 0.0000 0.0975 0.1900 0.3600 0.5100 0.6400 0.7500 0.8400 0.9600 1.0000 0.8 0.0000 0.0975 0.1900 0.3600 0.5100 0.6400 0.7500 0.8400 0.9600 1.0000 0.85 0.0000 0.0975 0.1900 0.3600 0.5100 0.6400 0.7500 0.8400 0.9600 1.0000 0.9 0.0000 0.0975 0.1900 0.3600 0.5100 0.6400 0.7500 0.8400 0.9600 1.0000 0.95 0.0000 0.0975 0.1900 0.3600 0.5100 0.6400 0.7500 0.8400 0.9600 1.0000 0.975 0.0000 0.0975 0.1900 0.3600 0.5100 0.6400 0.7500 0.8400 0.9600 1.0000 1 0.0000 0.0975 0.1900 0.3600 0.5100 0.6400 0.7500 0.8400 0.9600 1.0000

i 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

r/R|u(i) 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.85 0.9 0.95 1.00 0.15 0.9760 0.8825 0.8055 0.7105 0.5995 0.4520 0.3665 0.2600 0.1300 0.0000 0.20 0.9750 0.8875 0.8170 0.7277 0.6190 0.4777 0.3905 0.2840 0.1560 0.0000 0.25 0.9751 0.8899 0.8259 0.7415 0.6359 0.4982 0.4108 0.3042 0.1750 0.0000 0.30 0.9750 0.8920 0.8315 0.7520 0.6505 0.5130 0.4265 0.3197 0.1890 0.0000 0.40 0.9725 0.8933 0.8345 0.7593 0.6590 0.5220 0.4335 0.3235 0.1935 0.0000 0.50 0.9710 0.8880 0.8275 0.7478 0.6430 0.5039 0.4135 0.3056 0.1750 0.0000 0.60 0.9690 0.8790 0.8090 0.7200 0.6060 0.4620 0.3775 0.2720 0.1485 0.0000 0.70 0.9675 0.8660 0.7850 0.6840 0.5615 0.4140 0.3300 0.2337 0.1240 0.0000 0.8 0.9635 0.8520 0.7635 0.6545 0.5265 0.3765 0.2925 0.2028 0.1050 0.0000 0.85 0.9615 0.8450 0.7550 0.6455 0.5160 0.3660 0.2830 0.1950 0.1000 0.0000 0.9 0.9600 0.8400 0.7500 0.6400 0.5100 0.3600 0.2775 0.1900 0.0975 0.0000 0.95 0.9600 0.8400 0.7500 0.6400 0.5100 0.3600 0.2775 0.1900 0.0975 0.0000 0.975 0.9600 0.8400 0.7500 0.6400 0.5100 0.3600 0.2775 0.1900 0.0975 0.0000 1 0.9600 0.8400 0.7500 0.6400 0.5100 0.3600 0.2775 0.1900 0.0975 0.0000