L a t r a v e V i e r e n d e lProposta di calcolo semplificato

(1)

Fig. 1 a), b). - Bilanci termici semplificati.

a) Macchina termica operatrice (frigorifera o pompa di calore) b) Macchina termica motrice.

E.t. Energia termica. E.m. Energia meccanica.

E.e. Energia elettrica. p perdite

Anzi, non b a s t a n d o in esse c a m b i a r n o m e (3) alla grande caloria, che fu battezzata frigoria q u a n - do si volle significare che essa era sottratta a bassa t e m p e r a t u r a , si introdussero n o n p o c h e altre u n i t à . Basterà r i c o r d a r e fra esse l ' A m e r i c a n standard com- mercial ton of refrigeration (4) che c o r r i s p o n d e , p e r le m a c c h i n e da ghiaccio, alla p r o d u z i o n e di 1 tonnellata (da 2000 libbre) di ghiaccio a 0°C in 24 o r e , p a r t e n d o da acqua liquida alla stessa t e m p e - r a t u r a .

La « British theor. unit of refrigeration » corri- sponde invece, e a n c h e ciò, se si pensa alla B.T.U., a p p a r e singolare, alla potenza (rate) di 1 kcal sot- t r a t t a al secondo (cioè di 1 frig/sec). L'adozione di tale u n i t à si deve al fatto che con 1 frigoria al secondo si p r o d u c o n o circa 100 libbre di ghiaccio a l l ' o r a .

P u r concedendo che la questione delle singole u n i t à di m i s u r a è, in fondo, u n a questione formale e che agli argomenti di comodità pratica deve essere dato in tale m a t e r i a un grande peso, ci si p u ò chiedere se non vi sia m o d o di giungere ad u n a ragionevole semplificazione di n o m e n c l a t u r a , di

p r o c e d u r e e di calcoli n u m e r i c i , che m e t t a capo ad u n a sola u n i t à , coerente con altre già usate per- chè t u t t e d i p e n d e n t i da u n o stesso sistema, e che risulti nelle contingenze presenti accettabile senza gravi complicazioni.

La questione p a r r e b b e a t u t t a p r i m a insolubile p e r c h è , scartata subito come n o n p r a t i c a b i l e l'isti- tuzione di u n a nuova u n i t à , n o n si vede quale delle u n i t à già adottate possa m e r i t a r e la preferenza sulle a l t r e .

Si deve al c o m p i a n t o Prof. I n g . Giovanni Giorgi il m e r i t o di avere l u c i d a m e n t e messo o r d i n e alla complessa m a t e r i a e di avere indicato la più conveniente strada da seguire.

In u n a m e m o r i a comparsa in vari periodici fin dagli inizi di questo secolo (5) Egli mostrò che la sola u n i t à di potenza, che fosse possibile derivare in un m o d o coerente, sia, c o m ' e r a già n o t o , dalle u n i t à elettriche a d o t t a t e in t u t t o il m o n d o (volt, ampère, ecc.) sia, e ciò n o n era stato ancora posto in evidenza, dalle u n i t à fondamentali metro, kilo- grammo massa, secondo, era p r o p r i o il watt.

Difatti il watt corrisponde al lavoro c o m p i u t o in un secondo lungo un m e t r o di spostamento nella sua direzione d a l l ' u n i t à di forza, che è la forza occorrente p e r conferire ad un k i l o g r a m m o massa l'acce- lerazione di un m e t r o al secondo p e r ogni secondo.

A questa u n i t à di forza, i n d i p e n d e n t e dall'acce- lerazione della gravità e q u i n d i dalla posizione t o p o - grafica, fu dato il n o m e di newton (6).

In effetti q u a l c h e piccola correzione risultò ne- cessaria p e r far coincidere il watt elettrico con il watt meccanico, ma questa coincidenza, d o p o i la- vori c o m p i u t i a Sèvres e nei maggiori L a b o r a t o r i nazionali di ricerche, è o r m a i un fatto c o m p i u t o . D ' a l t r o canto la Conferenza I n t e r n a z i o n a l e p e r gli studi sul v a p o r e ed il Comitato che ha r e d a t t o le Tabelle critiche internazionali ( I n t e r n a t i o n a l Criticai Tables - 1926) a d o t t a r o n o p e r la caloria la definizione :

1 k W h = 860 kcal

facendo q u i n d i coincidere il watt elettrico con il watt termico m e d i a n t e piccole correzioni, pratica- m e n t e trascurabili, che ne s o p p r i m o n o la dipen- denza dalle p r o p r i e t à di un fluido p a r t i c o l a r e .

Le p r o p o s t e , d o p o l u n g h i anni di discussione, furono in c a m p o elettrico accettate nel 1938 dalla

« I n t e r n a t i o n a l Electrical Commission » ( I . E . C ) ; in c a m p o p i ù generale furono vivamente racco- m a n d a t e dal « Comité I n t e r n a t i o n a l des P o i d s et Mesures » di Sèvres nel 1948, e successivamente

(3) Non natura, poichè freddo e caldo significano sensa- zioni, non entità fisiche diverse.

(4) Tonnellata piuttosto buffa da tradurre giacchè alla lettera, vorrebbe pesare l'atto del refrigerare, non la cosa refrigerata.

(5) Atti A.E.I., 1901; The Electrical World, New York, 1901; si veda pure il volume del Prof. Giorgi : « Verso l'e- lettrotecnica moderna », Ed. Tamburini, Milano 1949 - pag. 73, ed il Manualetto: « Memento des Unités Giorgi»

(M.K.S.A.) di Papin e Kaufmann, Ed. Desforges, Paris, 1949.

(6) Il newton (simbolo N) vale dunque circa un etto- grammo peso (1 kg peso: 9,81 m/sec2). È da notare che le cosidette pesate eseguite con la bilancia sono in realtà con- fronti di masse, e come tali rimangono indipendenti dalla latitudine e dall'altitudine. I risultati numerici di tali pesate non sono quindi modificati passando al sistema Giorgi risultando espressi in kilogrammi massa.

ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGÙ INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE - ANNO 7 - N. 1 - GENNAIO 1953

sancite dalla « IX Conférence G é n é r a l e des Poids et Mesures » (7).

L'adozione del watt (ed ovviamente dei suoi m u l t i p l i e sottomultipli secondo potenze intere di 10) quale u n i t à universale di p o t e n z a , in q u a l u n q u e forma essa si manifesti, si va s e m p r e p i ù esten- (⁷) Qualche Autore osserva che il termine « caloria » po- trebbe essere sostituito da quello più proprio di « calore spe- cifico dell'acqua ». Aggiungo, a questo proposito che in unità coerenti torna praticamente uguale all'unità il calore speci- fico a pressione costante dell'aria nelle condizioni ordinarie.

Difatti si ha:

cp = 1,004 joule/gr, °C.

(8) 1 kcal/h = (1000/860) watt = 1,163 watt, quindi:

1 kcal=1,163 Wh. Risulta pertanto facile la conversione dei vari coefficienti che si incontrano nella termotecnica. Ad esempio i coefficienti di conduzione termica si esprimeranno in W/m, °C ed i coefficienti di trasmissione del calore in W/m2, °C. In termodinamica le energie specifiche si potranno esprimere in W h / k g ; le entropie specifiche in Wh/kg, °C, ecc. Nella conversione da unità britanniche è utile ricordare che 1 kW equivale a 0,948 BTU/sec. Si tenga inoltre presente che 1 kW = 102 kgm/sec.

d e n d o sia nei L a b o r a t o r i scientifici sia nelle a p p l i - cazioni p r a t i c h e , ed è o p p o r t u n o c o n t r i b u i r e a dare a tale adozione la maggior diffusione possibile. I bilanci energetici e la conseguente espres- sione dei r e n d i m e n t i e dei fattori di efficienza, come p u r e la loro t r a d u z i o n e in risultati n u m e r i c i divengono p i ù semplici e p i ù accessibili, poiché le trasformazioni di energie in atto negli i m p i a n t i e negli a p p a r e c c h i è resa p i ù evidente.

L ' i m p i e g o t e m p o r a n e o di due notazioni p a r a l - lele (ad esempio k c a l / o r a e watt) (8) sia sui dia- grammi sia sulle m a c c h i n e e sugli a p p a r e c c h i , con- sentirà in quei c a m p i nei quali vige ancora l ' a b i t u - dine d e l l ' i m p i e g o delle vecchie u n i t à un passaggio graduale di cui n o n si t a r d e r à ad a p p r e z z a r e i be- nefici.

È da a u s p i c a r e che anche le Associazioni tec- niche italiane, seguendo l'esempio degli organismi internazionali sopra citati, contribuiscano in m o d o efficace a tale utile m o v i m e n t o di unificazione.

Cesare Codegone

L a t r a v e V i e r e n d e l

Proposta di calcolo semplificato

L'Autore propone la risoluzione della trave Vierendel col metodo delle linee d'influenza delle sollecitazioni nelle sezioni che interessano; evita le notevoli complicazioni del calcolo esatto limitando il calcolo delle deformate ai soli

elementi isolati dalla sezione oggetto della ricerca.

Il professionista, di solito assillato d a l l ' u r g e n z a del lavoro, è soggetto alla t i r a n n i a del t e m p o e, nei casi c o m u n i , deve r i n u n c i a r e al p r o c e d i m e n t o di calcolo esatto q u a n d o questo si presenta lungo e complicato.

Ad esempio, u n a delle ragioni p e r cui la trave Vierendel è spesso b a n d i t a dalle comuni costruzioni sta a p p u n t o nella complicazione del calcolo esatto, q u a n d o questo esige un impiego di t e m p o non com- pensato d a l l ' e n t i t à del lavoro che il calcolatore deve c o m p i e r e .

I m e t o d i a p p r o s s i m a t i del T a k a b e i a e d e l l ' E n - gesser p r e s u p p o n g o n o delle limitazioni che non sempre si possono a d a t t a r e alle esigenze del progetto senza pregiudizio della speditezza del calcolo;

perciò p r o p o n g o q u i ai colleghi ingegneri un calcolo semplificato che si p u ò indifferentemente a p - plicare a travi V i e r e n d e l con elementi di sezione e di lunghezza c o m u n q u e variabili e sollecitate da forze c o m u n q u e a p p l i c a t e con direzioni a r b i t r a r i e . Il calcolo si basa su complessi di t r e d i a g r a m m i d'influenza delle sollecitazioni: momento flettente, sforzo di taglio e sforzo n o r m a l e , p e r ciascuna sezione presa in considerazione.

Il tracciamento delle su dette t e r n e di linee d'influenza, come si sa, è i n d i p e n d e n t e dalle forze a p - plicate q u i n d i serve alla risoluzione del p r o b l e m a q u a l u n q u e sia l'ipotesi di carico che si possa p r e - sentare.

Come è n o t o , tagliato l ' e l e m e n t o preso in consi- derazione nella sezione S, i m m e d i a t a m e n t e a destra del nodo c h e interessa e supposte a p p l i c a t e alle

faccie del taglio le sollecitazioni che agiscono su di esse cioè il m o m e n t o flettente M, lo sforzo di taglio T e lo sforzo n o r m a l e N incogniti e provocati gli spostamenti relativi delle due faccie m e d i a n t e una d o p p i a V (costituita da due forze eguali e contrarie agenti sulla stessa retta d'azione) c o m u n q u e a p p l i - cata alle faccie del taglio S, si o t t e r r à u n a rotazione attorno al b a r i c e n t r o di S ed u n a traslazione rela- tiva delle faccie stesse: siano m/u la t a n g e n t e del- l'angolo di rotazione, d la traslazione, t ed n le c o m p o n e n t i di d secondo la t a n g e n t e e la n o r m a l e alle faccie del taglio.

La d o p p i a V sposterà inoltre t u t t i i p u n t i della trave e questi spostamenti non sono ostacolati dalla presenza dei vincoli p e r c h é si eseguisce l'opera- zione s u p p o n e n d o la V i e r e n d e l semplicemente a p - poggiata in A ed incernierata in B e q u i n d i libera di muoversi e di deformarsi.

L ' u n i c a limitazione imposta dai vincoli è l'in- variabilità della direzione della retta AB e l ' i m m o - bilità di B.

Se si costruisce il d i a g r a m m a degli spostamenti t e n e n d o fissi altri due p u n t i , ad esempio H e K, t e n e n d o conto dello spostamento relativo, si devono assumere come rette basi dei d i a g r a m m i , le A1B1

p e r il corrente superiore e A2B2 p e r il corrente inferiore, come a p p a r e nella figura 1. P a r t e n d o da queste rette si m i s u r a n o le c o m p o n e n t i verticali y degli spostamenti dei p u n t i di applicazione delle forze; le c o m p o n e n t i orizzontali x degli spostamenti si m i s u r a n o a p a r t i r e dai m o n t a n t i , come a p p a r e chiaro nella figura 1.

ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE - ANNO 7 - N. 1 - GENNAIO 1953

2 3

(2)

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4 Fig. 5

Supposto ora di a p p l i c a r e successivamente alle faccie del taglio S altre due d o p p i e virtuali V' e V'', siano :

m'/u, t', n', y', x' e m"/u, t", n", y", x"

gli analoghi spostamenti dovuti alle due doppie.

Chiamiamo X ed Y le componenti orizzontale e verticale delle forze applicate F.

P e r il Principio dei lavori virtuali p o t r e m o su- bito scrivere la t e r n a di equazioni da cui si possono ricavare i valori delle t r e sollecitazioni inco- gnite agenti sulle faccie della sezione presa in e s a m e :

m/u.M + tT + nN =ΣYy + ΣXx m'/u.M + t'T + n'N =ΣYy' + ΣXx' m"/u.M + t"T + n"N = ΣYy" + ΣXx"

Questo calcolo, se applicato in m o d o esatto, presenterebbe notevoli complicazioni e difficoltà che è m i o p r o p o s i t o di evitare q u i , ma p o i c h è il peso elastico dei tratti di trave Vierendel non ta- gliati è molto piccolo in confronto del peso elastico dei suoi singoli elementi (da 1/50 ad .1/200) sup- pongo che i tratti di trave non tagliata siano perfet- tamente rigidi con che il calcolo viene semplificato in m o d o notevolissimo p u r f o r n e n d o dei risultati p i e n a m e n t e accettabili.

Si osservi che nella figura 1 i t r a t t i HA2 e KB2

sono a p p u n t o delle r e t t e e n o n delle curve come d o v r e b b e r o essere; ma la m e d i a dei valori degli spostamenti v i r t u a l i così ottenuti differisce di pochis- simo dalla m e d i a dei valori esatti.

P r i m a di p r e s e n t a r e q u a l c h e esempio di calcolo p e r meglio illustrare ciò che ho esposto dianzi, credo o p p o r t u n o di r i p o r t a r e gli elementi-base del calcolo grafico che serve alla costruzione dei dia- g r a m m i risolutivi degli spostamenti v i r t u a l i su ac- cennati ( v e d i : Rivista « L ' I n d u s t r i a », Vol. L I ,

1937, n. 3 - B. Z U N I N I ) .

Data u n a trave di lunghezza l incastrata in A e sollecitata in B da u n a c o p p i a C = l . l , dette a e b le distanze del b a r i c e n t r o elastico G da A e da B, e W il peso elastico: la rotazione d e l l ' e s t r e m o B avviene a t t o r n o a G e la sua grandezza è

φ= W.C = u/r

dove le lunghezze u ed r sono prese ad a r b i t r i o , trattandosi di rotazioni virtuali.

Se la trave è di sezione costante a=b e posto r = l/6 si h a

φ= W.C = 6u/l

dove u è arbitrario.

Se la trave è sollecitata a l l ' e s t r e m o B da u n a forza F=1 la rotazione a t t o r n o a l l ' a n t i p o l o B' di F è

φ1 = FbW= u/r'

dove r'/r = l/b.

Se la trave è di sezione costante il centro B' di rotazione si trova a d u e terzi di l da B, ed essendo b = l / 2 , si ha r ' / r = 2 e q u i n d i la rotazione è

φ1 = lW/2 = 3u/l

Se la trave è appoggiata agli estremi e solle- citata a l l ' e s t r e m o A da u n a coppia C la rotazione d e l l ' e s t r e m o B rispetto a l l ' e s t r e m o A avviene at- t o r n o al p u n t o B' a n t i p o l o della reazione in B e la sua grandezza è e v i d e n t e m e n t e u g u a l e a quella del caso p r e c e d e n t e .

Se la t r a v e è sollecitata in A ed in B da d u e c o p p i e C1 e C2 la costruzione della rotazione relativa di A rispetto a B si ottiene e v i d e n t e m e n t e

Fig. 6

Fig.8

dal caso p r e c e d e n t e s o v r a p p o n e n d o gli effetti delle due c o p p i e . Osserviamo che

I l c o r r e n t e superiore h a m o m e n t o d'inerzia d o p - pio di quello del c o r r e n t e inferiore, i m o n t a n t i h a n n o m o m e n t o d'inerzia t r i p l o di quello del cor- r e n t e i n f e r i o r e ; si ha cioè

Wi/Ws=2 e Wi/Wm=9/2 Si assume come unità di misura u = L/6.

Si n o t i che lo studio delle t e r n e di equazioni risolutive è i n d i p e n d e n t e dalle reali dimensioni della t r a v e ( r i s p e t t a n d o s'intende i r a p p o r t i sopra espo- sti) e che q u i n d i il calcolo è di progetto oltre che di verifica.

P e r costruire la t e r n a di d i a g r a m m i d'influenza delle sollecitazioni nella sezione i m m e d i a t a m e n t e a destra del n o d o A che c h i a m e r e m o Sezione Ad, si sono assunte come d o p p i e eccitatrici a p p l i c a t e alle faccie del t a g l i o :

N . 2 coppie C = 1 . L (fig. 6).

N. 2 forze Vn = 1 n o r m a l i alle faccie (fig. 7).

N. 2 forze Vt = 1 t a n g e n t i alle faccie (fig. 8).

4 Fig.7

5

C1/C2 = u1r"/u2r'

Se la trave è di sezione costante, posto r' = r" = l/3

si h a

C1/C2 = u1/u2

Se si vogliono mettere in relazione gli sposta- menti virtuali di vari elementi di pesi elastici W', W", ecc. si deve tener presente la relazione

W'/W" = u1r'/u2r'

A P P L I C A Z I O N I Trave Vierendel a correnti paralleli.

S t u d i a m o u n a trave di sei c a m p i di egual lun- ghezza L e di altezza h = 2 L / 3 .

(3)

gidi; inoltre il t e r m i n e y che r a p p r e s e n t a l'area del q u a d r i l a t e r o A1A l B1 è facilmente calcolabile.

C o m u n q u e le t e r n e di d i a g r a m m i \d e 2d si possono ottenere spostando la trave V i e r e n d e l di u n o o due c a m p j verso sinistra, come a p p a r e nei disegni 6, 7, 8.

Trave semplicemente appoggiata.

S u p p o n i a m o ora che la trave sia lunga m. 18 e cioè sia L = m. 3, h = m. 2 e q u i n d i u = m. 0,50.

R i p o r t i a m o nello specchio n. 1 le t e r n e di equazioni ed i valori delle sollecitazioni p e r le sezioni Ad, ld, 2d, sufficienti a risolvere c o m p l e t a m e n t e il p r o b l e m a essendo la trave simmetrica e simmetrica- m e n t e caricata.

Sono n o t i gli sforzi di taglio in corrispondenza dei m o n t a n t i

TA = 2,5 F T1=1,5F e T2 = 0,5 F ed i m o m e n t i flettenti.

MA = 0 M1 = 7,5 F M2 = 12 F M3 = 13,5 F che p e r m e t t o n o di calcolare le sollecitazioni n e i correnti inferiori e nei m o n t a n t i .

ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE-ANNO 7 - N. 1 - GENNAIO 1953

SEZIONI Ad

Linea d''influenza della N

Fig. 13

linea d'influenza dell et M

Specchio n. 1

Fig. 9

Fig. 10

Osservando la t e r n a dei d i a g r a m m i illustrati nelle figure 6, 7 ed 8 si vede subito che

m = 11/6 . u t = 9/2 . u n = 14/3 . u m = 7/6 . u t' = 3 . u n' = 40/9 . u m" = 3/4 . u t" = 3 . u n" = 2 . u

Supponiamo ora che la trave sia caricata in cor- rispondenza del corrente superiore con forze eguali F applicate ai nodi.

Notando che in questo caso ΣXx= 0 e ΣYy=

FΣy e che Σy è l'area del triangolo A1B' (dove le y sono misurate con l'unità u) si può senz'altro scrivere la terna di equazioni risolutive per la se- zione Ad:

11/6 . M — 9/2 . u T — 14/3 . u N = 7,5 u F 7/6 M — 3 u T — 4 0 / 9 . u N= 7,5 u F 3 / M — 3 u T — 2 u N = 5 u F R i t e n i a m o superfluo di rifare le t e r n e di dia- g r a m m i p e r le sezioni \d e 2d, sufficienti a risol- vere c o m p l e t a m e n t e il p r o b l e m a , p e r c h è le defor- m a t e del secondo e del terzo e l e m e n t o di c o r r e n t e superiore ed inferiore sono eguali a quelle illustrate nelle figg. 6, 7, 8; v a r i a n o soltanto gli spostamenti orizzontali (e q u i n d i gli angoli) p e r c h è i r i q u a d r i adiacenti alle sezioni tagliate sono considerati ri-

6 7

(4)

Fig. 14

La terna r i g u a r d a n t e la sezione di mezzeria 3d n o n è necessaria, ma p u ò servire di controllo.

Gli sforzi di taglio n e i correnti inferiori si ot- tengono p e r differenza dagli sforzi di taglio n o t i .

I m o m e n t i flettenti totali possono servire di controllo al calcolo fatto, dovendo essere (fig. 9 ) :

Nella figura 9 si è costruito il poligono delle forze agenti sugli elementi della trave V i e r e n d e l . Trave perfettamente incastrata.

Come si sa, il m o m e n t o d ' i n c a s t r o , nel nostro caso e:

Mi = 9 . F

e poiché la trave è alta due m e t r i , ciò equivale a s u p p o r r e applicate ai n o d i di estremità due coppie le cui forze sono S = 4,5 F di braccio h (fig. 10).

La risoluzione è i m m e d i a t a : nella figura 10 si è usato lo stesso d i a g r a m m a della figura 9, ma spo-

Specchio

Sezioni Ad

Id

2d

U

n. 2

E q u a z i o n i 11/3 M + 9 / 2 T + 14/3 N = 9,50

7/3 M + 3 T + 40/9 N = 9,00 3/2 M + 3 T + 2 N= 6,40

3 M + 9 / 2 T + 4 N = 21,50 2 M + 3 T + 4 iV = 21,00 3/2 M + 3 T + 2 iV = 11,90 3 M + 9 / 2 T + 4 i V = 27,50 2 M + 3 T + 4 iV = 27,00 3/2 M + 3 T + 2 i V = 14,40 3 M + 9 / 2 T + 4 i V = 27,50 2 M + 3 T + 4 i V = 27,00 3/2 M + 3 T + 2 iV = 13,90

MjF

— 2,26

— 1,73

— 0,85

0,45

TjF

2,00

1,50

0,90

0,10

N/F

1,85

5,00

6,50

y

1,23

0,35

0,13

0,07

X

1,12

1,16

0,95

4,50

stando l'origine O di u n a grandezza eguale alla spinta trovata S.

Con la stessa facilità si poteva risolvere il pro- b l e m a , q u a n d o fosse dato il grado d'incastro supposto p r o p r i o dei vincoli.

Nello stesso m o d o si p u ò risolvere la trave con- tinua d e t e r m i n a n d o i m o m e n t i sugli appoggi e gli sforzi di taglio col solito m e t o d o usato p e r le nor- mali travi continue.

Trave uniformemente caricata, sul corrente supe- riore.

Nella terna di equazioni varia soltanto il termine 27 v che r a p p r e s e n t a l'area totale dei dia- g r a m m i d'influenza calcolati nelle figg. 6, 7, 8.

Nello specchio n. 2 r i p o r t i a m o i dati riguar- d a n t i il nuovo caso, p o n e n d o pL = F il carico distri- buito su ciascun elemento del corrente superiore.

Si tenga presente che gli sforzi di taglio totali in corrispondenza dei m o n t a n t i s o n o : TA = 3 F;

T1=2 F ; T2 = l F e T3 = 0.

Nella figura 11 sono r a p p r e s e n t a t i i d i a g r a m m i delle forze p e r il caso del semplice a p p o g g i o ; nella figura 12 gli stessi d i a g r a m m i p e r il perfetto incastro.

La costruzione è così semplice che non vale la pena di descriverla.

Variazione del calcolo semplificato - Trave Vie- rendel.

M a n t e n e n d o le ipotesi semplificative esposte nel calcolo p r e c e d e n t e ci si p r o p o n e di eseguire il calcolo seguendo il m e t o d o classico p e r la costruzione delle linee d'influenza dello sforzo n o r m a l e N, dello sforzo di taglio T e del m o m e n t o flettente M nelle sezioni considerate dianzi.

Questo m e t o d o di calcolo è i n d u b b i a m e n t e p i ù elegante ed a p p a r e molto p i ù semplice del calcolo p r e c e d e n t e m e n t e esposto m a , p e r eseguirlo, oc- corre calcolare e disegnare l'ellisse in serie delle ellissi degli elementi tagliati nei vari casi; questa costruzione deve essere accurata ed esige almeno il t e m p o c h e , col p r i m o m e t o d o , viene impiegato a risolvere le t e r n e di equazioni 1). I n o l t r e la costruzione delle ellissi centrali di elasticità s u p p o n e la conoscenza delle ellissi dei vari elementi della trave V i e r e n d e l , cioè le loro dimensioni, q u i n d i il calcolo diventa, almeno t e o r i c a m e n t e , di verifica anzichè di p r o g e t t o .

La costruzione delle linee d'influenza è p i ù varia e leggermente p i ù complicata. In conclusione, p e r q u a n t o r i g u a r d a il t e m p o occorrente ad eseguire il calcolo, i due m e t o d i si equivalgono, anzi è forse p i ù conveniente l'uso del p r i m o calcolo esposto nella presente m e m o r i a .

Le linee d'influenza calcolate, sono illustrate p e r la Sezione Ad nella fig. 13, e p e r la Sez. Id nella fig. 14.

I risultati finali sono p r a t i c a m e n t e eguali a quelli o t t e n u t i col p r i m o m e t o d o .

Nota

Le deformate dei singoli elementi della trave Vierendel sono definite dalle tangenti estreme e dalla tangente nel p u n t o di flesso: il p r o c e d i m e n t o è quello illustrato nella figura 5 e r i p e t u t o nei singoli casi t r a t t a t i sopra. E v i d e n t e m e n t e queste deformate ( c h e sono p a r a b o l e o p a r a b o l e cubiche) si possono disegnare ad occhio con grande r i s p a r m i o di t e m p o e con u n a approssimazione più che suffi- ciente, come a p p a r e chiaro osservando le linee d'influenza r i p o r t a t e nelle figure 6, 7, 8, 13, 14.

Benedetto Zimini

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ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGÙ ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE - ANNO 7 - N. 1 - GENNAIO 1953

ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO NUOVA SERIE - ANNO 7 - N. 1 - GENNAIO 1953

dove le d r a p p r e s e n t a n o i bracci delle c o p p i e Na, Nt, N2 applicate alla trave in corrispondenza dei m o n t a n t i .