II compitino di FONDAMENTI DI AUTOMATICA

II compitino di FONDAMENTI DI AUTOMATICA COGNOME e NOME:

Oltre ai necessari articoli di cancelleria (penna, matita, etc.) si può utilizzare solo una calcolatrice non programmabile. Non si possono, in particolare, consultare né tenere con sé libri, appunti, quaderni, computer, telefoni o altri dispositivi. Il solo fatto di tenere con sé materiale non consentito comporta l’annullamento della prova e l’impossibilità di sostenere l’esame per un anno. Durante la prova gli studenti non possono comunicare fra di loro in nessun modo. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche la concisione, l’ordine, la chiarezza di esposizione e la precisione delle risposte.

Durata della prova: 1 ora e 40 minuti.

Esercizio 1. Si consideri lo schema rappresentato in figura, dove G(s) = (s − 4) ²

(s − 1)(s + 4) e il controllore è puramente proporzionale: C(s) = K ≥ 0.

y ₀ (t) y(t)

- k

+

−

- C(s) ^- G(s) ^-

6

Si tracci il relativo luogo delle radici. Si calcolino, in particolare, i punti di intersezione del luogo con l’asse immaginario e i relativi valori di K (discutendo la BIBO stabilità del sistema a catena chiusa) e i punti doppi con i relativi valori di K. Si determini, se esiste, il valore di K per il quale il luogo attraversa il punto −3.

Domanda di teoria. Si consideri lo schema rappresentato in figura, e sia H(s) := C(s)G(s).

Sapendo che la catena chiusa è BIBO-stabile, la pulsazione di attraversamento del dia- gramma di Nyquist di H(s) è 1 rad/s e il relativo margine di fase è pari a π/2, si calcoli l’uscita a regime permanente del sistema a catena chiusa in corrispondenza a

y ₀ (t) = sin(t)

y ₀ (t) y(t)

- k

+

−

- C(s) ^- G(s) ^-

6

1

Traccia di soluzioni.

Esercizio 1. Il luogo delle radici ha la forma di figura.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Root Locus

Real Axis (seconds⁻¹) Imaginary Axis (seconds−1)

Figure 1: Luogo delle radici relativo a G(s) = (s − 4) ² (s − 1)(s + 4) .

1. Utilizzando il criterio di Cartesio si trova che i valori critici di K sono K _cr1 = 1/4 e K _cr2 = 3/8. Si ha BIBO-stabilità della catena chiusa se e solo se K _cr1 < K < K _cr2 .

L’intersezione del luogo con l’asse immaginario relativa a K _cr1 = 1/4 è ovviamente nell’ori- gine degli assi. Le intersezioni del luogo con l’asse immaginario relative a K _cr2 = 3/8 si determinano imponendo (s − 1)(s + 4) + K cr2 (s − 4) ² = 0 e calcolando le soluzioni puramente immaginarie di tale equazione (in altre parole si deve risolvere l’equazione avendo posto s = jω). Si ha dunque (jω − 1)(jω + 4) + K _cr2 (jω − 4) ² = 0, le cui soluzioni sono ω = ±4/ √

11. Dunque le intersezioni con l’asse immaginario relative a K _cr2 = 3/8 sono in

±j4/ √ 11.

2. L’equazione che individua i punti multipli (N D ⁰ = DN ⁰ ) in questo caso ci dà i seguenti candidati punti multipli: s 1/2 = (20 ± 24)/11. Chiaramente, s ₁ = 44/11 = 4 è il punto corrispondente a K = ∞ che sapevo già dover essere presente (zero doppio della catena di azione diretta). Invece, s ₂ = −4/11 è il punto doppio ben visibile nel luogo. Il corrispondente valore di K è K 2 = −(s ₂ − 1)(s ₂ + 4)/(s ₂ − 4) ² ' 0.26.

3. Il luogo attraversa il punto −3 in corrispondenza a K = −(s ₀ − 1)(s ₀ + 4)/(s ₀ − 4) ² dove s ₀ = −3. Dunque, K = −(−3 − 1)(−3 + 4)/(−3 − 4) ² = 4/49.

Teoria. Poiché la catena chiusa è BIBO-stabile, l’uscita a regime permanente del sistema a catena chiusa in corrispondenza a y ₀ (t) = sin(t) è: y _rp (t) = M sin(t + ϑ), dove M := |W (j)|

e ϑ := arg[W (j)]. Si ha W (s) = _1+C(s)G(s) ^C(s)G(s) = _1+H(s) ^H(s) . Quindi W (j) = _1+H(j) ^H(j) . Per definizione di pulsazione di attraversamento si ha |H(j)| = 1 e per definizione di margine di fase si ha π + arg[H(j)] = π/2, da cui arg[H(j)] = −π/2. In conclusione, H(j) ha modulo unitario e fase pari a −π/2, ossia H(j) = −j. Quindi, W (j) = _1+H(j) ^H(j) = _1−j ^−j = ^−j(1+j) ₂ = ^1−j ₂ . Dunque M := |W (j)| = √

2/2 e ϑ := arg[W (j)] = −π/4. In conclusione y _rp (t) =

√ 2

2 sin(t − π/4).

2