Exercices de cours du chapitre II

Exercices de cours du chapitre II

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Exercice II-6 : Mise en équations d’un barreau en traction

Les hypothèses sont celles des poutres longues en petites déformations et petits mouvements. Le matériau est supposé homogène isotrope élastique

1- Application du PFD.

a - Effectuez le bilan des efforts extérieurs exercés sur une tranche d’épaisseur dx . En déduire l’équation du mouvement, puis l’équation locale en tenant compte de la loi de comportement intégrée.

b - Donnez les différentes conditions aux limites homogènes possibles, puis celles correspondants aux trois figures ci-dessous.

x G

_o

x = A

F G

k G

x

_o

0

x = G

x

_o

0

x =

M

c - Donnez les équations du problème ci-contre, en déduire la

solution particulière (problème. Statique) . A

(ρ, E, S) G

x

_o

g G

2- Application du PTV.

a - Écrire l’équation intégrale déduite du PTV correspondant au modèle de traction pour les poutres longues.

b - Pour les deux problèmes représentés par les figures ci-dessous, donner l’expression du PTV correspondant à des champs de déplacements virtuels cinématiquement admissibles.

Pb1 :

k x G

_o

0 x =

g G

x = A

(ρ, E, S)

Pb2 :

k x G

_o

0 x =

g G

x = A

(ρ, E, S) F G

3- Équivalence des principes.

Partez de la forme intégrale équivalente à l’équation locale pondérée sur le domaine. Effectuez une intégration par partie pour affaiblir l’ordre de dérivation du déplacement.

Cette intégration fait apparaître deux termes de frontière, que vous exprimerez en tenant compte des Conditions aux limites en force.

Analyser le résultat obtenu.

Corrigé de l’exercice II-6 :

Cet exercice suppose que le modèle poutre est connu.

Rappels : Modèle barre en traction

Une barre est un élément mécanique qui ne travaille qu’en traction compression, le modèle mathématique est basé sur les hypothèses suivantes :

Petits déplacements. : Les sections droites restent droites : G G u

^{(M t, )}

= u

^{( , )x t}

x

_o

Petites déformations. ε

_xx

= u

_,x

Notation utilisée

u x u

, x

∂ ∂ =

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Milieu isotope homogène élastique et état de contrainte uni axial σ

_xx

= E ε

_xx

En intégrant les contraintes sur la section nous obtenons la loi de comportement intégrée des barres.

xx

= E σ

x G _C

Mf = G

0 G

G

Torseur résultant Contraintes

u

_,x

x G

= ES

R u

_,x

x

Le moment résultant au centre de la section est nul.

Et la résultante définit l’effort normal sur la section droite : N = ES u

_,x

1 : Mise en équations par le PFD

Isolons une tranche d’épaisseur dx , et effectuons le bilan des efforts extérieurs sur cet élément de matière (figure ci-contre)

L'équation de résultante dynamique est : N + dN − + N fdx = ρ Sdx u 

Utilisons alors la loi de comportement intégrée, pour obtenir l’équation locale :

] [ 0, ( , _x ) ,

x ρ Su ESu x f

∀ ∈ A  − =

Les conditions aux limites sont de deux types

• déplacement imposé : u = u _d ( ) t

• force imposée : ESu _{, x} = N _d ( ) t

En dynamique il faudra donner les deux conditions initiales ^{( , 0) ( )} ( , 0) ( )

o o

x x

x x

u u

u u

⎧ =

⎨ =

⎩  

Conditions aux limites homogènes :

• déplacement imposé : u = 0

• force imposée : ESu _{, x} = 0 soit u _{, x} = 0

Conditions aux limites des trois figures ci-dessous.

x G

_o

x = A

F G

( ) ( )

, x t

ESu A = F

k _G

x

_o

0

x =

Attention aux signes, il faut penser normale extérieure.

(0, ) (0, )

, x t o ( t o ) o

ESu x k x δ x

− G = − − G

Soit : ESu , x (0, ) t = k x ( (0, ) t − δ o )

δ o représente la position à vide de l’extrémité libre du ressort.

x G

_o

0

x = M

Il faut isoler la masse et écrire le PFD, et penser action-réaction, donc faire vraiment attention aux signes.

(0, ) t o ( , x (0, ) t o ) Mu  x G = − − ESu x G

Soit : Mu  (0, ) t = ESu , x (0, ) t Pour le problème suivant les équations sont :

A

(ρ, E, S) G

x

_o

g G ] [ ,

, (0, )

( , ) équation locale :

conditions aux limites

les 2 conditions initiales sont supposées données.

0,

0 0

0

xx

x t

t

x Su ESu gS

x u

x u

ρ ρ

⎧ ∀ ∈ − =

⎪ ⎧ = =

⎪ ⎨ ⎨ = ⎩ =

⎪ ⎪

⎩

A

A 

A

En statique : ESu _,xx = − ρ gS Î _,x g

u x Cte

E

= − ρ + en tenant compte de la CL en A

Déformée et vitesse de

déformation initiales

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( )

,x

u g x

E

= ρ A − Î ( ) ²

2

u g x Cte

E

= ρ A − + en tenant compte de la CL en O

( ² )

2

u g x x

E

= ρ A −

2 : Mise en équations par le PTV

Considérons un élément de structure de longueur A , chargé sur sa longueur et à ses extrémités (figure ci-contre).

0 u (M,t) l

F G

_o

G

f G

F

A

Le PTV appliqué à cet élément donne l’équation intégrale suivante :

,x ,x

+ + _{o o} +

o o o

u Su u dx ESu u dx f u dx F u F u

δ ρ δ δ δ δ δ

∀ ∫ ^{A } = − ∫ ^A ∫ ^{A A A}

C’est la forme variationnelle du problème.

Le premier terme correspond au travail virtuel des quantités d’accélération

Le second terme correspond au travail virtuel des efforts intérieurs (efforts de cohésion)

0 0

: _{xx xx xx xx}

S

dV dS dx ES dx

σ δε σ δε ε δε

− ∫ = − ∫∫ ^A = − ∫ ^A

D

avec ε _xx = u _{, x}

Notez que ce terme peut être calculé à partir de la variation de l’énergie de déformation − δ E _d

avec 2 _d : ( ) ,x ²

o

E = ∫ σ ε dV = ∫ ^A ES u dx

D

Le troisième terme correspond au travail virtuel du chargement volumique (champ de force)

Le dernier terme correspond au travail virtuel des efforts appliqués aux extrémités du barreau. Dans le cas ou la condition aux limites porte sur le déplacement, l’effort à l’extrémité est une inconnue du problème.

Applications Pb1 :

k x G

_o

0 x =

g G

x = A

(ρ, E, S)

Le PTV appliqué à la barre s’écrit :

,x ,x

+ + _o ( )

o o o

u Su u dx ESu u dx gS u dx F o u k u u

δ ρ δ δ ρ δ δ δ

∀ ∫ ^{A } = − ∫ ^A ∫ ^A − ^A − Δ ^A

( )

k u _A − Δ représente l’effort exercé par le ressort

Δ = − A x _A est l’allongement du ressort pour un déplacement de l’extrémité u _A = 0 x _A est la position à vide de l’extrémité du ressort

Pour x _A = A ressort non contraint si la barre n’est pas déformée

Î F _k = − ku _A (le ressort s’oppose à l’allongement de la barre)

F o est une inconnue du Pb (effort de l’encastrement sur la barre), sous cette forme le PTV nous donne une équation pour deux inconnues (méthode des multiplicateurs) pour obtenir l’équation du mouvement nous utiliserons des déplacements virtuels cinématiquement admissibles : δ u _o = 0 .

Î _{,x ,x} +

o o o

u CA Su u dx ESu u dx gS u dx ku u

δ ρ δ δ ρ δ δ

∀ ∫ ^{A } = − ∫ ^A ∫ ^A − ^{A A}

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Le terme − ku _A δ u _A représente le travail virtuel des efforts de déformations du ressort il peut être obtenu à partir de l’énergie potentielle du ressort 2 E

_d

= ku

_A²

Î δ E _d = ku _A δ u _A

Pb2 :

k x G

_o

0 x =

g G

x = A

(ρ, E, S) F G

A

Écrivons le PTV pour le système barre+ressort avec A point d’application de la charge.

Nous supposons ici que le ressort est non contraint si la barre n’est pas déformée et u

_A

= 0

,x ,x

+ + _{o o} ( _A )( _A ) _A

o o o

u

Su u dx ESu u dx gS u dx F u k u u u u F u

δ

ρ δ δ ρ δ δ δ δ δ

∀

= − − − − +

∫ ^{A } ∫ ^A ∫ ^{A A A}

Cette formulation permettrait de calculer l’effort d’encastrement du ressort de l’exemple précédent en écrivant l’équation de liaison u _A = 0 , F est alors l’effort nécessaire pour imposer cette liaison.

2 : Équivalence des principes

Partons de l’équation locale : ^{Su ES 2 u} ₂ ^{f 0 x} ] [ ^0,

x

ρ − ^∂ − = ∀ ∈

 ∂ A

Écrire cette équation en tout point est équivalent à écrire 2

2 0

( u ) 0

P P Su ES f dx

x

ρ ^∂

∀ − − =

∫ ∂

A



Remarque : si u est une solution approchée du problème la forme intégrale représente le résidu pondéré de l’équation locale sur le domaine. En effet le résidu, terme « ρ Su  − ESu _,xx − f » n’est pas nul, c’est le résidu.

Effectuons une intégration par partie du terme en u _,xx

2

2 0

0 0

u u P u

P ES dx P ES ES dx

x x x

x

∂ = ⎡ ⎢ ∂ ∂ ⎤ ⎥ − ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ⎣ ⎦

∫ ^{A A} ∫ ^A

Nous obtenons

0 0 0 0

+ P u u

P P Sudx ES dx P ES Pfdx

x x x

ρ ^{∂ ∂ ⎡ ∂ ⎤}

∀ ∫ ^{A } ∫ ^A ∂ ∂ = ⎢ ⎣ ∂ ⎥ ⎦ ^A + ∫ ^A

En tenant compte de la loi de comportement intégrée, les conditions aux limites en force aux extrémités s’écrivent :

( , ) ( , )

o

u o t

F N o t ES

x

= − = − ∂

∂ ^et

( , )

( , ) u t

F N t ES

x

= = ∂

A ∂ A

A

D’où _{, ,}

0 0 0

+ _{x x o o} +

P P Sudx ρ P ESu dx P F P F Pfdx

∀ ∫ ^{A } ∫ ^A = ^{A A} + ∫ ^A

A titre d’exercice partez du PTV, effectuez l’intégration par partie du terme de raideur pour retrouver le PFD (équation locale) et les conditions aux limites du problème.

P est une fonction test, dite foncti de pondération

PTV avec P = δ u