Exercices de cours du chapitre IV : systèmes à N DDL
15
Exercice IV-5: Amortisseur de FRAHM
Objectif : Détermination de la réponse impulsionnelle (analyse modale), et du régime permanent harmonique.
Comparaison amortisseur libre et bloqué.
Ce dispositif (Amortisseur de FRAHM) permet d’atténuer l’amplitude des vibrations d’un système mécanique, dans une gamme de fréquences donnée. Le principe consiste à ajouter au dispositif principal (m
1,k
1) un dispositif secondaire (m
2,k
2).
g G
k
1k
2m
2m
1Effectuez la mise en équations, et déterminez la base modale du dispositif.
On prendra : m
1= 4 m , m
2= m , k
1= 12 k , k
2= 2 k
Calculez la réponse complète du système à une percussion d’intensité P appliquée sur le dispositif principal. Comparez à la réponse obtenue amortisseur bloqué.
Déterminez la solution particulière en régime forcé harmonique pour une force F cos ω t appliquée sur le dispositif principal. Comparez à la réponse obtenue amortisseur bloqué.
Annexe : Que donne la comparaison dans le cas d’un échelon (réponse indicielle).
Corrigé de l’exercice IV-5: Amortisseur de FRAHM
Le principe consiste à ajouter au dispositif principal (4m ,12k) un dispositif secondaire (m ,2k).
Mise en équations :
On pose { }
1 2X
T=< x x >
Déplacements verticaux par rapport à la position d’équilibre du système.
12k
4m
2kx G
ox
1ex
2eg G
m2 2
1 2
2 Ec = 4 mx + mx Î 2 Ec = X MX
T, avec [ ] 4
M m ⎡ 1 ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
(
2 2)
1 2 1 1 1 2 2
4 12( ) 2( )
Ep = mgx + mgx + k x + Δ + x − + Δ x + Cte
A l’équilibre :
0
0
i xi
Ep x
=⎛ ∂ ⎞ =
⎜ ∂ ⎟
⎝ ⎠ Î
1 2
2
4 12 2 0
2 0
mg k k
mg k
+ Δ + Δ =
⎧ ⎨ − Δ =
⎩ D’où
i
Ep KX x
⎛ ∂ ⎞ =
⎜ ∂ ⎟
⎝ ⎠ avec : [ ] 14 2
2 2 K k ⎡ − ⎤
= ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦
Fréquences et modes propres :
[ ] [ ] 14 4 2
2 2
k m k
K M
k k m
λ λ
λ
− −
⎡ ⎤
− = ⎢ ⎣ − − ⎥ ⎦
[ ] [ ]
( )
det K − λ M = 0 Î 4 m
2λ
2− 22 km λ + 24 k
2= 0
D’où les pulsations propres :
126 4 k
ω = m ,
224k ω = m
Modes propres :
Associé à λ
1Î
11{ }
12
8 2
2 1/ 2 0 z z
− ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎨ ⎬ =
⎢ − ⎥
⎣ ⎦ ⎩ ⎭ Î 4 z
11− z
12= 0 Choix z
11=1 Î { } Z
1 T=< 1 4 >
Associé à λ
2Î
21{ }
22
2 2
2 2 0 z z
− ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎨ ⎬ =
⎢ − − ⎥
⎣ ⎦ ⎩ ⎭ Î z
21+ z
22= 0 Choix z
21=1 Î { } Z
2 T=< 1 − > 1 Masses modales m
1= { } Z
1 T[ ] M { } Z
1= 20 m et m
2= { } Z
2 T[ ] M { } Z
2= 5 m
1
,
2Δ Δ
Allongements desressorts à l’équilibre.
11 25
i
4
λ = ±
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16 Réponse impulsionnelle :
Une percussion d’intensité P appliquée sur le dispositif principal : δ T
P= − P
( ) tδ x
1Î [ ] M { } X + [ ] K { } X = ⎨ ⎧ − P 0
( )t⎫ ⎬
⎩ ⎭
, sur la base modale { } [ ] { } 1 1 { }
4 1
X Z q ⎡ ⎤ q
= = ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦
Les équations sont de la forme :
i2{ } { }
i i
1
i Ti
q q Z f
ω m
+ =
Les conditions initiales étant nulles : système à l’équilibre à t=0 Î q
i0= q
i0= 0
D’où
( ) 0( ) sin( ( ))
t t i
i i
i i
q t d
m
ϕ τ ω τ τ
= ∫ ω − soit :
1 1 12 2
2
20 sin
5 sin
q P t
m
q P t
m ω ω
ω ω
⎧ = −
⎪⎪ ⎨
⎪ = −
⎪⎩
Î
1 2
1 2
1
2 1 2
1 2
sin sin 4
sin sin 5
t t
x P
x m t t
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
⎧ + ⎫
⎪ ⎪
⎧ ⎫ = − ⎪ ⎪
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎪ − ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
Application numérique :
20 P
m = π et
ok 2
ω = m = π Î
12
6 4
ω π
ω π
⎧ =
⎪ ⎨
⎪⎩ =
Î
1sin 6 sin 4 4 6 4
t t
x π π π
π π
⎛ ⎞
= ⎜ ⎜ ⎝ + ⎟ ⎟ ⎠ soit
11 1
sin 6 sin 4 6 4
x = π t + π t
A comparer avec la réponse amortisseur bloqué :
Î
1 11
' sin '
5 '
x P t
m ω
= ω avec
1212
' 5 k
ω = m soit
15 48
' sin
3 5
x = π t
Le rapport des amplitudes est
11
' 5 / 3 1/ 6 1/ 4 2 x
x = ≅
+
L’amplitude maximale des oscillations est divisée par deux avec l’amortisseur dynamique.
A titre d’exercice utiliser MATLAB pour tracer la courbe de réponse en temps amortisseur bloqué et libre, comparer ces deux courbes.
Réponse forcée :
Une force F cos ω t appliquée sur le dispositif principal : δ T
P= F cos ω δ t x
1[ ] M { } X + [ ] K { } X = ⎨ ⎬ ⎧ ⎫ F 0 cos ω t
⎩ ⎭
La solution particulière en régime forcé Î 14 4
22
2{ }
2 2 0
k m k F
k k m X ω
ω
⎡ − − ⎤ ⎧ ⎫
= ⎨ ⎬
⎢ − − ⎥ ⎩ ⎭
⎣ ⎦
[ ] [ ]
(
2)
2(
12 2)(
22 2)
det K ω M 4 m ω ω ω ω
Δ = − = − −
{ } 1 2
22
22 14 4 0
k m k F
X k k m
ω
ω
⎡ − ⎤ ⎧ ⎫
= Δ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭
Î ( )( )
( )( )
2
1 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
2 4
2 4
F k m
x m
F k
x m
ω ω ω ω ω
ω ω ω ω
⎧ = −
⎪ − −
⎪ ⎨
⎪ = ⎪ − −
⎩
Ayant un système (2,2) nous cherchons directement la solution sans passer par la base modale
Exercices de cours du chapitre IV : systèmes à N DDL
17 Effectuons le tracé asymptotique de x
1et x '
1,
on pose
0122k
ω = m pulsation d’antirésonance Pour x1 :
0
r → Î A
dB→ Cte Droite horizontale
r → r
1Î A
dB→ ∞ Droite verticale (haut)
r → r
01Î A
dB→ −∞ Droite verticale (bas)
r → r
2Î A
dB→ ∞ Droite verticale (haut) r → ∞ Î A
dB→ −∞ Droite à -40dB/décade
0
A(dB)
log(r)
r
1 2
r r
01
r'
1x'1 x1
Sur ce tracé on voit que dans la zone de fréquence située au voisinage de la résonnance de l’amortisseur bloqué, la réponse sera fortement amortie en libérant l’amortisseur dynamique, on se situe au voisinage de l’antirésonance du système.
Réponse indicielle :
Un échelon d’intensité F est appliqué sur le dispositif principal : δ T
P= F δ x
1Les équations sont de la forme : q
i+ ω
i2q
i= ϕ
iavec
12
/ 20 / 5
F m
F m ϕ
ϕ
⎧ =
⎨ = ⎩ Î q
i( )t= A
icos ω
it sin + B
iω
it + ϕ ω
i/
i2Les conditions initiales sont nulles Î q
i0= q
i0= 0
D’où
i( )t 2i( 1 cos
i)
i
q ϕ ω t
= ω − Î { }
1 21 2
4 q q
x q q
⎧ + ⎫
= ⎨ ⎩ − ⎬ ⎭
( )
1 1 2
