Exercice VIB-MMC-2 : Réponse dynamique d’une barre

(1)

Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : milieux continus et méthodes d'approximation

1

Exercice VIB-MMC-2 : Réponse dynamique d’une barre

Thème : EDP du problème - Réponses dynamiques – Formulation variationnelle ( PTV) – Solutions approchées.

1) Donnez le système d’équations différentielles du problème représenté ci-contre.

Proposer une analyse physique permettant de se ramener à un système

d’équations ayant des conditions aux limites homogènes. ^{(ρ, E, S)}

A _F ^G

2) Déterminez les valeurs et modes propres du problème homogène.

3) Déterminer la solution particulière forcée pour une excitation harmonique F cosωt.

Utiliser l’analyse modale, puis l'expression directe de la solution harmonique.

4) Dans le cas d'une excitation échelon, déterminer par analyse modale la réponse dynamique complète pour des conditions initiales nulles.

5) Exprimer la formulation variationnelle du problème à partir du système d'équations différentielles 6) Donner la forme matricielle des équations pour une approximation

^u

^{( , )}^{x t}

^=< ^ϕ

^{( )}^x

^> { } ^q

^{( )}^t

7) Application avec la base polynomiale

^{∀ ∈} ⁱ [ ] ^1, ⁿ ^x

ⁱ pour la méthode de Galerkin.

Calculer l'approximation des premières fréquences de résonnance pour une approximation à 1 puis 2 ddl.

(2)

Exercices d’application : systèmes à 1 DDL

2

Corrigé

1- Mise en équations

(ρ, E, S)

A _F ^G ] [

,

, (0, )

( , ) équation locale :

conditions aux limites

les 2 conditions initiales sont supposées données.

0, 0

0 0

xx

x t

t

x Su ESu

x u

x ESu F

ρ

⎧ ∀ ∈ − =

⎪ ⎧ = =

⎪⎨ ⎨ =⎩ =

⎪⎪

⎩

A A

A

forme 1 du Pb.

Pour obtenir des conditions aux limites homogène on imagine que la charge est appliquée juste avant l'extrémité de la barre et on en tient compte dans l'équation locale en faisant intervenir une fonction de type Dirac, notée

δ ( x − A )

] [

,

, (0, )

( , )

CL :

( )

0, 0

0

xx

x t

t

x Su ESu F

u u

δ x ρ

⎧∀ ∈ − =

⎪ ⎧ =

⎨ ⎨

⎪ ⎩ =

−

⎩ ^A

A

A forme 2 du Pb

2- Valeurs propres

On cherche des solutions de la forme :

u x t ( , ) = U x f t ( ) ( )

avec

f = − ω

²

f

Î Équation locale :

,

₂ ²

0 U

x

+ λ U =

avec

λ

²

= ω ρ

²

/ E

Les solutions sont de la forme :

Pour

ω = 0 U x ( ) = A

₀

+ A x

₁ (modes rigides) Les CL entrainent

A

₀

= 0

et

A

₁

= 0

Solution banale, ici il n'y a pas de mode rigide Pour

ω ≠ 0 U x ( ) = A cos λ x + B sin λ x

Les CL Î

A = 0

et

λ B cos λ A = 0

les solutions non banales correspondent à

cos λ A = 0

soit :

(2 1)

i

i π 2

λ A = −

Î

(2 1)

₂

i

2 i π E ω ⁼ ⁻ ρ A

Et les modes de vibration associés

(2 1) ( ) sin

i i

2 i x

Z x = B − π

A

On peut choisir comme norme

B

_i

= 1

Î _i²

/ 2

o

Z dx =

∫

^A

ou la M norme _i²

S

o

Z ρ dx = m

∫

^A ^Î

^B

ⁱ

⁼ ²

3- Réponse dynamique forcée

Par l'analyse modale (utilise la forme 2 du Pb) On cherche la solution sous la forme :

1

( , )

_i

( ) ( )

_i

i

u x t Z x q t

∞

=

= ∑

^, Les CL sont vérifiées

L’orthogonalité des modes Î

[ [ ^1,

i i² i

¹

i

⁽ ^{) cos(} ⁾

ii o

i q q Z x F t dx

ω m δ ω

∀ ∈ ∞ + = ∫

^A

− ^A

Utilisons la M norme :

(2 1)

( ) 2 sin

i

2 i x

Z x − π

= A

Î

[ [ ^1,

i i² i

^{2( 1)}

ⁱ ¹

^cos( ⁾

i q q F t

ω m

⁺

ω

∀ ∈ ∞ + = −

La solution forcée est

[ [ 1,

2 2

2( 1)

¹

cos( )

( )

i i

i

i q F t

m ω

ω ω

∀ ∈ ∞ = −

+

−

(3)

Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : milieux continus et méthodes d'approximation

3 Finalement

1

2 2

1

2 (2 1) ( 1)

( , ) sin cos( )

2 ( )

i

i i

F i x

u x t t

m

π ω

ω ω

∞ +

=

− −

= ∑ _A −

Solution direct (utilise la forme 1 du Pb)

On cherche la solution sous la forme :

u x t ( , ) = U x ( ) cos( ω t )

Dans l'équation locale Î

− ω ρ

²

SU − ESU

_,_xx

= 0

on pose

λ

²

= ω ρ

²

S ES /

La solution est de la forme

U x ( ) = A cos λ x + B sin λ x

Les CL Î

A = 0

et

λ B cos λ A = F ES /

soit

B = F ES / λ cos λ A

D'où

( , ) sin( ) cos( )

cos

u x t F x t

ES λ ω

λ λ

= A

C'est plus rapide.

Les deux expressions sont équivalentes (même réponse)

4- Réponse dynamique complète

Il faut chercher la solution sous la forme :

1

( , )

_i

( ) ( )

_i

i

u x t Z x q t

∞

=

= ∑

(analyse modale)

Î

[ [ ^1,

i i² i

¹

i

^{( )}

ii o

i q q Z F t dx

ω m

∀ ∈ ∞ + = ∫

^A

Pour une excitation échelon une solution particulière est

1

2 2

2 (2 1) ( 1) 2

sin 2

i

ii i o i

i x

q dx

m m

π

ω ω

− −

+

= ∫

^A

_A =

Les solutions sont donc de la forme

1 0

0 2

( 1) 2

( ) cos sin

i i

i i i i

i i

q t q t q t

ω ω m

ω ω

−

+

= + +

Les conditions initiales étant nulles

( 0) 0( )

2 0

0

1 0

t x

i i

i

q U Z dx

Z dx

=

= ∫ =

∫

A

A Î

1

0 2

( 1) 2 0

i

q m ω

−

+

+ =

, de même on trouve

q

_i₀

= 0

Finalement 2 ¹

( )

1

2 ( 1) (2 1)

( , ) 1 cos sin

2

i

i i

i x

u x t t

m

ω π ω

∞ +

=

− −

= ∑ − _A

5- Formulation variationnelle du problème (résidus pondérés)

Nous utiliserons la forme EDP 1 du problème comme point de départ Il est équivalent de partir de la forme 2 Partons de l'équation locale pondérée : ( ) ,

0

( ) 0

x xx

P ρ Su − ESu dx =

∫

^A

Effectuons une intégration par partie du terme de raideur

, 0 , ,

0 0

_x _x _x

0 P ρ Su P dx ⎡ ESu P ⎤ ESu P dx

∀ ∫

^A

− ⎣ ⎦

^A

+ ∫

^A

=

En tenant compte de la condition

ESu

_,_x( , )A t

= F

( ) ( ) ( )

, , ,

0 0

_x _x _x ^o ^o

P ρ Su P dx ESu P dx F P ESu P

∀ ∫

^A

+ ∫

^A

=

^A

−

, ( )o

o x

F = − ESu

, représente l'effort de liaison en O Pour des fonctions test (pondération) cinématiquement admissible

( )o

0 P =

, il reste

1

équation à

1

inconnue : , , ( )

0 0

CA x x

P ρ Su P dx ESu P dx F P

∀ ∫

^A

+ ∫

^A

=

^A

(4)

Exercices d’application : systèmes à 1 DDL

4

C'est la forme variationnelle du problème, on reconnaît aisément le PTV

6- Forme matricielle du PTV

Pour une approximation

^u

^{( , )}^{x t}

^{=< >} ^ϕ { } ^q

on utilise N fonctions test (pondération) sous la forme

^P

^{( )}^x

^{=< >} ^P { } ^δ ^q

D'où la forme matricielle

[ ] ^M { } ^q ⁺ [ ] ^K { } { } ^q ⁼ ^F

Avec :

[ ]

0

M = < > ∫

^A

P

T

ρ S < > ϕ dx

^;

^{[ ]}

^, ^,

0

T

x x

K = < ∫

^A

P > ES < ϕ > dx

^et

^{{ }} ^F ^{= <} ^F ^P

^{( )}^A

^>

^T

Si l'on utilise la méthode de Galerkin < > = < >P

ϕ

il faut utiliser des fonctions de forme CA :

ϕ

( )^o

= 0

7 Application à 1 et 2 DDL ^{∀ ∈} ⁱ [ ] ^1, ⁿ ^x

ⁱ

Cette approximation est cinématiquement admissible

0 i j

m

ij

= ρ S x ∫

^A ⁺

dx

^; ²

0

^{i j}

k

ij

= i j ES x ∫

^A ^{+ −}

dx

^{; et}

^f

ⁱ

^{= A} ^F

ⁱ

Approximation 1 DDL

3

3 S q ES q F

ρ A ₊ ₌

A A

, d’où l’approximation ₁²

3 ES

₂

ω S

= ρ

A

on pose

ω

_o²

S

₂

= ρ A

3 = 1, 732

, à comparer à la solution analytique

π / 2 1, 571 =

C'est déjà bien Approximation 2 DDL

{ } { }

3

2 2 2

1/ 3 / 4 1

/ 4 / 5 4 / 3

S q ES q F

ρ ^⎡ ⎢ ^⎤ ⎥ + ^⎡ ⎢ ^⎤ ⎥ = ⎨ ⎬ ^{⎧ ⎫}

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

A A A

A A

A A A A A

^d’où

1 0

2 0

1, 577 5, 673

ω ω

⎧ =

⎨ =

⎩

à comparer à la solution analytique

π / 2 1, 571 ; 3 / 2 = π = 4, 712

Exercice VIB-MMC-2 : Réponse dynamique d’une barre