des milieux continus

(1)

Fiche de cours du chapitre V Vibrations des milieux continus

1

Vibrations

des milieux continus

Résolution formelle

Partons du système d'équations différentielles :

Équation locale : ∀ ∈ M D L(u) G + M(u) G = f G Conditions aux limites : ^{∀ ∈} ⁱ [ ]

1,ⁿ

B

_i

( ) ^u G ⁼ ^e

i M t⁽ ^{, )}

Conditions initiales données : u ^G

⁽^M^{, )}₀

et u ^G

⁽^M^{, )}₀

donnés

Méthodologie

Mise en forme des équations pour se ramener à des Conditions aux limites homogènes.

Résolution du problème homogène.

Calcul des pulsations propres ω

_i

et des modes propres associés G Z

_{i M}⁽ ⁾

Utilisation de la base modale pour "diagonaliser" les équations. (TH d'expansion).

On cherche G

u

⁽^{M t}^{, )}

de la forme ∑

^∞

i

i t i M

q Z G

⁽ ⁾

⁽⁾

Résolution des équations en q

_i^{( )}^t

et retour aux déplacements.

Résolution du problème homogène

On cherche une solution de la forme : u G

⁽^M^,^t⁾

= U G

⁽^M⁾

f

⁽^t⁾

avec f f

^{( )}^t

harmonique.

A partir de la solution supposée connue de l'équation différentielle L(u) G

₂

M(u) G G

+ ω = 0 , on construit le système homogène d'équations associé aux conditions aux limites: ^{∀ ∈} ⁱ [ ]

¹^,ⁿ

^B

i

^{( )} ^z ⁼ ⁰

G G

Ce système admet une solution non banale si det( ) B = 0 ⇒ solutions ω

_i

Puis ^{∀ ∈} ⁱ [ ]

1,n

z G

_i

solution de B(z ) G

_i

⁼ 0 G

Propriété : la base modale ainsi construite est une base L

^⊥

et M

^⊥

des milieux continus

Fiche de cours du chapitre V Vibrations des milieux continus

1

Vibrations

des milieux continus

Résolution formelle

Partons du système d'équations différentielles :

Équation locale : ∀ ∈ M D L(u) G + M(u)  G = f G Conditions aux limites : ∀ ∈ i [ ]

B

( ) u G = e

Conditions initiales données : u G

et u G 

donnés

Méthodologie

Mise en forme des équations pour se ramener à des Conditions aux limites homogènes.

Résolution du problème homogène.

Calcul des pulsations propres ω

et des modes propres associés G Z

Utilisation de la base modale pour "diagonaliser" les équations. (TH d'expansion).

On cherche G

u

de la forme ∑

q Z G

Résolution des équations en q

et retour aux déplacements.

Résolution du problème homogène

On cherche une solution de la forme : u G

= U G

f

avec f f

harmonique.

A partir de la solution supposée connue de l'équation différentielle L(u) G

M(u) G G

+ ω = 0 , on construit le système homogène d'équations associé aux conditions aux limites: ∀ ∈ i [ ]

B

( ) z = 0

G G

Ce système admet une solution non banale si det( ) B = 0 ⇒ solutions ω

Puis ∀ ∈ i [ ]

z G

solution de B(z ) G

= 0 G

Propriété : la base modale ainsi construite est une base L

et M

complète.

Équation locale : ∀ ∈ M D L(u) G + M(u) G = f G Conditions aux limites : ^{∀ ∈} ⁱ [ ]

( ) ^u G ⁼ ^e

Conditions initiales données : u ^G

et u ^G

+ ω = 0 , on construit le système homogène d'équations associé aux conditions aux limites: ^{∀ ∈} ⁱ [ ]

^B

^{( )} ^z ⁼ ⁰

Puis ^{∀ ∈} ⁱ [ ]

⁼ 0 G