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Matematica Discreta

Esercizi del giorno 14 ottobre 2011

1) Si definisca un nuovo operatore logico che, dati 2 predicati P, Q nelle stesse variabili, costruisce un nuovo predicato (indicato col simbolo PQ) definito da:

PQ = (P Q )v(

P

Q)

Calcolare la tavola di verità di questo operatore.

Soluzione: se per esempio P, Q sono entrambi veri, ricordando le tavole di verità della congiunzione, disgiunzione e negazione si ottiene:

11 = (1 1 )v( 1 1)=0v0=0

quindi in tale caso il predicato PQ è falso. Calcolando con gli stessi metodi gli altri 3 possibili casi si ottiene alla fine la seguente tavola di verità di PQ:

1 0

1

0

(in pratica il predicato PQ corrisponde alla “disgiunzione esclusiva”: esso è vero solo per i valori delle variabili che rendono vero uno e uno solo dei predicati P, Q). 2) Descrivere in modo esplicito l’insieme A descritto in modo implicito dal predicato P Q , dove: P(x) =”x>-3”, Q(x)=”x

2

>10” (universo della variabile x = numeri interi relativi) Soluzione: Si ha (P Q )(x)=”x>-3 e x

2

10”, dunque A = { x / (P Q )(x)=”x>-3 e x

2

10” } = {-2,-1,0,1,2,3} 3) Dati gli insiemi A= {1,-1,2,-2,3}, B = {2,5,10,12} e la relazione R da A a B definita dalla matrice booleana: 2 5 10 12

1

-1

2

-2

3

Descrivere R in modo esplicito, implicito e grafico.

Soluzione: Dalla matrice si ricava 1R2, (-1)R2, 2R5, (-2)R5, 3R10 dunque in modo esplicito R è descritta da R={(1,2), (-1,2), (2,5), (-2,5), (3,10)} e in modo grafico da

Poiché si nota che un elemento xA è associato ad un elemento yB se e solo se x

2

+1=y, un predicato che descrive implicitamente R è P(x,y)=” x

2

+1=y”.

A R B

0 1

1 0

1 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 -1 2 -2 3

2

5

10

12

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