QUA_D007
Cliente
Le carte di controllo
Le carte di controllo in accettazione e per attributi
Sommario
INTRODUZIONE ... 1
LE CARTE DI CONTROLLO IN ACCETTAZIONE ... 1
Piano di campionamento ... 1
Curva caratteristica operativa ... 2
Rischi del campionamento ... 4
Parametri di riferimento dei piano di campionamento. ... 6
Tavole di campionamento ... 6
Caratteristiche del lotto da sottoporre alla ispezione ... 7
Procedura per il campionamento ... 7
Piani di campionamento normali, ridotti e rinforzati ... 8
Piano ridotto ... 8
Piano rinforzato ... 9
Classificazione dei difetti ... 9
LE CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI ... 11
Modelli probabilistici ... 11
Probabilità ... 11
Modelli probabilistici ... 11
Considerazioni sui modelli probabilistici ... 14
Carta P percentuale di elementi difettosi ... 14
Carta NP del numero di elementi difettosi ... 17
Carta C del numero di difetti per unità ... 18
BIBLIOGRAFIA ... 21
INTRODUZIONE
Il controllo in accettazione ha richiesto l’impiego di metodi statistici che hanno brillantemente risolto problemi di controllo altrimenti di risoluzione lunga e costosa, e non sempre di sicuro affidamento.
Il metodo statistico, che come sappiamo è in grado di esprimere un giudizio su un tutto dall’esame di una parte di questo, offre soluzioni di controllo che permettono un risparmio di tempi e di costi rispetto al classico controllo al 100%.
I metodi statistici impiegati per il controllo in accettazione accettano la possibilità di trovare elementi difettosi tra quelli accettati, e sono in grado di definirne quale sia la probabilità.
Il ragionamento seguito è il seguente: se siamo in presenza di un lotto di 1000 elementi preleviamo ad esempio un campione di 300 elementi da controllare e in base a questo decidiamo di accettare il lotto o meno.
Dall’analisi del campione stabiliamo che il lotto presenta una certa percentuale di elementi difettosi, ad esempio del 5%. Se riteniamo accettabile questa percentuale accetteremo il lotto, viceversa il lotto sarà rifiutato. A fronte del costo degli elementi difettosi da scartare, si ha un netto risparmio nel controllo degli elementi, soltanto 300 al posto di 1000.
Definiremo pertanto il controllo in accettazione quel controllo inteso a valutare la qualità e l´accettabilità della materia prima, o del prodotto semi-finito, o del prodotto finale sulla base del controllo di un campione effettuato seguendo determinate procedure statistiche.
Lo strumento cui il controllo in accettazione ricorre è il piano di campionamento, e l’operazione esercitata da questo viene definito controllo campionario.
LE CARTE DI CONTROLLO IN ACCETTAZIONE
Piano di campionamento
Un piano di campionamento consiste nel definire:
il lotto di elementi grezzi, semi-finiti, finiti che si intende prendere in considerazione
l´entità del campione che si deve estrarre dal lotto
la caratteristica di qualità richiesta dalla specifica tecnica
le condizioni di accettazione di rifiuto del lotto
L’accettazione del lotto dipenderà dal numero di elementi difettosi che possono trovarsi nei campioni, numero che viene fissato dal piano di campionamento.
Un piano di campionamento viene rappresentato dai seguenti elementi:
N = dimensione del lotto
n = dimensione del campione
NA = numero di accettazione, cioè il massimo numero di elementi difettosi ammessi nel campione
NR =numero di rifiuto, minimo numero di elementi difettosi nel campione a partire dal quale il lotto viene rifiutato
Ad esempio un piano di campionamento può essere rappresentato dal seguente schema:
N = 400 n = 55 NA = 6 NR = 7
Che significa che da lotti di 400 elementi saranno estratti campioni di 55 elementi; se in questi gli elementi difettosi riscontrtati sono minori o uguali a 6 il loto sarà accettato, se invece risulteranno maggiori o uguali a 7 verrà rifiutato.
I piani di campionamento sono classificati in:
semplici
doppi
multipli
sequenziali
Un piano si dice semplice quando l´accettazione del lotto dipende dal risultato del controllo di un solo campione; un piano si dice doppio quando l’accettazione del lotto dipende dal risultato del controllo di due campioni secondo uno schema simile al seguente
1° campione: n1 = 32 NA1 = 3 NR1 = 7 2° campione: n2 = 32 NA2= 8 NR2 = 9
Si controlla il campione 1, se sono presenti al massimo 3 elementi difettosi si accetta il lotto; se contiene 7 o più elementi difettosi il lotto viene rifiutato; se contiene tra 4 e 6 elementi difettosi si estrae dal lotto un campione di n2 elementi, e se in questo sono presenti un numero di difettosi che sommati al numero di difettosi del primo campione raggiunge un massimo di 8 elementi difettosi, il lotto viene accettato, altrimenti rifiutato.
Un piano si dice multiplo quando l´accettazione del lotto dipende dal risultato del controllo di più di due campioni. Un tale piano si presenta come nel seguente schema:
Campione n NA NR
1 13 0 4
2 13 1 6
3 13 5 8
4 13 7 11
5 13 10 12
6 13 13 14
Il procedimento da seguire nel caso multiplo è analogo a quello seguito per il piano doppio.
Se nel primo campione il numero di elementi difettosi e nullo si accetta il lotto, se il numero é 4 o più si rifiuta, se è minore di 4 si procede ad estrarre un secondo campione. Se il numero di elementi difettosi, dati dalla somma dei due campioni estratti, è di 1 elemento difettoso si accetta il lotto, se è maggiore di 6 si rifiuta, altrimenti si procede ad estrarre un terzo campione. Si procede finche non si riesce ad trovare un numero di difetti che ricada nell’intervallo imposto per accettare o rifiutare il lotto.
Curva caratteristica operativa
I piani di campionamento di qualsiasi tipo e di qualsiasi impostazione si basano sulla curva caratteristica operativa, abbreviata a C.O.
La curva caratteristica operativa ha nel campo del controllo di accettazione la stessa fondamentale importanza che ha la curva normale nel campo di applicazione delle carte di controllo.
Per renderci conto del significato della curva operativa partiremo dallo schema di un qualsiasi piano di campionamento, per esempio dal seguente:
N = 50 n = 8 NA = 1 NR = 2
dove ricordiamo:
N = dimensione del lotto N = dimensione del campione NA = numero di accettazione NR = numero di rifiuto
Lo schema del piano bisogna leggerlo nel seguente modo: dopo avere formato lotti di 50 elementi ed avere estratto da ognuno di essi un campione di 8 elementi, il lotto sarà accettato se nel campione vi saranno 0 od 1 difettoso, mentre il lotto sarà rifiutato se nel campione vi saranno 2 o più difettosi.
Il problema che lo schema di campionamento scelto ci propone è quello di determinare quali saranno le percentuali dei lotti, che presentano al loro interno una certa percentuale di elementi difettosi, di essere accettati in base al piano di campionamento adottato.
Riportando su un piano cartesiano in ascissa la percentuale di elementi difettosi presenti all’interno dei lotti, e in ordinata la percentuale dei corrispondenti lotti accettati, tracceremo una linea continua che costituirà la curva operativa cercata.
La curva operativa non è altro che un grafico che riporta la probabilità di un lotto che ha una data percentuale di elementi difettosi di essere accettato in base al piano di campionamenti adottato.
Procediamo ora a tracciare la C.O.
Il piano di campionamento preso in considerazione è caratterizzato dall’avere lotti finiti di non grande ampiezza, e dall’avere campioni estratti senza ripetizione. Sotto queste ipotesi il modello
probabilistico da adottare è il modello ipergeometrico.
La probabilità che cerchiamo in questo caso è quella di estrarre dal lotto, che ha una percentuale p di elementi difettosi, un campione che contenga al massimo un elemento difettoso.Per determinare la probabilità ci riferiremo alla definizione classica di probabilità, che la definisce come il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili.
Il numero di casi favorevoli è dato dal numero di campioni che contengono al massimo un elemento difettoso che si possono estrarre dal lotto, ricorrendo alle combinazioni si ha la seguente formula:
Cr,0 C50 – r, 8 – 0 + Cr,1 C50 – r, 8 - 1
dove r è il numero di difetti presenti all’interno del lotto, ed è dato dal prodotto tra la percentuale p di elementi difettosi e la dimensione N del lotto.
Il numero di combinazioni possibili, l’insieme di tutti i campioni che possono essere estratti dal lotto, è invece data da:
C50,8
Per il tracciamento della curva operativa prenderemo in considerazione lotti che presentano le seguenti percentuali di elementi difettosi, e si determinano i corrispondenti numeri di elementi difettosi:
p = 2% - 4% - 6% - 8% - 10% - 20% - 30% - 40% - 50%
r : n° difettosi = 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 10 - 15 - 20 - 25
Sostituendo i valori trovati nelle espressioni sopra, e dividendo i casi favorevoli per i casi possibili avremo le probabilità di accettazione del lotto e precisamente:
P (2%) = 0.9999 P ( 8%) = 0.8984 P (30%) = 0.2313 P (4%) = 0.9771 P (10%) = 0.8055 P (40%) = 0.0867 P (6%) = 0.9371 P (20%) = 0.4905 P (50%) = 0.0244
con il presente piano di campionamento si ha ad esempio che un lotto, che presenta una percentuale di elementi difettosi pari al 2%, ha una probabilità del 99.9% di essere accettato.
Ora basta semplicemente riportare nel grafico i valori per ottenere la curva operativa cercata.
Pa
% 100
2 20 40 p%
La curva operativa è la rappresentazione grafica del piano di campionamento adottato, e permette di sapere con che probabilità un lotto che presenta una percentuale p di elementi difettosi potrà essere accettato.
La C.O. è di estrema importanza sia per il committente, per sapere il rischio che corre di accettare dei lotti con una elevata percentuale p di elementi difettosi, sia per il fornitore che in questo modo determina quale p devono avere i lotti prodotti per avere una buona probabilità di essere accettati.
In base alle caratteristiche del piano di campionamento scelto si determina quale modello probabilistico adottare per determinare la probabilità di accettazione dei lotti e tracciare la curva caratteristica operativa.
Rischi del campionamento
Gli errori che perciò si possono commettere in accettazione sono di due tipi:
errore di rifiutare lotti che dovrebbero essere accettati
errore di accettare lotti che dovrebbero essere rifiutati
Questi due tipi di errori corrispondono ai rischi di accettazione e di rifiuto che corrono i due personaggi coinvolti nella fase di accettazione: il fornitore e il committente.
La curva caratteristica operativa fornisce la probabilità di accentazione dei lotti rispetto ad una
costante percentuale di elementi difettosi in essi contenuti, fornisce perciò anche la probabilità con cui un lotto che ha una certa percentuale di elementi difettosi sarà rifiutato.
Conviene che i due soggetti si mettano d’accordo nel definire i limiti di rischio per entrambi.
L’accordo può essere formulato nel seguente modo:
il fornitore si impegna a fornire un prodotto di qualità tale che la percentuale di elementi difettosi non supererà una certo p1
il committente si impegna ad accettare un prodotto di qualità inferiore a p1, purché la percentuale di elementi difettosi non supererà un certo p2
In base alla conoscenza di questi due parametri viene definita la curva operativa e di conseguenza il piano di campionamento.
Sul piano pratico questo significa adottare un piano di campionamento dove si abbia per lotti che presentano una percentuale di elementi difettosi pari a p1 la massima probabilità di accettazione, ad esempio del 95%. In questo modo il fornitore accetta un rischio pari ad =0.05% di vedersi rifiutati i lotti che invece andrebbe accettati.
Analogamente significa avere per lotti che presentano una percentuale di elementi difettosi pari a p2 la minima probabilità di accettazione,ad esempio una probabilità di accettazione del 10%. Il committente accetta perciò un rischio pari a =10% di accettare lotti che dovrebbero essere scartati.
Pa
% 100 95
10
p1 p2 p%
La percentuale p1 a favore del fornitore viene definita : livello di qualità accettabile LQA La percentuale p2 a favore del committente viene definita: livello di qualità tollerabile LQT.
In base ai parametri LQA, LQT, e è possibile definire il piano di campionamento, e di conseguenza è possibile tracciare la specifica curva operativa.
La curva operativa costituisce l’elemento base per conoscere la protezione che un piano di campionamento assicura contro il rischio di rifiutare lotti buoni e di accettare lotti difettosi. Serve come verifica del piano di campionamento che si vuole adottare.
Le curve operative sono tracciate calcolando i punti ricorrendo, in base al piano di campionamento adottato, all’uno o all’altro dei diversi modelli probabilistici conosciuti: l’ipergeometrico, il binomiale, il Poisson.
Il modello ipergeometrico viene raramente impiegato per la laboriosità dei calcoli, esso si presta bene nei casi in cui sia la dimensione del campione e sia il numero di accettazione siano piccoli.
Il modello binomiale è da utilizzare per un LQA uguale al 10% o meno e per dimensione di campioni uguali ad 80 o meno; il modello di Poisson infine per un LQA uguale al 10% ma con dimensione del campione maggiore di 80.
Parametri di riferimento dei piano di campionamento.
Per definire i parametri di un piano di campionamento è pratica generalizzata ricorrere a piani gia predisposti e tabulati.
Le tavole di campionamento largamente utilizzate sono quelle edite dal Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti, e che vanno sotto la specifica MIL-STD-105D.
Le tavole della MIL-STD-105D sono state costruite in modo tale che la CO del piano di
campionamento presenta una probabilità di accettazione pari a Pa = 0.95 in corrispondenza del livello qualità accettabile (LQA).
Tavole di campionamento
Le tavole di campionamento MIL-STD-105D contengono tutti i parametri necessari ad impostare un piano di campionamento sia semplice, o doppio o multiplo, e cioè i parametri:
N = dimensione o numerosità del lotto n = dimensione o numerosità del campione LQA = livello di qualità accettabile NA = numero di accettazione NR = numero di rifiuto
Per determinare i parametri del piano di campionamento si fissano innanzitutto LQA ed n.
La dimensione del campione è in funzione della dimensione N del lotto e viene rappresentata a mezzo di una lettera di codice. Questa lettera si ricava dalla tavola dei livelli di controllo.
I livelli di controllo definiscono la dimensione del campione in funzione della dimensione del lotto.
Vengono considerati tre livelli di controllo generali, indicati dai numeri romani I, II, III e da quattro livelli di controllo speciali, indicati come S-1, S-2, S-3, S-4.
Il livello di controllo di uso generale , e a cui di solito si fa sempre riferimento, è il livello II.
La scelta del livello dipenderà dal rischio che si vuole accettare di accettare lotti con percentuale di difettosi diversa dal prefissato LQA, rischio che sarà maggiore con i livello I e minore con il livello III, rispetto al livello medio II.
I livelli speciali sono proposti per le situazioni dove la dimensione del campione è relativamente piccola.
Fissato LQA e la dimensione del lotto, stabilito il livello di controllo, si viene a determinare la lettera di codice che ci darà la dimensione n del campione. Con questi dati ora siamo in grado di definire il piano di campionamento. Andando sulle tabelle dei piani di campionamento, i punti in cui si incontrano la linea verticale per LQA e la line a orizzontale per n ci forniscono i valori di NA e NR.
A questo punto siamo in possesso di tutti i parametri necessari per partire con i nostro piano di campionamento.
Talvolta potrebbe capitare che la lettera di codice trovata indica un campione di dimensioni maggiori del lotto, in questi casi si sottopone il lotto ad un controllo al 100%.
Caratteristiche del lotto da sottoporre alla ispezione
Un lotto è inteso come un insieme di elementi tali da essere accettati o rifiutati come un tutto sulla base del controllo di un certo numero di elementi campioni estratti a caso da esso.
Bisogna fare attenzione e cercare di formare dei lotti i cui elementi siano il più omogenei possibili.
Per quanto riguarda la dimensione dei lotti , la tavola dei livelli di controllo ci fa vedere che all’aumentare della dimensione del lotto aumenta la dimensione del campione, maggiore è la dimensione del campione e maggiore sarà la discriminazione tra lotti buoni e lotti cattivi. Da ciò si deduce che è sempre meglio ricorre a lotti di grandi dimensioni.
Anche da un punto di vista economico si è a favore dei lotti di grandi dimensioni, difatti il costo unitario del controllo diminuisce con l’aumentare della numerosità del campione da controllare.
Alla luce di queste considerazioni si ha la convenienza di formare dei lotti di grandi dimensioni, e per la maggiore discriminazione ottenibile tra lotti buoni e lotti cattivi, e per la diminuzione del costo unitario del controllo.
Il lotto deve però anche soddisfare l’esigenza di essere omogeneo, e questa condizione, basilare per l’attendibilità del lotto, non può in pratica essere sempre applicabile per lotti di grandi dimensioni.
Ci troviamo in presenza di due condizioni in certo qual modo contrapposte, e i nostri sforzi devono essere indirizzati a trovare un giusto equilibrio nella formazione di lotti che siano sufficientemente grandi e nello stesso tempo il più possibile omogenei.
Procedura per il campionamento
Al pari della procedura per la formazione del lotto, la procedura per la formazione del campione presenta le medesime difficoltà.
I requisiti che deve avere un campione sono quelle di essere rappresentativo del lotto da cui proviene e di essere estratto secondo le leggi della casualità.
Solo il caso deve essere preposto al prelievo del campione, onde il lotto deve essere presentato al controllo in modo che l’ispettore possa prelevare gli elementi del campione con la medesima probabilità di estrazione.
Si deve sempre poter raggiungere qualsiasi elemento del lotto con la medesima facilità e ci si deve sempre assicurare che ciò sia possibile.
Qualora il lotto fosse presentato al controllo suddiviso in diversi contenitori si usa l’accorgimento di considerare il contenuto di ogni contenitore come un sub-lotto e da ognuno di questi si estrae un sub- campione proporzionale alla dimensione del sub-lotto. L’insieme dei sub-campioni formeranno la dimensione del campione.
Piani di campionamento normali, ridotti e rinforzati
I piani sino ad ora trattati sono piani che vengono definiti normali. Se il prodotto di un fornitore dimostra una costante alta di qualità, appare ragionevole ridurre l’ispezione, con notevole risparmio di costi del controllo, e il maggiore rischio di accettare lotti di qualità inferiore è mitigato dall’alta qualità dei prodotti dimostrata dal fornitore.
Qualora il prodotto di un fornitore dimostra viceversa costante bassa qualità, sembra logico rendere più severo il controllo ricorrendo ad un piano di campionamento che dia maggiore protezione contro l’accettazione di lotti di bassa qualità. I piani a cui si ricorre per l’uno e l’altro caso citati sono: il piano ridotto e il piano rinforzato.
Piano ridotto
Si applicherà il piano ridotto dopo che alcune condizioni siano state verificate, e cioè:
a) i 10 lotti precedenti alla decisione di passare dal piano normale a quello ridotto siano stati accettati al primo controllo
b) il numero totale di elementi difettosi riscontrati nei 10 lotti precedenti sia uguale o minore del numero che si ricava dalla tabella prospetto VIII della MIL: numeri limite per il passaggio al collaudo ridotto.
c) la produzione non subisca interruzione
Un piano ridotto può essere realizzato in due modi: o agendo sul LQA, fissandone uno superiore, oppure ridurre la quantità di elementi da ispezionare.
Agendo sul LQA si richiede una qualità inferiore perciò si ha un numero di accettazione NA maggiore ma il numero di elementi da controllare è lo stesso.
Riducendo invece il numero di elementi da controllare si mantiene la stessa qualità, NA medesimo, ma si ha un netto risparmio dei costi, pertanto si sceglie questa via e dal livello di controllo II si passa al livello di controllo I.
Caratteristica del piano è che il numero di rifiuto non è superiore di una unità al numero di accettazione. Si possono perciò prendere tre decisioni:
accettare il lotto se il numero di difetti è minore o uguale al numero di accettazione
rifiutare il lotto se il numero dei difetti è maggiore o uguale al numero di rifiuto
se il numero dei difetti è invece compreso tra il numero di accettazione e di rifiuto si accetta il lotto ma si ritorna all’ispezione normale
Il piano ridotto sarà mantenuto sino a quando saranno verificate le seguenti condizioni:
un lotto viene rifiutato
il numero dei difettosi è compreso tra NA e NR
la produzione non procede a ritmo costante
Per facilitare la determinazione dei parametri sono state sviluppate delle tabelle specifiche per il piano di campionamento ridotto, e il procedimento per determinare i parametri del piano sono quelli seguiti per il piano normale.
Piano rinforzato
Si applicherà il pano rinforzato se su 5 consecutivi lotti 2 sono stati rifiutati a primo controllo. Un piano rinforzato può essere concepito agendo: o sul LQA, prendendone in considerazione uno minore, e quindi innalzare i livello di qualità, oppure aumentando il livello di controllo, ispezionare campioni con un numero di elementi maggiore.
Aumentando il livello di controllo significa aumentare il costo della ispezione, per cui si preferisci agire su LQA.
Per determinare il piano rinforzato sono state sviluppate delle opportune tavole si campionamento.
Si ritornerà al piano normale allorché siano stati accettati 5 lotti consecutivi.
Classificazione dei difetti
La scelta di un piano di campionamento è condizionata anche dal tipo di difetto che l’elemento o unità di prodotto può presentare.
E’ abbastanza chiaro che non tutti i difetti incideranno nella stessa maniera sulla capacità funzionale dell’elemento.
Lo stesso difetto di un elemento acquista importanza a seconda dell’impiego cui lo stesso è destinato, ed ecco che l’impostazione di un piano di campionamento dovrà partire da parametri diversi.
Si è soliti classificare i difetti in tre categorie:
difetto critico: si definisce difetto critico quel difetto che, in base a giudizio e all’esperienza, può dare luogo a condizioni pericolose per le persone che usano il prodotto in esame o su di esso fanno affidamento, oppure può impedire il
funzionamento di un prodotto finito importante.
difetto importante: si definisce difetto importante quel difetto, diverso da quelli critici, che può dare origine a guasti o ridurre sostanzialmente le possibilità di impiego dell’unità di prodotto per lo scopo a cui è stato destinata
difetto secondario: si definisce difetto secondario quel difetto che non riduce materialmente l’utilizzabilità del prodotto per lo scopo a cui è destinato od è uno scostamento dalle prescrizioni che ah in piccolo peso nell’impiego o funzionamento effettivo dell’unità esaminata
Una volta che i difetti sono stati classificati occorre scegliere per ogni classe di difetto il piano di campionamento più idoneo.
Supponiamo di dovere controllare un elemento ce può dare luogo sia ad un difetto critico che importante.
In base a precedenti esperienze stabiliamo i seguenti piano di campionamento:
dimensione del lotto = 1500
LQA per difetto critico = 0.65 LQA per difetto importante = 1.5
Sulla base di questi dati otteniamo dalle tabelle i seguenti piano di campionamento:
dimensione del campione = 125
NA = 2 e NR = 3 per il defitto critico NA = 5 e NR = 6 per il difetto importante TABELLE
LE CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI
Le carte di controllo per attributi sono la rappresentazione grafica di una caratteristica di qualità che ha solo due modi di essere: difettosa - non difettosa.
Lo scopo dell’utilizzo di questo tipo di carte è quello di verificare se il prodotto è conforme o meno alle caratteristiche di qualità specifiche del prodotto, come ad esempio controllare il colore di un tessuto, verificare il funzionamento finale di un congegno meccanico o elettrico.
Sono definiti tre tipi di carta di controllo:
la carta della percentuale di elementi difettosi, o carta p
la carta del numero di elementi difettosi, o carta np
la carta del numero di difetti per elemento o per unita, o carta c
Prima di trattare il tema delle carte di attributi bisogna prima necessariamente introdurre i modelli probabilistici, in quanto sono la base su cui si sviluppano le carte.
Modelli probabilistici
Probabilità
Sono state date diverse definizioni di probabilità. Una prima definizione qualitativa può essere la seguente: “la probabilità è quella cosa che ci si aspetta che accada nel futuro sulla base di osservazioni annotate nel passato”.
La definizioni classica è invece la seguente: “La probabilità che un dato evento di verifichi è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero dei casi possibili”.
In base a questa definizione, dato un evento E siano h ed n i casi rispettivamente favorevoli e quelli possibili. La probabilità che si verifichi l´evento E viene espressa da:
p(E) =h/n
mentre la probabilità che l´evento non si verifichi viene espressa da:
q = (1 – p) Modelli probabilistici
I modelli probabilistici sono dei modelli cui si ricorre per risolvere problemi tipici sia della fase di controllo in produzione sia della fase di accettazione.
I modelli si applicano perciò sia per le carte di controllo per attributi sia per le carta di controllo in accettazione.
I modelli che interessano il controllo statistico sono:
l´ipergeometrico
il binomiale
il Poisson
Ipergeometrico
Il modello Ipergeometrico si utilizza per risolvere problemi che possono essere ricondotti al seguente esempio: dato un lotto finito formato da N elementi contenente r elementi difettosi, si vuole conoscere quali sono le probabilità che un campione contenga 0,1,2,…,n elementi difettosi se dal lotto sono estratti campioni di dimensione n.
Le estrazioni avvengono senza ripetizione perciò gli elementi estratti non vengono rimessi nel lotto prima dell’estrazione successiva.
Per calcolare le probabilità richieste si ricorre alla definizione classica di probabilità, che ricordiamo è data dal rapporto degli eventi favorevoli sugli eventi possibili.
Utilizzando la formula del modello Ipergeometrico la probabilità di estrarre un campione che contenga i elementi difettosi è la seguente:
P(i)=Cr,iCN-r,n-i / CN,r
dove:
N= dimensione del lotto r= numero di difettosi n= dimensione del campione
i= numero di elementi difettosi compreso tra 0 e r La formula fa riferimento al concetto di combinazione.
La combinazione CN,r indica il numero di raggruppamenti di r elementi estratti da un insieme di N elementi che si possono formare senza tenere conto dell’ordine con cui sono raggruppati.
CN,r si calcola con la seguente relazione:
CN,r= n! / r!(n – r)!
Supponiamo di avere un lotto di 35 elementi contenente 3 elementi difettosi; estraendo a caso un campione di 4 elementi, vogliamo calcolare quale è la probabilità che il campione contenga 2 elementi difettosi.
Applicando la formula otteniamo:
P(2)= C32,2C3,2 / C35,4 = 0,028 Binomiale
Nel caso si debbano trattare problemi dove la probabilità del verificarsi di un evento possa considerarsi costante, il modello Binomiale è quello che meglio si adatta alla loro soluzione.
Il modello Binomiale si basa sull’assunzione che da una prova, un’osservazione si possono distinguere solo due risultati: o l´evento E, o il suo opposto. Indicando con p la probabilità che l´evento E accada, il suo contrario sarà dato da q = 1 – p.
Nel controllo statistico p rappresenta la probabilità di estrarre un elemento difettoso.
Il modello Binomiale viene utilizzato per risolvere problemi come quelli del caso ipergeometrico ma dove la probabilità di accadimento di un evento possa essere considerata costante.
Supponiamo che la percentuale di elementi difettosi in un lotto sia p = 0,05 quindi l’evento contrario, percentuale di elementi buoni, sia q = 1-0.05= 0,95.
Vogliamo calcolare la probabilità che in una campione di 5 elementi vi siano 2 elementi difettosi.
La formula da utilizzare in questo caso è la seguente:
P(r) = Cn,r qn-r pr dove:
r= numero di elementi difettosi n= dimensione del campione
p= percentuale di elementi difettosi del lotto q= percentuale di elementi buoni del lotto applicata al nostro esempio
P(2) = C5,2 0,953 0,052 = 0,0011
Come per tutte le distribuzioni statistiche anche la distribuzione Binomiale è caratterizzata attraverso i parametri statistici media e dispersione.
L’analisi statistica, avvalendosi di concetti rigorosamente matematici, ha dimostrato che la media di una distribuzione Binomiale è espressa da:
X = np
dove n è la dimensione del campione e p la percentuale di elementi difettosi.
Per quanto riguarda lo scarto quadratico medio si è pervenuti alla seguente formula:
s´=RAD npq Modello Poisson
Il modello di Poisson si applica in sostituzione alla distribuzione Binomiale quando più la dimensione del campione n è grande e quanto più la percentuale p di elementi difettosi del lotto è piccola.
Sotto tali condizioni il modello di Poisson fornisce risultati con accettabile approssimazione, evitando lunghi e laboriosi calcoli imposti dal modello Binomiale, inoltre l´uso di tavole ne facilita l´impiego.
La distribuzione di Poisson è espressa dalla seguente formula P(r) = (np)r e-np / r!
dove:
n = dimensione del campione p = percentuale di elementi difettosi
r = numero di elementi difettosi nel campione estratto
Facciamo un esempio. Nella produzione di certi bulloni il 10% è stato trovato difettoso. Vogliamo sapere quale è la probabilità che in un campione di 10 bulloni, scelti a caso, si trovino esattamente 2 elementi difettosi.
Applicando la formula:
np= 10 (0,1) = 1
P(2) = (1)2 e-1 / 2! = 0,1839
I parametri statistici media e scarto tipo della distribuzione di Poisson sono dati dalle seguenti espressioni:
X = np s´= rad np
Considerazioni sui modelli probabilistici
Per risolvere i problemi di natura probabilistica si ricorre a modelli probabilistici che meglio
configurano il problema che si sta trattando, secondo il problema che si affronta si seleziona il modello che si ritiene più idoneo a risolverlo.
Quando avremo a che fare con lotti finiti di dimensione N, contenenti r elementi difettosi, dai quali vengono estratti campioni di dimensioni n, il modello da applicare per la ricerca della probabilità è il modello ipergeometrico, perché è quello che in questo caso darà risultati più veritieri.
L’unico inconveniente è che se la dimensione del lotto è grande saremmo costretti a eseguire numerosi e lunghi calcoli, che si potranno abbreviare, con accettabile approssimazione dei risultati, ricorrendo al modello binomiale.
Se N è piccolo, dell’ordine di alcune decine, e si richiede il calcolo di uno o al massimo due valori di r si adotta il modello ipergeometrico.
L’applicazione del binomiale si addice ai casi in cui i lotti sono di dimensioni grandi e se la probabilità di estrazione di ogni elemento rimane costante da estrazione ad estrazione.
Infine tra tutti i modelli quello che fa risparmiare più tempo è il modello di Poisson. I risultati ottenuti saranno tanto più veritieri quanto più n è grande e p piccolo.
Carta P percentuale di elementi difettosi
Le carte P dedicate ai processi produttivi hanno lo scopo di riportare l’andamento della percentuale p degli elementi difettosi all’interno di un periodo di riferimento.
Questo avviene attraverso la determinazione della percentuale p di una seri di campioni estratti a caso dal lotto di produzione.
La spiegazione della carta p risulta più comprensibile attraverso un esercizio.
Si vuole tracciare la carta p ad esempio per la produzione di lamierini galvanizzati.
Dato che non si conosce la percentuale media degli elementi difettosi, si procede a prelevare dei campioni pari alla produzione giornaliera per eseguire un controllo al 100%.
I campioni sono registrati nella tabella sottostante dove è riportato l´ordine, la dimensione, il numero di difettosi di ogni campione.
Campione n difettosi p 3s’
1 4892 86 0.0176 0.0050
2 10555 88 0.0076 0.0034
3 1508 3 0.0020 0.0090
4 6857 105 0.0153 0.0042
5 8247 127 0.0154 0.0037
6 2337 14 0.0060 0.0072
7 4078 29 0.0071 0.0054
8 5772 65 0.0113 0.0046
9 8672 137 0.0158 0.0037
10 9632 136 0.0141 0.0036
11 9516 158 0.0166 0.0036
12 9759 123 0.0126 0.0035
13 6012 84 0.0140 0.0045
14 10407 229 0.0200 0.0034
15 10138 102 0.0101 0.0035
16 3832 30 0.0075 0.0056
17 4811 107 0.0222 0.0050
18 8490 109 0.0128 0.0038
19 8994 161 0.0179 0.0037
20 12036 125 0.0104 0.0032
146546 2007
Una volta raccolti i difettosi si determina la percentuale p di difettosi per ogni singolo campione. Il passo successivo sarà quello di determinare la percentuale media di tutti i difettosi.
Nel nostro caso sarà data da:
Xp = 2007 / 146546 = 0,0137 pari al 1,37%, perciò su 10000 pezzi prodotti 137 risulteranno difettosi.
Trovandoci in presenza di campioni di determinata percentuale p estratti da lotti infinti, il modello di distribuzione cui riferirsi è il modello binomiale.
Per tracciare la carta bisogna determinare la media e lo scarto tipo della distribuzione, che sono date dalle seguenti espressioni:
X = np s´=RDA(npq)
Dato che il nostro interesse è tracciare la carta p, bisogna dividere le espressioni per il valore n per cui si ha:
Xp = p s´= rad pq / rad n
In carta si riporterà il valore della media calcolato, i valori della p di ogni singolo campione e si tracceranno i limiti inferiori e superiori di controllo.
Per tracciare i limiti di controllo, si utilizza la seguente formula:
LSC = Xp + 3s´ = Xp + 3 rad Xp (1 - Xp) / rad n LIC = Xp – 3s´ = Xp - 3 rad Xp (1- Xp) / rad n
Bisogna notare che s´ dipende dalla dimensione del campione e da Xp, e dato che i campioni hanno dimensione diversa, la linea dei limiti di controllo sarà una linea segmentata.
Viceversa se i campioni avessero la stessa dimensione, i limiti sarebbero rappresentati da una linea retta.
I limiti sono posti in questi termini in quanto nell’ambito statistico le distribuzioni di frequenza possono essere ricondotte alla distribuzione di frequenza normale e, per una distribuzione normale con una propria media e varianza, all’interno di questo intervallo ricadono la quasi totalità dei valori che la variabile può assumere.
Se si riscontra che diversi valori cadono fuori da questi intervalli vuol dire che la media e la varianza calcolate non sono più rappresentativi della distribuzione e bisogna calcolarne dei nuovi.
Nella figura sottostante è riportata la carta p del nostro esempio:
LSC
Xp = 1.37 LIC
Dalla carta osserviamo che si hanno due punti, precisamente i punti 14 e 17, che cadono oltre il limite superiore; questo significa che sono intervenute delle cause esterne, cause che vanno ricercate ed eliminate.
Come abbiamo detto prima, dato che dei punti fuoriescono dai limiti della carta bisogna ricalcolare i valori della media e della varianza della mia distribuzione semplicemente rifacendo i conti senza considerare i punti eliminati.
Il nuovo valore trovato è:
Xp = 1671 / 131328 =0,0127
Pari al 1,27%. Questo Xp viene definito valore revisionato, ed è utilizzato per impostare la successiva carta p.
Per tracciare la prima carta bisogna raccogliere prima tutti i campioni e poi tracciare la carta. Ora invece avendo già una prima stima del valore Xp si procede in modo diverso.
Si traccia subito la linea corrispondente al valore di Xp e man mano che si raccolgono i campioni si riportano sulla carta il valore della percentuale p dei difetti, e i limiti inferiori e superiori.
Prima questo non era possibile in quanto non era noto il valore della Xp ora invece essendo noto già prima del campionamento è possibile determinare subito i valori dei limiti di controllo.
L´operazione dei p revisionati continuerà sino a quando la carta non rivelerà che il processo di fabbricazione si è stabilizzato.
Carta NP del numero di elementi difettosi
La carta p è sostituita dalla carta np quando la dimensione n del campione è costante.
La carta np, la carta del numero di elementi difettosi, ha il vantaggio di una più facile e rapida formulazione, unita ad una migliore comprensione.
In questo caso i parametri statistici della distribuzione, media e scarto sono dati dalle seguenti espressioni:
Xnp = np s´np= rad (npq)
dove n è la dimensione del campione e p la percentuale di elementi difettosi della popolazione.
Come prima seguiamo la procedura di impostazione della carta np ricorrendo ad un esercizio.
Forniti in tabella i dati di ispezione giornaliera della produzione di cinghie di gomma tracciamo la carta np.
Campione N Elementi difettosi
1 2300 230
2 2300 435
3 2300 221
4 2300 346
5 2300 230
6 2300 327
7 2300 285
8 2300 311
9 2300 342
10 2300 308
11 2300 456
12 2300 394
13 2300 285
14 2300 331
15 2300 198
16 2300 414
17 2300 131
18 2300 269
19 2300 221
20 2300 407
46000 6141
Poiché non è nota la percentuale p di elementi difettosi della popolazione, occorre per primo
determinare il numero medio di elementi difettosi np dei campioni raccolti, calcolato come il rapporto tra il totale dei difettosi e il numero dei campioni, avremo quindi:
Xnp = 6144 / 20 = 307,05 quindi la percentuale media di elementi difettosi:
Xp = 307,05 / 2300 = 0,1335 = p Possiamo ora determinare s´:
s´= rad Xnp (1 - Xp) = 16,31
Dato che la dimensione dei campioni si mantiene costante, i limiti di controllo inferiore e superiore sono rappresentati da un linea retta di valore rispettivamente:
LSC = Xnp + 3s´= 355,98 LIC = Xnp - 3s´= 258,12
LSC Xnp
LIC
Come si osserva dalla carta, dato che diversi punti cadono al di fuori dei limiti inferiore e superiore i valori della media e della varianza calcolati non sono quelli della nostra popolazione, bisogna procedere ad un nuovo campionamento e calcolarne dei nuovi.
Carta C del numero di difetti per unità
Nel controllo statistico di qualità nell’industria si incontrano molti casi in cui alle carte p si preferisce impiegare la carta c, la carta dei numeri di difetti per unità controllata. Questo accade quando il processo di fabbricazione è rivolto a prodotti di produzione continua quali ad esempio: filo di materiale vario, corde, cinghie, nastro metallico, stoffa.
Il campionamento di questi prodotti a mezzo campioni singoli non è possibile perciò l´unico modo di poterli ispezionare è quello di considerare come campioni la serie di lunghezza arbitrarie, ma costanti, in cui teoricamente è possibile suddividere il filo, nastro, stoffa.
Ciascuna lunghezza parziale sarà considerata pari ad un’unità di prodotto.
Per unità di prodotto si possono intendere: una quantità di metri lineare; una quantità costante di metri quadrati; la quantità di pezzi prodotti nell’unità di tempo, la quantità di millilitri di una soluzione.
La carta c si è utile quando di un assieme si vogliono conoscere il numero dei difetti: delle portiere di un’auto si vogliono conoscere il numero dei punti saldati difettosi.
Di solito ci troviamo in presenza di quantità grandissime di prodotto, la cui unità essendo piccola rispetto ad essa ha poca probabilità di presentare un difetto. Per la ridotta dimensione del campione, rispetto alla grandezza dei lotti, la probabilità del verificarsi di un evento, nel nostro caso di un difetto, è bassa.
In base a quanto detto, possiamo affermare che i difetti nei campioni si distribuiranno secondo il modello di Poisson, perciò per la carta c si ricorrerà all’uso della seguente legge:
P(c) = (c´c e-c´) / c!
dove:
c´ è il numero di difetti della popolazione
c è i numero di difetti che sono presenti nel campione
La formula fornisce la probabilità di avere c difetti in un campione estratto a caso da un lotto avente la percentuale media c´di difetti.
I parametri statistici della distribuzione, media e scarto tipo, sono dati dalle seguenti formule:
Xc = c´ sc´= rad c´
I limiti della carta di controllo verrano espressi da:
LSC = c´+ 3 rad c´ LIC = c´- 3 rad c´
Se c´ non é nota si ricorre alla media dei difetti riscontrati nei campioni
Può accadere di non avere sempre campioni di dimensioni costante, con la conseguenza che le linee di controllo non sarebbe rappresentate da linee rette ma da spezzate i cui valori bisognerebbe calcolarli punto per punto.
Trovandoci in queste condizioni si ricorre a determinare il numero di difetti c´per unità di prodotto, espresso da:
u´= c´/ n.
I limiti di controllo assumeranno pertanto il seguente aspetto:
LSC = u´+ 3 rad u´ / rad n LIC u´- 3 rad u´/ rad n
Alcuni esempi chiariranno il comportamento della carta c.
Sono dati i risultati dell’ispezione di 25 campioni di un metro su 100 metri di merce di lana prodotta.
Si determina la media c, i limiti di controllo e si traccia la carta c.
Il numero di difetti riscontarti nei campioni estratti sono riportati nella seguente tabella:
Campione N° difetti Campione N° difetti
1 3 14 5
2 3 15 5
3 6 16 4
4 3 17 3
5 0 18 4
6 1 19 5
7 3 20 1
8 5 21 1
9 7 22 0
10 8 23 1
11 4 24 1
12 10 25 4
13 5
Il numero totale dei difetti è 92 e i campioni sono 25, per cui:
c = 92 / 25 = 3,68
Applicando le formule per determinare i limiti di controllo abbiamo:
LSC = 3,68 + 3 rad 3,68 = 9,434 LIC = 0
LSC
Xc
Osservando la carta si nota che il grafico è contenuto all’interno dei limiti, perciò i valori della media e della varianza sono ben definiti e ben rappresentano la distribuzione che descrive l’andamento del numero di elementi difettosi per unità di prodotto.
BIBLIOGRAFIA
Al fine di approfondire gli argomenti trattati nella presente dispensa si consiglia la consultazione dei seguenti testi:
Testo
Utile sarebbe anche la visione dei seguenti siti internet:
Sito
