ANNO ACCADEMICO 2016/2017 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE
MATEMATICA I appello 13/6/2017 1
Esercizio 1. Una certa specie A di albero raggiunge in 10 anni un’altezza ≥ 8 metri in 2 casi su 3 e un’altezza ≥ 9 metri in 1 caso su 4.
1. Qual `e la probablit`a che un esemplare di 10 anni sia alto meno di 9 metri, sapendo che `e alto almeno 8 metri?
2. Si pianta un boschetto di 12 alberi della specie A e dopo 10 anni si tagliano soltanto gli alberi di altezza ≥ 9 metri.
(a) In media quanti alberi vengono tagliati? Qual `e la probabilit`a che venga tagliato un solo albero?
(b) Supponiamo ora che gli alberi siano numerati da 1 a 12 e che gli alberi corrispondenti ai numeri ≥ 9 siano alti almeno 8 metri, mentre l’altezza degli alberi corrispondenti a 1, . . . 8 non `e nota. Sapendo che l’albero X
`
e stato tagliato, qual `e la probabilit`a che X < 9?
Esercizio 2. Sia a ∈ R un parametro e sia f (x) =√
2x4+ x + 1 − ax2− x.
1. Determinare l’insieme di definizione di f e dire se f `e continua.
2. Determinare i punti in cui f `e derivabile e calcolarne la derivata.
3. Al variare del parametro a dire se f `e limitata inferiormente e/o superiormente.
4. Dire per quali valori di a ∈ R la funzione f ammette degli asintoti.
Esercizio 3. Calcolare:
x→+∞lim e−x2(x2cos x − x3); lim
x→0
√4 − x2cos x − 2ex2
x2 .
Esercizio 4. Determinare una primitiva F di f (x) = (x3 − x) cos(x2) tale che il grafico di F sia tangente alla retta y = 2.
1Durata: 2 ore e 30 minuti.
Scrivere subito sul foglio: nome, cognome e numero di matricola.
SOLUZIONI
Esercizio 1. Dato un albero X, chiameremo ht(X) la sua altezza e n(X) il suo numero (per il punto 2.b).
1. Dobbiamo calcolare P (ht(X) ≤ 9|ht(X) ≥ 8). Visto che, se un albero `e alto pi`u di 9 metri, in particolare `e anche pi`u alto di 8 metri, l’evento {ht(X) ≥ 9}∩
{ht(X) ≥ 8} `e uguale a {ht(X) ≥ 9}. Possiamo quindi calcolare P (ht(X) ≤ 9|ht(X) ≥ 8) = 1 − P (ht(X) ≥ 9|ht(X) ≥ 8) =
= 1 − P (ht(X) ≥ 9)
P (ht(X) ≥ 8) = 1 − 1 4· 3
2 = 1 − 3 8 = 5
8
2. (a) Abbiamo 12 alberi e dopo dieci anni in media ce ne sono 12 ·14 = 3 pi`u alti di 9 metri. Usando la legge binomiale, la probabilit`a che ne venga tagliato esattamente uno `e
1 4
· 3 4
11
·12 1
= 312
411 ∼ 0.13
dove 14 `e la probabilit`a che un certo albero venga tagliato, 3411
` e la probabilit`a che gli altri 11 non vengano tagliati e 12 = 121 sono le possibili disposizioni degli alberi da tagliare/non tagliare.
(b) Dobbiamo calcolare P (n(X) ≤ 8|ht(X) ≥ 9). Conviene usare la legge di Bayes:
P (n(X) ≤ 8|ht(X) ≥ 9) = P (ht(X) ≥ 9|n(X) ≤ 8) P (n(X) ≤ 8) P (ht(X) ≥ 9) Vediamo quindi come calcolare i tre fattori. Il primo `e semplicemente P (ht(X) ≥ 9|n(X) ≤ 8) = 14 perch´e sui primi 8 alberi non sappiamo nulla.
Il secondo `e semplicemente P (n(X) ≤ 8) = 128 = 23. Il terzo `e ingannevole, perch´e verrebbe da dire semplicemente P (ht(X) ≥ 9) = 14. Questo per`o non `e corretto: dobbiamo si calcolare la probabilit`a che ht(X) ≥ 9, ma sotto l’ipotesi di avere 12 alberi di cui gli ultimi 4 sono alti almeno 8 metri.
Usando la legge delle alternative, la probabilit`a corretta `e P (ht(X) ≥ 9) =
= 8
12· P (ht(X) ≥ 9|n(X) ≤ 8) + 4
12· P (ht(X) ≥ 9|n(X) ≥ 9) =
= 2 3 · 1
4+ 1 3· 3
8 = 7 24
dove P (ht(X) ≥ 9|n(X) ≥ 9) = 38 l’abbiamo calcolata nel punto (1) (dire che n(X) ≥ 9 `e come dire che l’altezza di X `e almeno 8). Mettendo tutto assieme, abbiamo infine
P (n(X) ≤ 8|ht(X) ≥ 9) = 1 4· 2
3 ·24 7 = 4
7
Notate che la soluzione ha senso: se non avessimo avuto l’ipotesi su- gli ultimi 4 alberi, gli eventi {ht(X) ≥ 9} e {n(X) ≤ 8} sarebbero stati indipendenti, e quindi avremmo avuto semplicemente
P (n(X) ≤ 8|ht(X) ≥ 9) = P (n(X) ≤ 8) = 2 3
Aggiungendo l’ipotesi sugli ultimi 4 alberi, ci aspettiamo che sia legger- mente meno probabile che un albero pi`u alto di 9 metri sia tra i primi 8, di cui non sappiamo nulla, piuttosto che tra gli ultimi 4 che gi`a sappiamo essere alti almeno 8 metri. Infatti, 47 < 23 = 46, e la differenza 23− 47 = 212 `e molto piccola.
Esercizio 2. 1. Chiaramente, f `e definita nei punti in cui 2x4+x+1 ≥ 0. Questo per`o `e vero per ogni numero reale x ∈ R. Un modo di mostrarlo `e considerare la derivata 8x3 + 1, che `e < 0 per x < 1/2, si annulla solo in x = −1/2 ed
`
e > 0 per x > −1/2. Quindi abbiamo un unico minimo in x = −1/2 dove il polinomio assume valore
2 24 − 1
2+ 1 = 1 − 4 + 8
8 = 5
8 > 0
Notate che abbiamo dimostrato non solo che 2x4+ x + 1 `e ≥ 0 per ogni x ∈ R, ma che `e sempre strettamente maggiore di 0. Questo ci servir`a nel prossimo punto.
2. Vogliamo ora mostrare che f `e derivabile per ogni numero reale x ∈ R. Per farlo, vorremmo dire che f `e somma e composizione di funzioni derivabili su tutto R, c’`e per`o da fare attenzione: la funzione radice quadrata√
t `e definita e continua per t ≥ 0, ma `e derivabile solo per t > 0. Notiamo per`o che nel punto (1) abbiamo dimostrato che l’argomento della radice quadrata, 2x4 + x + 1,
`
e sempre > 0, quindi non ci sono problemi e f `e derivabile ovunque. Per capire bene cosa poteva andare storto, pensate alla funzione√
x2 = |x|, a cosa succede intorno a x = 0.
3. Notiamo innanzitutto che, visto che f `e continua e definita su tutto R, ci basta calcolare i limiti a ±∞. Riscriviamo come
f (x) =√
2x4+ x + 1 − ax2− x = x2 r
2 + 1 x3 + 1
x4 − ax2 − x = r
2 + 1 x3 + 1
x4 − a − 1 x
! x2
Sia per x tendente a +∞ che a −∞, il contenuto delle parentesi tende a√ 2−a.
Distinguiamo tre casi.
Caso 1: √
2 − a > 0. Visto che l’argomento della parentesi tende a un numero finito positivo,
x→±∞lim f (x) = lim
x→±∞(√
2 − a)x2 = +∞
Quindi f `e limitata inferiormente ma non superiormente.
Caso 2: √
2 − a < 0. Analogamente a prima, visto che l’argomento della parentesi tende a un numero finito negativo,
x→±∞lim f (x) = lim
x→±∞(√
2 − a)x2 = −∞
Quindi f `e limitata superiormente ma non inferiormente.
Caso 3: a = √ 2.
Riscriviamo come
√
2x4+ x + 1 −√
2x2− x
·
√2x4+ x + 1 +√
2x2+ x
√2x4+ x + 1 +√
2x2+ x =
= 2x4+ x + 1 − 2x4− 2√
2x3− x2
√2x4+ x + 1 +√
2x2+ x = −2√
2x3− x2+ x + 1
√2x4+ x + 1 +√
2x2+ x = x · −2√
2 − 1/x + 1/x2+ 1/x3 p2 + 1/x3+ 1/x4+√
2 + 1/x
notiamo ora che la frazione a destra ha limite −1 sia per x tendente a +∞ che per x tendente a −∞, da cui abbiamo
x→+∞lim f (x) = lim
x→+∞−x = −∞
x→−∞lim f (x) = lim
x→−∞−x = +∞
segue che in questo caso f non `e limitata n´e superiormente, n´e inferiormente.
4. Possiamo sfruttare i conti fatti nel terzo punto. Avevamo scritto f (x) =
r 2 + 1
x3 + 1
x4 − a − 1 x
! x2
dove la parentesi tende a √
2 − a. Quindi, se a 6= √
2, f (x)/x non ha limite finito per x tendente a ±∞, e quindi f non pu`o avere asintoti.
Se invece a = √
2, avevamo riscritto f (x) come x · −2√
2 − 1/x + 1/x2+ 1/x3 p2 + 1/x3+ 1/x4+√
2 + 1/x
dove la frazione a destra tende a −1 per x tendente a ±∞. Se c’`e un asintoto mx + q, dobbiamo avere che il limite di f (x) − mx esiste ed `e finito, e questo
`
e possibile solo per m = −1. Per trovare q, dobbiamo quindi calcolare quindi i limiti di f (x) + x per x tendente a ±∞. Riscriviamo
f (x) + x =√
2x4+ x + 1 −√ 2x2
·
√2x4+ x + 1 +√ 2x2
√2x4+ x + 1 +√ 2x2 =
= 2x4+ x + 1 − 2x4
√2x4+ x + 1 +√
2x2 = x + 1
√2x4+ x + 1 +√ 2x2 = 1/x + 1/x2
p2 + 1/x3+ 1/x4+√
2 + 2/x
e questa ha limite 0 per x tendente a ±∞, quindi q = 0 e y = −x `e un asintoto per x tendente a ±∞.
Esercizio 3. • −x2− x3 ≤ x2cos(x) − x3 ≤ x2− x3 e ex2 `e positivo, quindi se mostriamo che
x→+∞lim
−x2 − x3
ex2 = lim
x→+∞
x2− x3 ex2 = 0
possiamo concludere che il limite `e 0 per il teorema dei carabinieri. Facciamo solo il primo dei due limiti, il secondo `e perfettamente analogo. Possiamo usare de l’Hopital, da cui
x→+∞lim
−x2− x3
ex2 = lim
x→+∞
−2x − 3x2 2xex2 =
x→+∞lim
−2 − 3x 2ex2 che, usando de l’Hopital di nuovo, `e uguale a
x→+∞lim
−3 4xex2 = 0
• Abbiamo una forma indeterminata 0 su 0, possiamo usare de l’Hopital
x→0lim
√4 − x2cos(x) − 2ex2
x2 = lim
x→0
√−x
4−x2 cos(x) −√
4 − x2sin(x) − 4xex2 2x
= lim
x→0
−1 2√
4 − x2 cos(x) −√
4 − x2sin(x)
2x − 2ex2 = −1
4 − 1 − 2 = −13 4 Esercizio 4. Innanzitutto, troviamo una primitiva qualunque di f (x). Notiamo che la derivata di sin(x2) `e 2x cos(x2) e usiamo integrazione per parti.
F (x) = Z
(x3− x) cos(x2)dx = Z
x2· x cos(x2) dx − sin(x2)
2 =
x2sin(x2)
2 −
Z
x sin(x2)dx −sin(x2)
2 = x2sin(x2) + cos(x2) − sin(x2)
2 + c
Dobbiamo trovare un valore di c tale che F (x) sia tangente a y = 2. Ci basta quindi trovare x0 ∈ R tale che F0(x0) = f (x0) = 0 e imporre F (x0) = 2. Una soluzione semplice (ma non l’unica) `e prendere x0 = 0, chiaramente f (0) = 0. Calcoliamo ora F (0):
F (0) = 0 + 1 − 0
2 + c = 1 2 + c
Basta quindi imporre c = 32 per ottenere F (0) = 2 come voluto.
