Università di Pisa Dipartimento di Matematica
Corsi di Laurea e di Laurea Magistrale in Matematica Anno accademico 2016/2017
Scheda di un insegnamento attivato
Nome dell'insegnamento:
Elementi di Calcolo delle Variazioni
Docente titolare (e suo indirizzo e-mail):
Massimo Gobbino (massimo.gobbino@unipi.it)
Codice dell'insegnamento: 047AA Valore in CFU: 6
Settore scientifico-disciplinare: MAT/05 Numero di ore di didattica frontale: 48 Semestre di svolgimento: I
Sito web dell'insegnamento: Archivio Didattico di Massimo Gobbino (si trova con qualunque motore di ricerca)
Università di Pisa Dipartimento di Matematica
Corsi di Laurea e di Laurea Magistrale in Matematica Anno accademico 2016/2017
Informazioni su un insegnamento attivato
Nome dell'insegnamento: Elementi di Calcolo delle Variazioni Docente titolare: Massimo Gobbino
Prerequisiti: calcolo differenziale ed integrale in una e più variabili, algebra lineare ed elementi di topologia generale, spazi metrici, spazi di Hilbert, misura di Lebesgue e relativi teoremi di passaggio al limite, spazi di Lebesgue in una variabile.
Programma previsto:
Metodo indiretto Funzionali integrali. Variazione prima di un funzionale. Lemmi fondamentali del calcolo delle variazioni. Equazione di Eulero-Lagrange in varie forme. Condizioni al bordo. Prime condizioni sufficienti di minimalità. Varie nozioni di punto di minimo. Variazione seconda di un funzionale. Funzionali quadratici, equazione di Jacobi, punti coniugati. Condizioni necessarie/sufficienti affinché un funzionale quadratico sia non negativo. Condizioni necessarie/sufficienti affinché un estremale sia un punto di minimo debole. Calibrazioni e value functions. Campi di estremali e relative slope functions, imbedding theorem, formula di rappresentazione di Weierstrass. Condizioni necessarie/sufficienti affinché un estremale sia un punto di minimo forte: eccesso di Weierstrass.
Problemi di minimo vincolati: moltiplicatori di Lagrange. Problemi variazionali in più variabili.
Metodo diretto Compattezza, semicontinuità e teorema di Weierstrass rispetto ad una nozione di convergenza. Richiami sugli spazi di Hilbert. Convergenza debole negli spazi di Hilbert separabili.
Spazi di Sobolev in dimensione uno. Hölderianità delle funzioni di Sobolev. Road map del metodo diretto nel calcolo delle variazioni: formulazione debole, compattezza, semicontinuità, regolarità.
Teoremi di compattezza e/o semicontinuità per funzionali integrali in opportuni spazi di funzioni.
Rilassamento Definizione di funzionale rilassato e di inviluppo semicontinuo. Recovery sequences.
L’estremo inferiore di un funzionale e del suo rilassato coincidono. Stabilità del rilassato rispetto a perturbazioni continue. Lemma del sottoinsieme denso in energia. Estensione per rilassamento di un funzionale ad un ambiente più generale. Rilassamento di funzionali integrali.
Gamma convergenza Definizione e semicontinuità del Gamma limite (e del Gamma limsup/liminf).
Recovery sequences. Ruolo del lemma del denso in energia nel calcolo dei Gamma limiti. Rapporti con convergenza puntuale/uniforme e rilassamento. Successioni equicoercive e convergenza dei minimi e dei punti di minimo. Stabilità del Gamma limite rispetto a perturbazioni continue.
Esempi ed applicazioni Problemi variazionali classici: brachistocrona, minimizzazione del perimetro ad area fissata, superficie di rotazione di area minima, catenaria (heavy chain), geodetiche. Problemi con ostacolo. Esempi classici di Gamma convergenza: problemi con parametri piccoli che inducono effetti di linearizzazione, problemi con passaggio dal discreto al continuo, problemi di omogenizzazione, problemi che conducono al funzionale di Modica-Mortola.
Testi consigliati. Trattandosi di un corso introduttivo, il programma svolto è un sottoinsieme molto ridotto ed edulcorato di un qualunque testo sull’argomento.
Modalità d'esame: scritto + orale.
Altre informazioni: per ulteriori informazioni sul corso, consultare la home page del docente.
