Soluzione Prova di Matematica
8 Marzo 2022 2C-2D-2G-2H-2I (Recupero)
Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema di disequazioni:
−x + 1
x + 2 ≥ −−5 − (x + 4)(x − 1)
−x2− 2x (2x + 1)2> 2(x + 1)(2x − 1)
x2+ 5x + 6 ≥ 0 Svolgimento
−x + 1
x + 2 ≥−5 − (x + 4)(x − 1) x(x + 2)
4x2+ 4x + 1 > 4x2+ 2x − 2
(x + 2)(x + 3) ≥ 0
=⇒
x + 1
x + 2 +−5 − (x + 4)(x − 1) x(x + 2) ≤ 0
2x > −3
(x + 2)(x + 3) ≥ 0
=⇒
=⇒
x2+ x − 5 − (x + 4)(x − 1)
x(x + 2) ≤ 0
2x > −3
(x + 2)(x + 3) ≥ 0
=⇒
x2+ x − 5 − x2− 3x + 4
x(x + 2) ≤ 0
2x > −3
(x + 2)(x + 3) ≥ 0
=⇒
−2x − 1 x(x + 2) ≤ 0
2x > −3
(x + 2)(x + 3) ≥ 0
2x + 1 x(x + 2) ≥ 0
2x > −3
(x + 2)(x + 3) ≥ 0
=⇒
S1=
−2, −1 2
∪ (0, +∞)
S2=
−3 2, +∞
S3= (−∞, −3] ∪ [−2, +∞)
Osservazione 1. Le soluzioni della prima e della terza disequazione vanno ricercate applcando la regola dei segni.
−3 −2 −3
2 −1
2 0
S1
S2
S3
Dal grafico del sistema di disequazioni si evince che le soluzioni sono S =
−3 2, −1
2
∪ (0, +∞)
Esercizio 2. Risolvere la seguente equazione parametrica fratta:
a − 1 2x + 5− a
1 − x = 3a2+ 3a + 1 2x2+ 3x − 5 Svolgimento
Trattasi di un’equazione parametrica fratta:
a − 1 2x + 5+ a
x − 1− 3a2+ 3a + 1 (2x + 5)(x − 1) = 0
C.A. : T = R −
−5 2,1
C.E. : X = R Sappiamo che m.c.m. = (2x + 5)(x − 1) e quindi:
(x − 1)(a − 1) + a(2x + 5) − 3a2− 3a − 1
(2x + 5)(x − 1) = 0
(a − 1)x − a + 1 + 2ax + 5a − 3a2− 3a − 1
(2x + 5)(x − 1) = 0
(3a − 1)x − 3a2+ a
(2x + 5)(x − 1) = 0, poichè x ̸= −5
2∧ x ̸= 1 =⇒ (3a − 1)x − 3a2+ a = 0 =⇒ (3a − 1)x = a(3a − 1)
▶ Se a ̸= 1
3 =⇒ x = a
▶ Se a = 1
3 =⇒ 0x = 0 =⇒ L’equazione è indeterminata e ammette soluzioni S = R −
−5 2,1
Non resta che confrontare la soluzione x = a con la condizione di accettabilità:
a = −5
2 non è accettabile e lo stesso dicasi per a = 1.
Il quadro conclusivo è il seguente:
▶ Se a ̸= −5
2∧ a ̸= 1
3 ∧ a ̸= 1, allora l’equazione è determinata e ammette soluzione x = a.
▶ Se a = 1
3, allora l’equazione è indeterminata e ammette soluzioni S = R −
−5 2,1
.
▶ Se a = −5
2∨ a = 1, allora l’equazione è impossibile perché la soluzione non è accettabile.
Esercizio 3. La retta di equazione 3x+4y−12 = 0 incontra gli assi cartesiani nei punti A e B. Indicato con O l’origine del sistema di riferimento. Determinare nel 4◦ quadrante il punto C che forma con O, A e B il parallelogramma OABC. Calcolare l’area del parallelogramma.
Svolgimento
Per determinare le intersezioni della retta 3x + 4y − 12 = 0 con gli assi cartesiani è sufficiente risolvere i seguenti due sistemi lineari:
asse y:
(3x + 4y − 12 = 0
x = 0 =⇒
(y = 3
x = 0 =⇒ A ≡ (0,3) asse x:
(3x + 4y − 12 = 0
y = 0 =⇒
(x = 4
y = 0 =⇒ B ≡ (4,0)
Noi sappiamo che le diagonali di un parallelogramma si incidono nei rispettivi punti medi. E’ sufficiente determinare il punto medio del segmento OB e si trova H ≡ 0 + 4
2 ,0 + 0 2
e quindi H ≡ (2,0), a questo punto è sufficiente determinare il simmetrico di A ≡ (0,3) rispetto al centro di simmetria H ≡ (2,0) applicando la relazione :
(x′= 2a − x0
y′= 2b − y0 . Si trova x′ = 2 · 2 − 0 = 4 e y′ = 2 · 0 − 3 = −3, dunque il punto C che si trova nel quarto quadrante avrà coordinate C ≡ (4, −3)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4 5
H
O B
A
C x y
Figura 1: Parallelogramma OABC
Esercizio 4. Al variare del parametro a ∈ R, discutere il seguente sistema lineare:
(2ax + (a + 1)y = a (a + 1)x + (a + 1)y = 1 Svolgimento
Considero la matrice Ma =
2a a + 1 a + 1 a + 1
e poichè
det(Ma) =
2a a + 1 a + 1 a + 1
= 2a · (a + 1) − (a + 1)2= 2a2+ 2a − a2− 2a − 1 = a2− 1.
2− 1.
Determiniamo det(Max) =
a a + 1 1 a + 1
= a · (a + 1) − (a + 1) = a2+ a − a − 1 = a2− 1
Determiniamo det(May) =
2a a a + 1 1
= 2a · 1 − a(a + 1) = 2a − a2− a = a − a2= −a(a − 1)
La soluzione sarà: x = det(Max)
det(Ma) = a2− 1
a2− 1 = 1 e y = det(May)
det(Ma) = −a(a − 1) a2− 1 = −a
a + 1.
In forma compatta possiamo dire se a ̸= ±1 =⇒
x = 1 y = −a
a + 1 .
Non resta che discutere i casi particolari:
Se a = −1, allora det(M−1y ) = −2 e il sistema lineare è impossibile. Il sistema in questo caso diventa:
(−2x + 0y = −1 0x + 0y = 1 . Se a = 1, allora det(M1x) = det(M1y) = 0 e il sistema lineare è indeterminato. Il sistema in questo caso diventa:
(2x + 2y = 1 2x + 2y = 1 .
Esercizio 5. In un rombo indicati con E, F , G e H i punti medi dei quattro lati. Dimostra che il quadrilatero EF GH è un rettangolo.
Svolgimento
A
B
C
D
E F
G H
Hp: ABCD è un rombo; Th: EF GH è un rettangolo.
Dimostrazione. Esistono diversi modi per dimostrare l’asserto.
Intanto noi sappiamo che le diagonali sono ortogonali, dunque AC ⊥ BD. Nel triangolo A
△
BC , per il teorema dei punti medi, il segmento EF è parallelo ad AC. Allo stesso modo si può concludere che nel triangolo A
△
DC il segmento GH è parallelo ad AC, dunque per la proprietà transitiva il segmento EF è parallelo al segmento GH. Allo stesso modo si ragiona per dedurre che i segmenti EG e F H sono paralleli; possiamo dedurre che il quadrilatero EF GH è un parallelogramma. Non resta che provare che un angolo sia retto, oppure si può provare che le diagonali siano congruenti (condizione sufficiente affinché un parallelogramma sia un rettangolo!). Per dimostrare che le diagonali siano congruenti è sufficiente applicare il terzo criterio di congruenza ai triangoli G
△
EF e F
△
HG, ricordate anche che i lati opposti di un parallelogramma sono congruenti!!!
Esercizio 6. Determinare il campo di esistenza della seguente espressione che contiene radicali:
1
√6
4 + x2 −r x + 33 3 − x +
r9 − x2
−3 Svolgimento
Per determinare il C.E. della seguente espressione è sufficiente fare le seguenti osservazioni:
▶ Il primo radicale pur avendo indice pari, si osserva facilmente che la quantità 4 + x2 è sempre strettamente positiva e quindi non crea nessun problema.
▶ Il secondo radicale ha indice dispari e l’unico problema nasce quando 3 − x = 0, quindi si deve richiedere che 3 − x ̸= 0
▶ Il "vero problema è dato dal terzo radicale" perchè l’indice è pari e dobbiamo richiedere 9 − x2
−3 ≥ 0. In realtà questa disequazione è equivalente a x2− 9 ≤ 0
Siamo portati a risolvere il seguente sistema:
x2− 9 ≥ 0
3 − x ̸= 0
=⇒
(x − 3)(x + 3) ≥ 0
x ̸= 3
Si trova facilmente che il campo di esistenza dell’espressione contenete radicali è X = (−∞, −3] ∪ (3, +∞).
