Analisi Matematica II

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 6/7/2017

A.A. 2016/2017

Problema 1: Data

f (x, y) =



 

 

e

−1

x

+y

(x, y) 6= 0

0 (x, y) = 0 .

Provare che f ` e continua. Provare che f ammette derivate direzionali in (0, 0) per ogni direzione ¯ v. La funzione risulta differenziabile in (0, 0)?

Problema 2: Determinare e classificare i punti critici della funzione f (x, y) = y ³ − x ² − 3xy ² .

Problema 3: Calcolare

Z Z

D

x sin |x ² − y|dxdy dove D = {(x, y) ∈ R ² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

Problema 4: (i) Studiare qualitativamente il seguente problema di Cauchy ( y ⁰ = (y ² − 4) arctan(1 + t ² )

y(0) = 1 .

(ii) Determinare analiticamente la soluzione del seguente problema di Cauchy:

( y ⁰ = ^π ₄ (y ² − 4) y(0) = 1 .

(iii) Quale relazione c’` e fra la soluzione di questo problema di Cauchy e quella del problema al punto (i)?

Problema 5: Se una corrente elettrica I scorre in un circuito elettrico di resistenza R, la quantit` a di calore emessa nell’unit` a di tempo ` e proporzionale a I ² R. Come si deve scomporre la corrente I in tre correnti I 1 , I 2 , I 3 con l’aiuto di tre conduttori di resistenza R 1 , R 2 , R 3

affinch´ e la quantit` a di calore emesso sia minima?

Problema 6: Calcolare il seguente integrale Z

R

cos(x) + 1

1 + x ² dx .