Problema 1: Studiare continut` a, derivabilit` a e differenziabilit` a della seguente funzione

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 13/06/2017

A.A. 2016/2017

Problema 1: Studiare continut` a, derivabilit` a e differenziabilit` a della seguente funzione

f (x, y) =



 

  xy p

x ² − y ² , x ² − y ² ≥ 0 ,

0 , x ² − y ² < 0 .

Problema 2: Determinare, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti della seguente funzione

f (x, y) = (x − y) p

x ² + y ² .

Problema 3: Calcolare

Z Z Z

D

(x + y + z)dxdydz dove D = {(x, y, z) ∈ R ³ : x ² + y ² + z ² ≤ 2, x ² + y ² ≤ z}.

Problema 4: Studiare qualitativamente il seguente problema di Cauchy ( y ⁰ = (y − 4) log y

y(0) = 2 .

Sfruttando le informazioni ottenute sulla monotonia di y, dimostrare che esiste un solo punto di flesso.

Problema 5: Calcolare, se esiste, il seguente limite

n→+∞ lim sin(n) Z 2

1

e ^−x

sin(nx)dx .

Problema 6: Calcolare il seguente integrale Z π

0

cos x + sin x

3 + cos x dx .