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Problema 1: Calcolare

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Academic year: 2021

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Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 17/1/2017

A.A. 2015/2016

Problema 1: Calcolare

Z Z

D

1 xy dxdy dove D = {(x, y) ∈ R 2 : 1 ≤ y + x ≤ 2, 1 ≤ y x ≤ 2}.

Problema 2: Determinare i punti critici della seguente funzione, e studiarne la natura f (x, y) = (x + y + 1) 2 (x − y)

Problema 3: Studiare continuit` a, derivabilit` a e differenziabilit` a in (0, 0) della seguente funzione

f (x, y) =

sin

2

(xy)

x

2

+y

2

(x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) 6= (0, 0) .

Problema 4: Studiare qualitativamente il seguente problema di Cauchy ( y 0 = y 2 (y 2 − 1) arctan (1 + t 2 )

y(0) = 1 2 .

Problema 5: Calcolare il seguente integrale Z

R

cos x x 4 + 2x 2 + 1 dx .

Problema 6: Sia f : R → R la funzione periodica di periodo 2π che `e definita come f (x) = |x|, x ∈ [−π, π]. Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scrivere l’identit` a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

X

n=0

1 (2n + 1) 2 ,

X

n=0

1

(2n + 1) 4 .

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