0 0 TV= cost PV=nRT Calcolo del rendimento di una macchina di Carnot.

(1)

1

Calcolo del rendimento di una macchina di Carnot.

Isoterma a→b

ℒ

â^→^b^{= nRT}¹^ln(V^b^/^Vâ)>0 poichè V_b>^Vâ Q₁ = Q_a_→_b =

ℒ

^a^→^b(calore assorbito)

Adiabatica b→c

ℒ

^b^→^c⁼-^∆E^INT⁼-^nc^V^(T²-^T¹^{)= nc}^V^(T¹-^T²^)>0 Qb→c =

0

Isoterma c→d

ℒ

^c^→^d^{= nRT}²^ln(V^d^/^V^c)<0 pioché V_d<^V^c Q₂ = Q_c_→_d =

ℒ

^c^→^d(calore ceduto)

Adiabatica d→a

ℒ

^d^→^a⁼^-^∆E^INT⁼^-^nc^V^(T¹^-^T²^{)= nc}^V^(T²^-^T¹^)<0

Qd→a =

0 ℒ

^TOT^{= |Q}¹^|^-^|Q²^{| = nRT}¹^ln(V^b^/^V^a⁾^-^nRT²^ln(V^c^/^V^d⁾^⇒

ℒ

^TOT^{= nR(T}¹^ln(V^b^/^V^a⁾^-^T²^ln(V^c^/^V^d⁾⁾

Usiamo un gas ideale

PV=nRT

−1

TV

γ

= cost

(2)

2

I punti ad e bc sono rispettivamente su una stessa adiabatica ⇒

1 2

1 1

−

=

^γ

γ

d

a

T V

V

T

;

T

₁

V

_b^γ⁻¹

= T

₂

V

_c^γ⁻¹ ⇒ dividendo membro a membro

⇒

c d b

a c

d b

a

V V V

V V

V

_γ^γ₋⁻₁¹

=

_γ^γ₋⁻₁¹

⇒ =

sostituendo nell’espressione di

ℒ

^TOT

^⇒

ℒ

^TOT^{= nRln(V}^b^/^V^a^)(T¹^-^T²⁾

Calcoliamo il rendimento:

ηC =

ℒ

^TOT

/

^|Q1|=

1 2 1

2 1

1

2 1

1 T T T

T T

V ln V nRT

) T T

V ( ln V nR

a b a

b

−

− =

=

−

⇒

sempre <1

Il rendimento dipende solo dal rapporto delle temperature delle sorgenti con cui si scambia calore.

Osservazione:

2 2 1

1 1

2 1

2

1 1 T

Q T

Q Q

Q T

T Q

Q T

T

C

= − = − ⇒ = ⇒ =

η

I calori scambiati con le sorgenti sono inversamente proporzionali alle rispettive temperature.

1

2

T T

C