Se n `e divisibile per 99, quanto vale 10a + b? 3

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Acireale, 2 Marzo 2011

Progetto Olimpiadi della Matematica

Gara a Squadre

a cura di Giorgio Busoni ed Emanuele Callegari

1. Sia p(x) un polinomio di grado 4 tale che p(0) = 60, p(2) = p(−2) = 84 e p(4) = p(−4) = 1116.

Qual `e la somma dei coefficienti di p(x)?

2. Siano a, e b due cifre del numero n = 250a10b315576. Se n `e divisibile per 99, quanto vale 10a + b?

3. L’esagono convesso ABCDEF `e inscritto in una circonferenza. Se gli angoli interni in A e in C misurano rispettivamente 112^◦e 137^◦, quanto misura, in gradi, l’angolo interno in E?

4. Quanti sono i numeri di 3 cifre tali che la cifra delle centinaia è strettamente maggiore della cifra delle decine e quella delle decine è strettamente maggiore di quella delle unità?

5. Siano x, y e z tre numeri reali e positivi tali che x + y + z = 3 e sia m

n la frazione, ridotta ai minimi termini, che rappresenta il massimo valore che pu`o assumere x⁶y⁴z².

Quanto vale m + n?

6. Si immagini di mettere in ordine alfabetico tutti gli anagrammi della parola MANTIDE, contrassegnando il primo col numero 1, il secondo col numero 2, ecc.

Con che numero `e contrassegnata la parola MANTIDE?

7. In un trapezio isoscele una diagonale `e inclinata di 45^◦ rispetto alle basi e misura 84cm. Quanto vale (in cm²) l’area del trapezio?

8. Qual `e la somma di tutti i divisori di 3072, contando anche 1 e il numero stesso?

9. Sia p(x) = 29x³−31x²+ 10x − 1 e siano x1, x2ed x3le sue radici.

Calcolare 1 x²₁+ 1

x²₂+ 1 x²₃.

10. Nel quadrato ABCD siano P , Q, R e S i punti medi, rispettivamente, dei lati AB, BC, CD e DA.

Tracciando i segmenti AR, CP , BS e DQ il quadrato rimane diviso in 9 parti, delle quali, quella con area massima ha area 288cm².

Quanto vale (in cm²) l’area di ABCD?

11. Quanti sono gli anagrammi della parola ACIREALE che non hanno consonanti consecutive?

c Emanuele Callegari c/o Dipartimento di Matematica - Universit`a di Roma Tor Vergata - Tutti i diritti sono riservati Altro materiale disponibile alla pagina:http://www.mat.uniroma2.it/~olimpiad

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12. Quanti sono i divisori di 111222111, contando anche 1 e il numero stesso?

13. Quanti sono i diversi rettangoli aventi il perimetro di 201cm e l’area che, espressa in cm², `e un numero intero di 4 cifre?

14. Quanti sono i numeri interi n, con 1 ≤ n ≤ 9999, tali che `e possibile ritagliare un quadrato in modo da ottenere esattamente n quadrati, anche non uguali?

15. Se si scompone il polinomio x⁶+ 12³nel prodotto di polinomi a coefficienti interi non ulteriormente scomponibili si ottiene che `e il prodotto di 3 polinomi p1(x), p2(x) e p3(x). Sia s1la somma dei coefficienti di p1(x), s2quella di p2(x) ed s3quella di p3(x).

Quanto vale s1+ s2+ s3?

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Appendice: soluzione dei problemi

Soluzione del Problema 1.

La risposta corretta `e 51.

La risposta corretta `e 2974

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Gara a Squadre - risultati parziali

file:///C|/Users/giorgiobusoni/Desktop/acireale/acireale/situazione.html[07/03/2011 22:18:21]

Problema Valore Problema Valore Squadra Punteggio Squadra Punteggio

1 119 9 47 ARCHIMEDE 1158 AMAJORANA 563

2 82 10 38 BRUNELLESCHI 607 REGINAELENA 450

3 119 11 100 GULLIEPENNISI 794 FERRARIS 785

4 60 12 135

5 70 13 123

6 48 14 119

7 51 15 121

8 76