• Non ci sono risultati.

Richiami di calcolo e analisi

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Richiami di calcolo e analisi"

Copied!
29
0
0

Testo completo

(1)

Richiami di calcolo e analisi

Antonino Polimeno

Universit`a degli Studi di Padova

(2)

Derivate

`E data una funzione generica reale f (x1, x2, . . . , xm) di m variabili indipendenti reali,

I definita in Rm.

I buon comportamento (derivabile ovunque, invertibile rispetto a tutte le coordinate etc., salvo al pi`u che in un numero finito di punti)

La derivata parziale di f rispetto a xi `e il limite del rapporto tra la variazione della funzione e la variazione di xi mantenendo tutte le altre m − 1 coordinate costanti

 ∂f

∂xi



xj 6=i

= lim

δxi→0

f (x1, . . . , xi + δxi, . . . , xm) − f (x1, . . . , xi, . . . , xm) δxi

L’ordine di differenziazione `e ininfluente sul risultato

 ∂2f

∂xi∂xj



xk6=i ,j

=

 ∂2f

∂xj∂xi



xk6=i ,j

(3)

Differenziali - 1

Il differenziale totale df di una funzione f `e df =

m

X

i =1

 ∂f

∂xi



xj 6=i

dxi

dove dxi `e una variazione infinitesimale e arbitraria della i -esima variabile indipendente xi

Una quantit`a infinitesimale dz =

m

X

i =1

Mi(x1, . . . , xm)dxi

`e detta differenziale lineare. In due variabili:

dz = M(x , y )dx + N(x , y )dy (1)

(4)

Differenziali - 2

Differenziale esatto: ∃F tale che dF = dz; condizione necessaria e sufficiente in due variabili:

 ∂M

∂y



x

= ∂N

∂x



y

In generale

 ∂Mi

∂xj



xk6=j

= ∂Mj

∂xi



xk6=i

(5)

Differenziali - 3

Considerate ora una curva C nel piano xy , che connetta due punti Pin(xin, yin) e Pfin(xfin, yfin) Dato il differenziale 1, definiamo l’integrale di linea I sulla curva come

I = lim

n→∞

n

X

i =1

[M(xi, yi)∆xi + N(xi, yi)∆yi] ≡ Z

C

dz dove i punti (xi, yi) sono i vertici di una spezzata che parte da Pin

e arriva a Pfin.

(6)

Differenziali - 4

Si dicono integrali ciclici I =H

Cdz gli integrali di linea di un differenziale dz con un cammino di integrazione rappresentato da una curva chiusa (Pin= Pfin). Valgono le seguenti importanti propriet`a

1. se dz `e esatto I =H

Cdz = 0 per ogni curva chiusa C 2. se dz `e esatto I =R

Cdz = I0 =R

C0dz se C e C0 hanno lo stesso punto iniziale e finale (l’integrale `e indipendente dal cammino)

3. se il dz`e esatto esiste una funzione F tale che dz = dF , e quindiR

CdF = F (xfin, yfin) − F (xin, yin), indipendentemente dalla forma del cammino C.

(7)

Differenziali - 5

I Le propriet`a dei differenziali lineari sono di fondamentale interesse per al termodinamica.

I Per ogni trasformazione infinitesimale (cio`e cambiamento di stato di un sistema termodinamico), le variazioni infinitesimale delle varie funzioni di stato dp, dV , dU, dH, dS , dG , dA e cos´ıvia sono differenziali esatti; il lavoro dw ed il calore dq scambiati dal sistema invece non lo sono.

I Per una trasformazione finita dallo stato 1 allo stato 2, la variazione finita ∆F di una funzione di stato F `e ottenuta come ∆F = F2− F1;

I il lavoro ed il calore totali scambiati si devono invece calcolare dagli integrali di linea relativi al cammino specifico della trasformazione (se esiste un cammino, cio`e una successione continua di punti di equilibrio del sistema!).

(8)

Integrali

L’integrale indefinito

F (x ) = Z

f (x )dx

`

e una possibile soluzione dell’equazione differenziale dF dx = f I =

Z b

a

f (x )dx

`

e un numero, definito come F (b) − F (b), interpretabile geometricamente come l’area sottesa dalla curva y = f (x ) nell’intervallo [a, b].

(9)

Integrali multipli

Data una funzione f (x) definita per semplicit`a in Rn ed un dominio D ⊆ Rn, definiamo l’integrale multiplo I come

I = Z

x∈D

f (x)d x

Gli integrali multipli in R2 e R3 sono detti rispettivamente integrali doppi e tripli

I = Z

x∈D

f (x)d x = Z Z

x∈D

f (x)dx1dx2

I = Z

x∈D

f (x)d x = Z Z Z

x∈D

f (x)dx1dx2dx3

(10)

Integrali generalizzati

Un integrale generalizzato `e definito come il limite di un integrale definito.

1. Siano a e b reali tali che a < b, e la funzione sia f definita in ]a, b] ; f sia invece illimitata in un intorno (destro) di a, cio`e in pratica tende all’infinito per x → a+; allora si dice che f `e integrabile in senso generalizzato se esiste

I = lim

x →a+

Z b

a

f (x )dx

se I `e finito l’integrale converge, altrimenti se I → ∞ l’integrale diverge.

2. Se f `e per esempio definita in ] − ∞, b]

I = lim

x →−∞

Z b

a

f (x )dx in pratica di solito si scrive semplicementeRb

a f (x )dx , Rb

−∞f (x )dx .

(11)

Esempi

I Consideriamo una sostanza a pressione costante, ad una data temperatura Ti. L’entropia a una temperatura Tf `e

S (Tf) = S (Ti) +

N

X

n=1

"

Z Tn

Tn−1

Cp n(T )

T dT + ∆Hn

Tn

# +

+ Z Tf

TN

Cp N+1(T )

T dT

I Il coefficiente di fugacit`a di una gas reale `e ln γ =

Z pmis

0

 Z − 1 p



dp T cost.

I L’elemento di matrice dell’hamiltoniano della molecola H+2 rispetto a due orbitali atomici 1s centrati sui due nuclei A, B `e

H1sA,1sB = Z

0

dr Z π

0

d θsinθ Z

0

d φ1sA(r , θ, φ) ˆH1sB(r , θ, φ)

(12)

Integrali elementari

f (x ) F (x ) xa xa+1a+1 a 6= 1

1

x ln x

ax ln aax sin x − cos x

cos x sin x

1

sin2x − cot x

1

cos2x − tan x

1

1+x2 arctan x

1

1−x2 arcsin x

(13)

Integrazione per parti

Se f e g sono due funzioni generiche e G `e l’integrale di g : Z

f (x )g (x )dx = f (x )G (x ) − Z

f0(x )G (x )dx dato che (fG )0 = fg + f0G .

L’integrazione per parti `e utile con integrali del tipo Z

xneaxdx Z

xnsin bx Z

xncos bx

(14)

Cambio di variabili - 1

Per un generico integrando f (x ), supponiamo di cambiare la variabile indipendente esprimendola in funzione di un’altra variabile, x = x (q), da cui dx = dxdqdq. L’integrale indefinito generico diventa

I = Z

f (x )fx = Z

f [x (q)]dx dqdq =

Z

g (q)dq dove g (q) = f [x (q)]x0(q). Nel caso di integrali multipli, la trasformazione di variabili richiede l’introduzione dello jacobiano.

poniamo x1 = x1(q1, . . . , qn), . . . , xn= xn(q1, . . . , qn) ovvero x = x(q). L’integrale diventa

I = Z

q∈D0

f [x(q)]|J|d q

(15)

Cambio di variabili - 2

D0 `e il dominio corrispondente a D, ma nello spazio q, mentre J `e il determinante della matrice delle derivate prime di x = x(q), detto appunto jacobiano

J = ∂x

∂q =

∂x1

∂q1

∂x2

∂q1 . . . ∂xn

∂q1

∂x1

∂q2

∂x2

∂q2 . . . ∂xn

∂q2 . . . .

∂x1

∂qn

∂x2

∂qn . . . ∂xn

∂qn

(16)

Funzioni razionali - 1

Dati due generici polinomi A(x ) e B(x ), consideriamo l’integrale I =

Z b a

A(x ) B(x )dx

I se il grado di A `e maggiore di quello di B possiamo scrivere la funzione integranda come la somma di un polinomio e di una funzione razionale di due polinomi, in cui il polinomio al numeratore ha un grado minore di quello al denominatore.

I Quindi l’integrazione della funzione A/B si pu`o ricondurre ad un integrale triviale (integrando polinomiale) sommato all’integrale di una funzione razionalecon grado del numeratore inferiore al grado del denominatore.

Assumeremo quindi che il grado di A sia minore di quello di B.

(17)

Si dimostra che

B(x ) = b0(x −α1)p1. . . (x −αm)pm(x21x +γ1)q1. . . (x2nx +γn)qn dove p1+ . . . + pm+ 2q1+ . . . + 2qn `e uguale al grado di B.

Quindi A/B si pu`o scrivere A(x )

B(x ) = A(1)1 x − α1

+ A(1)2

(x − α1)2 + . . . + A(1)p1

(x − α1)p1 + . . . + A(m)1

x − αm + A(m)2

(x − αm)2 + . . . + A(m)pm

(x − αm)pm + + B1(1)x + C1(1)

x2+ β1x + γ1 + B2(1)x + C2(1)

(x2+ β1x + γ1)2 + . . . + Bq(1)1 x + Cq(1)1

(x2+ β1x + γ1)q1 + . . . + B1(n)x + C1(n)

x2+ βnx + γn + B2(n)x + C2(n)

(x2+ βnx + γn)2 + . . . + Bq(n)n x + Cq(n)n

(x2+ βnx + γn)qn + . . .

(18)

Integrazione numerica - 1

I Dividiamo l’intervallo [a, b] in sottointervalli

[x1= a, x2], [x2, x3], . . . , [xn−1, xn= b] ciascuno della stessa lunghezza h,

I Approssiamo l’arco della funzione f (x ) in ciascun intervallo con una retta che va dal punto (xi, f (xi) = fi) al punto (xi +1, f (xi +1) = fi +1)

I l’integrale pu`o essere approssimato alla somma delle aree dei trapezi adiacenti cos`ı formati.

I = h f1

2 + f2+ . . . + fn−1+fn 2



(19)
(20)

Integrazione numerica - 2

I Possiamo utilizzare schemi pi`u complessi, per esempio considerare terne successive, invece di coppie successive di punti, trovare la parabola che passa per essi ed integrare in ciascun intervallo [xi −1, xi +1].

In questo caso si trova I = h f1

3 +4f2

3 +2f3

3 + . . . +2fn−2

3 + 4fn−1

3 +fn

3



I L’algoritmo pi`u comune (detto diRomberg) costruisce approssimazioni successive all’integrale aumentando via via l’ordine del polinomio interpolante, fino a convergenza.

(21)

Equazioni non lineari - 1

Dato il sistema di n equazioni in n incognite (reali o complesse) f(x) = 0

si vogliono trovare una o pi`u soluzioni, cio`e vettori x che verifichino il sistema.

I Le soluzioni, se esistono, si possono trovare con metodi numerici

I Il caso dei sistemi di equazioni lineari `e stato gi`a considerato

I Le difficolt`a intrinseche del problema di trovare le soluzioni (o

’radici’) del sistema sono diverse se il problema `e

monodimensionale (una sola equazione) o multidimensionale.

I Nel primo caso `e possibile praticamente sempre trovare soluzioni accurate in una dato intervallo [a, b]

I Nel secondo la ricerca di alcune delle possibili radici in un dominio generico D pu`o essere molto complicata e computazionalmente ’difficile’.

(22)

Alcuni esempi

I Determinazione delle propriet`a di una sostanza data una funzione di stato

I Calcolo delle attivit`a delle specie chimiche in un reattore in cui siano presenti uno o pi`u processi stechiometrici indipendenti

I Determinazione dei luoghi dei punti nodali (punti, piani etc.) di orbitali elettronici o molecolari

I richiede il calcolo degli zeri delle funzioni che descrivono le funzioni d’onda orbitaliche

(23)

Esempio 1

Calcolo del volume occupato da 1 mole di CO2, descritta dall’equazione di van der Waals, ad 1 atm e 300 K.

L’equazione:

Vm3 −RT + pb

p Vm2 +a

pVm−ab p = 0 ammette tre soluzioni.

I polinomiale di III grado risolvibile analiticamente

I una sola soluzione `e reale e coincide con il volume molare. Per i parametri dati si ottiene Vm= 23.98 L mol−1.

(24)

Esempio 2

Calcolo del pH di un acido debole monoprotico HA, di molarit`a mA per un volume VA mescolato a un volume VB di una soluzione acquosa di una base debole B, di molarit`a mB.

HA + H2O −−*)−− A+ H3O+ KA =[A

][H3O+] [HA]

B + H2O −−*)−− BH++ OH KB = [BH+][OH

] [B]

2 H2O −−*)−− H3O++ OH Kw = [H3O+][OH]

I Valgono i bilanci di massa rispetto alle specie A e B, (VA+ VB)([HA] + [A]) = VAmA

(VA+ VB)([B] + [BH+]) = VBmB

I la soluzione deve essere elettricamente neutra [H3O+] + [BH+] = [A] + [OH]

I sistema di sei equazioni in sei incognite, che si pu`o risolvere ottenendo [H3O+] e quindi il pH = − log[H3O+].

(25)

Polinomio

Equazione polinomiale di grado n

p(x ) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a2x2+ a1x + a0 = 0

I Il teorema fondamentale dell’algebra stabilisce che l’equazione ha un numero di radici complesse pari al grado del polinomio p(x ), contate con la loro molteplicit`a.

I Il teorema di Abel stabilisce che le soluzioni si possono trovare mediante quadrature in funzione dei coefficienti a0, . . . an solo se il grado `e inferiore a cinque.

I E quindi possibili scrivere soluzioni analitiche esatte in termini` di operazioni elementari per le equazioni lineari, quadratiche, cubiche e quartiche.

(26)

Quadratiche

Per n = 2, l’equazione `e

ax2+ bx + c = 0

dove a, b, c sono numeri reali; si definisce il discriminante

∆ = b2− 4ac tale che se

∆ > 0: l’equazione ammette due soluzioni distinte reali

∆ = 0: l’equazione ammette una soluzione doppia reale

∆ < 0: l’equazione ammette due soluzioni complesse coniugate

Le radici in generale sono ottenute come xk = −b + uk

∆ 2a

con k = 1, 2; u1 = 1, u2 = −1 sono le due radici quadratiche dell’unit`a, e con√

∆ si intende una delle due radici quadrate in senso complesso di ∆.

(27)

Cubiche

Per n = 3, l’equazione `e

ax3+ bx2+ cx + d = 0

dove a, b, c, d sono numeri reali; si definisce il discriminante

∆ = 18abcd − 4b3d + b2c2− 4ac3− 27a2d2 tale che se

∆ > 0: l’equazione ammette tre soluzioni distinte reali

∆ = 0: l’equazione ammette una soluzione tripla reale

∆ < 0: l’equazione ammette una soluzione reale e due soluzioni complesse coniugate

Le radici in generale sono ottenute come xk = − 1

2a



b + ukC + ∆0

ukC



con k = 1, 2, 3; u1= 1, u2 = −1+i

3

2 , u3 = −1−i

3

2 sono le tre radici cubiche dell’unit`a, C = 3

q1+

21−4∆30

2 e

0 = b2− 3ac, ∆1= 2b3− 9abc + 27a2d .

(28)

Metodi numerici - 1

f (x ) = 0

Scriviamo f (x ) = g (x ) − x , cio`e x = g (x ); sia a un punto di partenza e generiamo la successione

1. sia x1 = a 2. sia x2 = g (x1) 3. torna allo step 2

quindi xk+1 = g (xk). Se g (x ) ha una derivata in modulo minore di 1 in un intorno della soluzione ξ ed a `e scelto in questo intorno, la successione converge a ξ.

(29)

Metodi numerici - 2

Metodo dicotomicoo di bisezione: nell’intervallo [a, b], l’equazione ammetta una radice semplice ξ, cio`e un’unica soluzione f (ξ) = 0, e che f (a)f (b) < 0.

Il metodo pi`u semplice per trovare una soluzione `e di costruire la successione

1. siano x1 = a, y1= b

2. definiamo z1= x1+y2 1, e scegliamo x2, y2 secondo la regola: se f (x1)f (z1) < 0 allora x2 = x1, y2 = z1, altrimenti se

f (z1)f (y1) < 0 allora x2 = z1, y2 = y1 3. torna allo step 2.

La successione z1, z2, . . . converge a ξ (e naturalmente se ad un certo step f (zk) = 0, zk = ξ).

il metodo dicotomico converge sempre, ma in modo relativamente lento (lineare) ad una soluzione.

Riferimenti

Documenti correlati

La prova consiste nella elaborazione di un progetto, relativo allo specifico indirizzo del Liceo Artistico, che tiene conto della dimensione pratica e

Ogni circuito quantistico è approsimativamente equivalente ad un circuito costruito a partire da CNOT e da quattro specifiche porte quantistiche unarie... Insiemi di

Keplero, che ricondusse il calcolo dell'area del cerchio alla somma delle aree degli infiniti triangoli isosceli aventi il vertice nel centro del cerchio e come base una

• Nel problema isoperimetrico ci si chiede quale figura piana o spaziale renda massima l’area o il volume, a seconda della dimensione, a parità di perimetro o di area della

• grado di avanzamento di una reazione, r (o conversione frazionale c ) (corrisponde al numero di moli di reagenti e prodotti consumati e formati ad un dato momento della reazione).

in coordinate polari sferiche di massa ρ

le quattro possibili configurazioni costituiscono i “ micro stati “ accessibili al sistema. possibili

Ora un certo Cheyne [nel Methodus fluxionum inversa] se ne va in giro a dire che negli ultimi venti o trenta anni non abbiamo pubblicato nulla, che non sia un’ennesima ripetizione o