dV = r drsen d d
2ϑ ϑ ϕ
data la simmetria del problema opereremo
consideriamo una sfera di raggio
r
generico di raggioR
,Determinare il momento d’inerzia,
si esprime come
dV
di area di basedS
di una sfera
e un volumetto infinitesimo
rispetto ad un asse passante per il centro
in coordinate polari sferiche il volume
dV
massa totale
M
e di densita’ volumetricain coordinate polari sferiche di massa
ρ
costante ovunque.con [ 0 <
r
<R
]e di altezza
dr
dl2
dl
1dr
dS = r sen d d
2ϑ ϑ ϕ
dV = r sen d d dr
2ϑ ϑ ϕ
il momento d’inerzia e’
( )
2I
z= ∫ rsen ϑ dm dm = ρ dV
quindidove
dl1
dl2
z
dϕ
dr
r r r
consideriamo un guscio sferico
z
r
dϑ dϕ
O
con
[ 0 < r < R ]
O
z
di raggio generico
r
concentrico ad una sfera
R
piena di raggio
R
di spessore infinitesimo dr
2 2 2
( )
I
z= ∫∫∫ r sen ϑρ r drsen d d ϑ ϑ ϕ
4 3
r sen drd d
ρ ϑ ϑ ϕ
= ∫∫∫
2 4 3
0 0 0
R
I
z= ρ ∫ ∫ ∫
π πr drsen ϑ ϑ ϕ d d
5
3
2
05
R
πsen d
πρ ϑ ϑ
= ∫
per cui
4 3 2
0 0 0
R
r dr
πsen d
πd
ρ ϑ ϑ ϕ
= ∫ ∫ ∫
3
0π
sen ϑ ϑ d
∫
dunque
2 4
5 z5 3
I = π ρ R
ma
1 2
1
(1 cos ) cos 4 d 3
ϑ ϑ
= − ∫
−− =
4
3V = 3 π R
e dato che la massa4
33
M M
V R
ρ = = π
il volume della sfera e’
per determinare
ρ
si ragiona nel modo seguente :per cui
e’ distribuita in maniera uniforma entro la sfera
5 3
2 4 5 3 4
3
M R R
π π
= 2 4
5z
5 3
I = π ρ R
in conclusione:
2
2z
