c) calcolarne la derivata direzionale nel punto P = (2, −3) nella direzione del vettore w scrivere l’equazione del piano tangente nel punto (2, −3, f (2, −3

Corso di Laurea in Informatica - 1 luglio 2010 - Tema A Complementi di Matematica (mod.Analisi) Es: 1),2),3),4)

Analisi Matematica 1 (6cfu) Es: 3),4),5),6).

1) Risolvere il problema di Cauchy (

y⁰ = 2

1 − x y + cos x y(0) = 0

e specificare qual’`e il pi`u grande intervallo su cui la soluzione `e definita.

2) Determinare l’integrale generale della equazione differenziale y⁰⁰− 6y⁰+ 13y = 0

3) a) Determinarne gli zeri e il segno della seguente funzione f (x, y) = (y + 2)(x − 1)(x − y)

b) determinarne i punti stazionari e stabilirne la natura;

c) calcolarne la derivata direzionale nel punto P = (2, −3) nella direzione del vettore w = (−1,√

3) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto (2, −3, f (2, −3)).

4) Sia D =

½

(x, y) ∈ R²| x²+ y² ≥ 1, x² 9 + y²

4 ≤ 1

¾

. Disegnare D e calcolare gli integrali

a) Z

D

y² dx dy; b) Z

D

x³ dx dy

———————

5) Stabilire il carattere delle seguenti serie numeriche

i) X∞ n=1

3ⁿn!

(2n)ⁿ; ii) X∞ n=1

(−1)ⁿlog 1

n⁴; iii) X∞ n=1

4 + cos n + n² 3 + n²− 2n³

6) Stabilire l’insieme di convergenza della seguente serie di potenze e calcolarne ivi la somma (giustificare bene la risposta):

X∞ k=1

(−1)^k(x + 5)^k k

Corso di Laurea in Informatica - 1 luglio 2010 - Tema B Complementi di Matematica (mod.Analisi) Es: 1),2),3),4)

Analisi Matematica 1 (6cfu) Es: 3),4),5),6).

1) Risolvere il problema di Cauchy (

y⁰ = − 2

x − 5 y + sin x y(0) = 0

e specificare qual’`e il pi`u grande intervallo su cui la soluzione `e definita.

2) Determinare l’integrale generale della equazione differenziale y⁰⁰+ 8y⁰+ 18y = 0

3) ) a) Determinarne gli zeri e il segno della seguente funzione f (x, y) = (y + 2)(x + 1)(x + y)

b) determinarne i punti stazionari e stabilirne la natura;

c) calcolarne la derivata direzionale nel punto P = (−2, 3) nella direzione del vettore w = (−1,√

3) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto (−2, 3, f (−2, 3)).

4) Sia D =

½

(x, y) ∈ R²| x²+ y² ≥ 1, x² 16+ y²

9 ≤ 1

¾

. Disegnare D e calcolare gli integrali

a) Z

D

y² dx dy; b) Z

D

y³ dx dy

———————

5) Stabilire il carattere delle seguenti serie numeriche

i) X∞ n=1

(3n)ⁿ

5ⁿn! ; ii) X∞ n=1

(−1)ⁿlog 1

n²; iii) X∞ n=1

3 + sin n − n² 4 + n²− 3n³

6) Stabilire l’insieme di convergenza della seguente serie di potenze e calcolarne ivi la somma (giustificare bene la risposta):

X∞ k=1

(−1)^k(x + 3)^k k