c) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto Q = (2, 0, f (2, 0

Complementi di Matematica cdl in Informatica

Primo compitino 8 novembre 2006 Tema A

Cognome Nome matr.

1) Risolvere il problema di Cauchy

½ 2y⁰= 7x⁶(1 − y²) y(1) = −√

2

2) Risolvere le seguenti equazioni differenziali

a) y⁰− 2xy = xe^2x2 ; b) y⁰⁰− 5y⁰+ 6y = 0 3) Calcolare, se esistono, i limiti

a) lim

(x,y)→(0,0)

3x²sin y

x²+ y² ; b) lim

(x,y)→(0,0)

2xy³ (x²+ y²)²

4) Data la funzione f (x, y) = x²+ 3y 4 + xy a) determinarne il dominio e disegnarlo;

b) calcolare la derivata direzionale nel punto P = (2, 0), nei versori indivi- duati dalla direzione della retta r di equazione 2x − y + 3 = 0;

c) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto Q = (2, 0, f (2, 0)).

1

Complementi di Matematica cdl in Informatica

Primo compitino 8 novembre 2006 Tema B

Cognome Nome matr.

1) Risolvere il problema di Cauchy

½ 4y⁰= 3x²(4 − y²) y(1) = −√

5

2) Risolvere le seguenti equazioni differenziali

a) y⁰− 3x²y = x²e^2x3 ; b) y⁰⁰+ 6y⁰− 7y = 0 3) Calcolare, se esistono, i limiti

a) lim

(x,y)→(0,0)

5x²tan y

x²+ y² ; b) lim

(x,y)→(0,0)

3x²y² (x²+ y²)²

4) Data la funzione f (x, y) = y³− 2x xy − 4

a) determinarne il dominio e disegnarlo;

b) calcolare la derivata direzionale nel punto P = (0, 2), nei versori indivi- duati dalla direzione della retta r di equazione 3x − y + 6 = 0;

c) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto Q = (0, 2, f (0, 2)).

2

Complementi di Matematica cdl in Informatica

Primo compitino 8 novembre 2006 Tema C

Cognome Nome matr.

1) Risolvere il problema di Cauchy

½ 4y⁰= 5x⁴(4 − y²) y(−1) =√

5

2) Risolvere le seguenti equazioni differenziali

a) y⁰+ 4xy = 2xe^−x2 ; b) 2y⁰⁰+ 3y⁰− 2y = 0 3) Calcolare, se esistono, i limiti

a) lim

(x,y)→(0,0)

2y²sin x

x²+ y² ; b) lim

(x,y)→(0,0)

4x³y (x²+ y²)²

4) Data la funzione f (x, y) = x²+ 3y 3 + xy a) determinarne il dominio

b) calcolare la derivata direzionale nel punto P = (3, 0), nei versori indivi- duati dalla direzione della retta r di equazione 4x − y + 2 = 0

c) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto Q = (3, 0, f (3, 0))

3

Complementi di Matematica cdl in Informatica

Primo compitino 8 novembre 2006 Tema D

Cognome Nome matr.

1) Risolvere il problema di Cauchy

½ y⁰ = 4x³(1 − y²) y(−1) =√

2

2) Risolvere le seguenti equazioni differenziali

a) y⁰+ 6x²y = 3x²e^−x3 ; b) 2y⁰⁰− y⁰− 6y = 0 3) Calcolare, se esistono, i limiti

a) lim

(x,y)→(0,0)

7y²tan x

x²+ y² ; b) lim

(x,y)→(0,0)

2x³y³ (x²+ y²)³

4) Data la funzione f (x, y) = 2x − y² 5 + xy a) determinarne il dominio e disegnarlo;

b) calcolare la derivata direzionale nel punto P = (5, 0), nei versori indivi- duati dalla direzione della retta r di equazione −2x + y − 5 = 0;

c) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto Q = (5, 0, f (5, 0)).

4