Anno Accademico 2006/2007
Meccanica Razionale
Nome:.................................
N. matr.:................................. Ancona, 12 gennaio 2007
1. (i) Enunciare e dimostrare le formule di Poisson p er la derivata tem-
p orale deiversori diun sistemaortogonale;
(ii) determinare il numero di gradi di lib erta e, usando le formule di
Poisson,lavelo citaangolare diuna laminatriangolareABC,lib era
diruotareattornoallatoAB,cheasuavoltagiacesuunasemiretta
che ruotacon velo citaangolare costante attorno alla sua origine
O .
2. Un sistemamateriale,costituito da un'asta AB dimassa m elunghezza
l e da un disco omogeneo di massa M e raggio R, si muove nel pia-
no verticale O (x;y). Gli estremiA e B dell'asta scorrono senza attrito
risp ettivamentesull'assey esull'assex, mentreildisco rotolasenzastri-
sciare sull'asta. Ilcentro C del disco e collegato all'estremo A dell'asta
da una molla di costante elastica k > 0, ed una seconda molla collega
l'estremoAdell'astaconilpunto Qdell'asseysituatoadistanza l sopra
l'origine. Utilizzando le equazioni cardinali della statica, determinare
tuttelecon gurazioni diequilibrioecalcolarelereazionivincolariintali
con gurazioni.
La forza elastica dovutaalla molla AC puo essereconsiderata comefor-
za interna o comeforza esterna; qualidi erenze si troverebb ero neidue
casi?
Attenzione: l'equazione risolutiva per le con gurazioni di equilibrio po-
trebbe non essere risolvibile in forma chiusa: discuterne con il docente.
x y
A
B O
C Q
l, m R, M
l
ad una forza data dal camp ovettoriale
F=[1 x 6x 2
2y]
^
i [2(1+x)+y 1+4y]
^
j.
(i) Dimostrare chetale camp o e conservativo edeterminarne ilp oten-
ziale;
(ii) enunciareilcriteriodiDirichletp erlastabilitadiunacon gurazione
di equilibrio e giusti carlo p er un sistema ad un grado di lib erta.
Usando tale criterio,calcolaretutte lecon gurazioni diequilibrio e
studiarne la stabilita.
4. Due aste materiali p esanti AB e BC di ugual massa m e lunghezza l ,
aventi l'estremo B in comune, si muovono nel piano verticale O (x;y).
L'estremo A e sso e coincide con l'origine, mentre l'estremo C scorre
senzaattritosull'assexedinoltreledueastesonolib erediruotare attor-
no all'estremo comune B. Una molla di costante elastica k >0 collega
C con un punto sso M dell'asse x, p osto a distanza 2l dall'origine. Si
chiededi:
O
x y
B
C A
M
(i) Scriverele equazionidi Lagrange p er ilsistema;
(ii) Determinarele reazionivincolari interne edesterne presentinel si-
stema, nella p osizione in cui le due aste sono disp oste orizzontal-
mentedallapartedelsemiassexp ositivo,supp onendocheall'istante
inizialel'asta AB sia disp osta lungo l'asse y con A sotto l'origine.
Attenzione: nel punto (ii),i calcoli da espletaresono piuttosto pesanti; e
suÆciente, ai nidellarisoluzionedell'esercizio, arrivareallade nizione
corretta di tutte le grandezze che compaiono nel calcolo delle reazioni
