TEOREMA DI PITAGORA

Enunciato

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

𝒊 ^𝟐 = 𝒄 _𝟏 ^𝟐 + 𝒄 _𝟐 ^𝟐

𝒄 _𝟏 ^𝟐 = 𝒊 ^𝟐 − 𝒄 _𝟐 ^𝟐

𝒄 _𝟐 ^𝟐 = 𝒊 ^𝟐 − 𝒄 _𝟏 ^𝟐

𝒊 = 𝒄 _𝟏 ^𝟐 + 𝒄 _𝟐 ^𝟐

𝒄 _𝟏 = 𝒊 ^𝟐 − 𝒄 _𝟐 ^𝟐

𝒄 _𝟐 = 𝒊 ^𝟐 − 𝒄 _𝟏 ^𝟐

Esempio:

I cateti di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 15 cm e 20 cm.

Determina la misura dell’ipotenusa.

Dati Incognita 𝐴𝐵 = 15 𝑐𝑚 𝐵𝐶 = ? 𝐴𝐶 = 20 𝑐𝑚

Risoluzione

𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 ² + 𝐴𝐶 ² 𝐵𝐶 = 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25 𝑐𝑚

Applicazioni del Teorema di Pitagora

Rettangolo

𝒅 = 𝒃 ^𝟐 + 𝒉 ^𝟐

𝒉 = 𝒅 ^𝟐 − 𝒃 ^𝟐

𝒃 = 𝒅 ^𝟐 − 𝒉 ^𝟐

Esempio:

Calcola la misura della diagonale di un rettangolo, sapendo che la base misura 4,8 cm e l’altezza misura 2 cm.

Dati Incognita 𝐴𝐵 = 4,8 𝑐𝑚 𝐵𝐷 = ? 𝐴𝐷 = 2 𝑐𝑚

Risoluzione

𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 ² + 𝐴𝐷 ² 𝐵𝐶 = 4,8² + 2² = 23,04 + 4 = 27,04 = 5,2 𝑐𝑚

Quadrato

𝒅 = 𝒍

+ 𝒍

= 𝒍

× 𝟐

= 𝒍

× 𝟐 = 𝒍 × 𝟐

𝒍 = 𝒅 𝟐

Le formule relative al quadrato si utilizzano per i triangoli rettangoli isosceli con gli angoli acuti di 45°.

Esempio:

Calcola la misura della diagonale di un quadrato, il cui lato misura 8 cm

Dati Incognita 𝐴𝐵 = 8 𝑐𝑚 𝐵𝐷 = ?

Risoluzione

𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 × 2 𝐵𝐶 = 8 × 2 = 8 × 1,41 = 11,28 𝑐𝑚

Triangolo isoscele

𝒍 = 𝒉 ^𝟐 + 𝒃 𝟐

𝟐

𝒉 = 𝒍 ^𝟐 − 𝒃 𝟐

𝟐

𝒃

𝟐 = 𝒍 ^𝟐 − 𝒉 ^𝟐

Esempio:

In un triangolo isoscele la base misura 6 cm e l’altezza misura 4 cm; calcola la misura del perimetro.

Dati Incognita 𝐴𝐵 = 6 𝑐𝑚 2𝑝 = ? 𝐶𝐻 = 4 𝑐𝑚

Risoluzione

𝐵𝐶 = 𝐶𝐻 ² + ^𝐴𝐵

2

2 𝐵𝐶 = 4² + ⁶

2

2 = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 = 5 𝑐𝑚

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 × 2 2𝑝 = 6 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16 𝑐𝑚

Triangolo equilatero

𝒉 = 𝒍^𝟐− ^𝒍

𝟐

𝟐= 𝒍^𝟐− ^𝒍𝟐

𝟒 =

= 𝟒𝒍^𝟐− 𝒍^𝟐 𝟒 =

= 𝟑𝒍^𝟐

𝟒 = 𝟑 × 𝒍^𝟐

𝟒 = 𝟑 × 𝒍 𝟐

Ricorda:

𝟑

𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟔

Da cui deriva:

𝒍 = 𝟐 × 𝒉 𝟑

Le formule relative al triangolo equilatero si utilizzano per i triangoli rettangoli con un angolo acuto di 30°

e l’altro di 60°

Esempio:

Calcola la misura dell’altezza di un triangolo equilatero sapendo che il lato misura 5 cm.

Dati Incognita 𝐴𝐵 = 5 𝑐𝑚 𝐶𝐻 = ? Risoluzione

𝐶𝐻 = 𝐴𝐵 × 3 2 𝐶𝐻 = ³

2 × 5 = 0,866 × 5 = 4,33 𝑐𝑚

Rombo

𝒍 = 𝒅 _𝟏 𝟐

𝟐

+ 𝒅 _𝟐 𝟐

𝟐

𝒅 _𝟏

𝟐 = 𝒍 ^𝟐 − 𝒅 _𝟐 𝟐

𝟐

𝒅 _𝟐

𝟐 = 𝒍 ^𝟐 − 𝒅 _𝟏 𝟐

𝟐

Esempio:

L’area di un rombo è di 1176 cm² e la diagonale maggiore misura 56 cm; calcola la misura del perimetro.

Dati Incognita 𝐵𝐷 = 56 𝑐𝑚 2𝑝 = ? 𝐴 = 1176 𝑐𝑚²

Risoluzione 𝐷𝐵 = 𝐴 × 2

𝐵𝐷

𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 2

2

+ 𝐵𝐷 2

2

2𝑝 = 𝐴𝐵 × 4

Trapezio rettangolo

𝒍 = 𝒃 _𝟏 − 𝒃 _𝟐 ^𝟐 + 𝒉 ^𝟐

𝒉 = 𝒍 ^𝟐 − 𝒃 _𝟏 − 𝒃 _𝟐 ^𝟐

𝒃 _𝟏 − 𝒃 _𝟐 = 𝒍 ^𝟐 − 𝒉 ^𝟐

𝐷𝐵 = 1176 × 2

56 = 42 𝑐𝑚

𝐴𝐵 = 56 2

2

+ 42 2

2

= 28² + 21²

= 784 + 441 = 1225 = 35 𝑐𝑚 2𝑝 = 35 × 4 = 140 𝑐𝑚

O

Esempio:

Calcola la misura del perimetro di un trapezio rettangolo, sapendo che le due basi misurano rispettivamente 18 cm e 28 cm e l’altezza misura 24 cm.

Dati Incognita 𝐴𝐵 = 28 𝑐𝑚 2𝑝 = ? 𝐶𝐷 = 18 𝑐𝑚

𝐶𝐻 = 24 𝑐𝑚

Risoluzione

𝐻𝐵 = 𝐴𝐵 − 𝐷𝐶 𝐻𝐵 = 28 − 18 = 10 𝑐𝑚

𝐵𝐶 = 𝐶𝐻 ² + 𝐻𝐵 ² 𝐵𝐶 = 24² + 10² = 576 + 100 = 676 = 26 𝑐𝑚 2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐴 2𝑝 = 28 + 26 + 18 + 24 = 96 𝑐𝑚

Trapezio isoscele

𝒍 = 𝒃 _𝟏 − 𝒃 _𝟐 𝟐

𝟐

+ 𝒉 ^𝟐

𝒉 = 𝒍 ^𝟐 − 𝒃 _𝟏 − 𝒃 _𝟐 𝟐

𝟐

𝒃 _𝟏 − 𝒃 _𝟐

𝟐 = 𝒍 ^𝟐 − 𝒉 ^𝟐

Esempio:

Calcola la misura del perimetro di un trapezio isoscele, sapendo che le due basi misurano rispettivamente 52 cm e 28 cm e l’altezza misura 9 cm.

Dati Incognita 𝐴𝐵 = 52 𝑐𝑚 2𝑝 = ? 𝐶𝐷 = 28 𝑐𝑚

𝐶𝐻 = 9 𝑐𝑚

Risoluzione

𝐻𝐵 = ^{𝐴𝐵 − 𝐷𝐶}

2 𝐻𝐵 = ^{52− 28}

2 = 12 𝑐𝑚

𝐵𝐶 = 𝐶𝐻 ² + 𝐻𝐵 ² 𝐵𝐶 = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15 𝑐𝑚 2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐴 2𝑝 = 52 + 15 + 28 + 15 = 110 𝑐𝑚