(3)COGNOME e NOME N

Esame di Analisi matematica II : esercizi A.a. 2004-2005, sessione estiva, III appello

COGNOME e NOME N. Matricola

Anno di Corso Laurea in Ingegneria

Si risolvano gli esercizi : 1 2 3 4 5 6 ESERCIZIO N. 1. Si studi il carattere della serie

+∞

X

n=1

 √n + 1 −√ n

n + i²ⁿ⁺¹

n(√

n+ 1 −√n)

 .

RISULTATO

SVOLGIMENTO

n=0

(i) Si determini il raggio di convergenza della serie.

(ii) Si stabilisca se la serie converge nel punto x1=¹₂ e, in caso affermativo, si calcoli la somma.

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ESERCIZIO N. 3. Si calcoli l’integrale doppio Z Z

E

y²

x²+ y²dxdy E=n

(x, y)^T : x²+ y²<1, (x − 1)²+ y²>1o .

RISULTATO

SVOLGIMENTO

Si determinino

• il gradiente di f :

• la matrice Hessiana di f :

• i punti critici di f :

• la natura dei punti critici di f :

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ESERCIZIO N. 5. Si risolva il seguente problema di Cauchy







y^′= 2x

1 + x²y+ 2x√y, y(0) = 4.

RISULTATO

SVOLGIMENTO

Si determinino

• il vettore ν(u⁰, v0) normale alla superficie nel generico punto σ(u0, v0):