Esercitazione in aula n. 3
1. Le fibre sintetiche prodotte da una certa ditta sono caratterizzate da un carico di rottura la cui distribuzione è ben approssimata da un modello Gaussiano. I parametri del modello sono incogniti ma sono disponibili n=16 osservazioni sperimentali del carico di rottura (in psi) rilevate sulla base di un campione casuale di un pari numero di unità di prodotto; i valori osservati sono riportati nella tabella seguente:
48.99 52.07 49.29 51.66 52.16 49.72 48.00 49.96 49.20 48.10 47.90 46.94 51.76 50.75 49.86 51.57 a) Calcolare una stima puntuale di media, varianza, deviazione standard e mediana;
b) Determinare un intervallo di confidenza, al livello1− =α 0.90, sul carico di rottura medio;
c) Determinare il numero di esemplari che si dovrebbero sottoporre a prova se si volesse un intervallo di confidenza, al livello1− =α 0.90, caratterizzato da una ampiezza di 1 psi, assumendo nota e pari a 1.5 psi la deviazione standard;
d) determinare un intervallo di confidenza, al livello1− =α 0.95, sulla varianza del carico di rottura.
[Soluzioni: a) 49.871, 2.747, 1.658, 49.790 b) (49.144; 50.598) c) 25 d) (1.499; 6.580)]
2. Il peso misurato da una bilancia elettronica è quello effettivo dell’oggetto più un errore casuale che ha distribuzione di tipo gaussiano di media 0 e deviazione standard 0.01 mg. I risultati di 5 pesate della stessa quantità di una certa sostanza hanno dato i seguenti valori
3.142 3.163 3.155 3.150 3.141
Determinare l’intervallo di confidenza sul reale peso della sostanza ai livelli di confidenza del 95% e del 99%.
[Sol. 3.141 – 3.159; 3.138 – 3.162]
3. La concentrazione di policlorobifenili (PCB) presenti nei pesci di un certo lago viene misurata con una tecnica caratterizzata da un errore di tipo Normale con media 0 e varianza incognita. I risultati di 10 analisi indipendenti hanno dato i seguenti valori in ppm
11.2 12.4 10.8 11.6 12.5
10.1 11.0 12.2 12.4 10.6
Determinare per la concentrazione di PCB l’intervallo di confidenza bilaterale e l’intervallo di confidenza unilaterale superiore al livello del 95%.
[Sol. 10.86 – 12.10; 11.98]
4. Un ingegnere sta studiando la durata degli pneumatici realizzati con una nuova mescola.
Dopo aver costruito esemplari di pneumatico, li ha sottoposti ad una prova di durata su di un percorso stradale. La media e la deviazione standard campionarie sono risultate pari a
10 n= 61492
x = km e s=3035 km.
a) Sotto l’ipotesi di Normalità dei dati, determinare il limite inferiore di confidenza sulla
“vera” percorrenza media, al livello del 95%.
b) In un esperimento in cui la deviazione standard della v.a. percorrenza è nota e pari a σ =3000 km, quanti esemplari di pneumatico è necessario provare se si vuole che l’incertezza sul limite inferiore di confidenza al 95% sia pari a 1000 km?
[Soluzioni: a) 59,733 km b) N =25]
5. La concentrazione di ossigeno disciolto in un corso d’acqua è stata misurata per 30 giorni, ottenendo una media campionaria di 2.50 mg/l e una deviazione standard campionaria di 2.12 mg/l. Determinare l’intervallo di confidenza, al livello del 90%, a) sulla media, e b) sulla deviazione standard della concentrazione di ossigeno, assumendo che la concentrazione di ossigeno sia una variabile aleatoria caratterizzata da una legge di probabilità Normale.
[Soluzione: a) (1.842 – 3.158); b) (1.750 – 2.713)]
