2) Determinare il campo d'esistenza della funzione log , determinando 0 B œ %B  B

(1)

COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2009/10 Prova Intermedia Anno 2009-Compito 

1) Date le funzioni 0 B œ # , 1 B œ B  # e 2 B œ B , determinare l'espressione B  $

B" #

della funzione composta 1 0 2 B e di questa determinare poi le possibili espressioni dell'inversa.

2) Determinare il campo d'esistenza della funzione log , determinando

0 B œ %B  B  $

B  'B  ) È

#

poi se si tratta di un insieme aperto, chiuso o altro.

3) Data una funzione 0 B , sapendo che lim 0 B œ  ∞ e che lim0 B œ  ∞, dopo

BÄ∞ BÄ"

aver enunciato in forma metrica la definizione per questi due limiti si disegni un possibile grafico di funzione che li rispetta entrambi.

4) Determinare i casi di verità e di falsità della proposizione Ê 898 / Í sapendo che la proposizione 898Ê risulta vera.

5) Data la funzione 0 B œ B  B  #B se ne determinino gli eventuali asintoti al grafico B  $B

$ #

#

nonchè la specie dei suoi punti di discontinuità.

6) Determinare il valore del parametro per il quale risulta 5 #  $ œ &. lim B

BÄ!

B 5B

7) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

#

BÄ∞

sen log

cos"  B Œ"  B .

"  B à $  B

B &# B

Prova Intermedia Anno 2009-Compito 

1) Date le funzioni 0 B œ B  ", 1 B œ B e 2 B œ log B, determinare l'espressione B

$

#

della funzione composta 0 1 2 B e di questa determinare poi le possibili espressioni dell'inversa.

2) Determinare il campo d'esistenza della funzione log , determinando 0 B œ 'B  &  B

B  (B  "#

È

#

3) Data una funzione 0 B , sapendo che lim0 B œ  ∞ e che lim 0 B œ #, dopo aver

BÄ! BÄ∞

enunciato in forma metrica la definizione per questi due limiti si disegni un possibile grafico di funzione che li rispetta entrambi.

4) Determinare i casi di verità e di falsità della proposizione 898Ê 9 Í 898 sapendo che la proposizione 898Ê risulta vera.

5) Data la funzione 0 B œ B  B  # se ne determinino gli eventuali asintoti al grafico B  B  #

#

6) Determinare il valore del parametro per il quale risulta 5 $  % œ '. lim B

BÄ!

5B B

lim lim

BÄ! BÄ∞

È"  B  " Œ"  #B

B à "  B

sen

arctg sen .

"B#

B

(2)

Prova Intermedia Anno 2009-Compito ‚

1) Date le funzioni 0 B œ &B  " 1 B œ $, e 2 B œ #  B , determinare l'espressione

"  B

"B

della funzione composta 2 1 0 B e di questa determinare poi le possibili espressioni del- l'inversa.

2) Determinare il campo d'esistenza della funzione log , determinando 0 B œ B  &B  '

B  B È

#

3) Data una funzione 0 B , sapendo che lim 0 B œ  ∞ e che lim 0 B œ !, dopo

BÄ" BÄ∞

4) Determinare i casi di verità e di falsità della proposizione 898Í /  9 sapendo che la proposizione  / risulta falsa.

5) Data la funzione 0 B œ B  #B  B se ne determinino gli eventuali asintoti al grafico B  B  #

$ #

#

6) Determinare il valore del parametro per il quale risulta 5 $  # œ #. lim B

BÄ!

B 5B

lim lim

BÄ!

B

BÄ∞

$  " B  #

B à B  %

# B B#

B"

sen sen Œ .

Prova Intermedia Anno 2009-Compito ƒ

1) Date le funzioni 0 B œ " , 1 B œlogB  " e 2 B œ $B  #, determinare B  "

l'espressione della funzione composta 0 2 1 B e di questa determinare poi le possibili espressioni dell'inversa.

2) Determinare il campo d'esistenza della funzione log , determinando 0 B œ )B  (  B

)B  B  "#

È

#

3) Data una funzione 0 B , sapendo che lim 0 B œ  " e che lim0 B œ  ∞, dopo

BÄ∞ BÄ#

4) Determinare i casi di verità e di falsità della proposizione 9 898 Ê  / sapendo che la proposizione  9 risulta vera.

5) Data la funzione 0 B œ B  B  ' se ne determinino gli eventuali asintoti al grafico B  B  '

#

6) Determinare il valore del parametro per il quale risulta 5 #  $ œ %. lim B

BÄ!

5B B

lim lim

BÄ!

#

B BÄ∞

B B

"  "  B #  B

"  #sen à Œ"  #B

sen

.

(3)

I Appello Sessione Invernale 2010 - Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlog "  B log B  " . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

B B B

# BÄ∞ # #

"  /  " /  /  B

B à B  B

cos

sen ^{k k} ^senlog .

3) Costruire le tavole di verità della proposizione Ê‚ / ‚Ê sapendo che la proposizione Ê è vera.

4) Data la funzione 0 B œ /^#B $/^B, se ne determini campo d'esistenza e codominio, dove risulta invertibile nonchè l'espressione della sua funzione inversa.

5) Determinare il valore di per il quale risulta .

α lim sen

BÄ! %

È^& "  B  " "

B œ &

α

6) Verificare se risulta vero che d .

log log

( log

/

#/

#

" #

B B B œ "  #

7) Studiare la natura dei punti stazionari della funzione 0 Bß C œ B  C /ˆ ^# ‰ ^BC.

8) Data la matrice œ " 5  " ed il vettore —œ , determinare per quali

# " #

5

 "

"

ºº ºº

â â

valori del parametro il vettore 5 ˜œ —† risulta:

a) di modulo pari a ; oppure"

b) parallelo al vettore #ß $ ; oppure c) perpendicolare al vettore $ß  " .

9) Quanto vale l'errore che si commette calcolando, per B œ #, al posto della funzione 0 B œ /^B il polinomio di Taylor di secondo grado nel punto B œ " della stessa funzione ? 10) Determinare i punti di massimo e minimo relativo, nonchè gli eventuali punti di flesso della funzione 0 B œ B /^{# B}^#.

I Appello Sessione Invernale 2010 - Compito  1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlogˆB  "^# ‰. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

B # B

# BÄ∞ B

/  " B  /

B à

B  /  "

sen^# sen

arctg 2 .

log ^{k k}

3) Costruire le tavole di verità della proposizione Í‚ 9 ‚Í sapendo che la proposizione Ê è vera.

4) Data la funzione 0 B œ /  /^B ^#B, se ne determini campo d'esistenza e codominio, dove risulta invertibile nonchè l'espressione della sua funzione inversa.

5) Determinare il valore di per il quale risulta .

α lim tg

BÄ! $

È^$ "  B  " "

B^α œ $

6) Verificare se risulta vero che ( d .

"

# # B (

B / B œ /  ")

$/

$

7) Studiare la natura dei punti stazionari della funzione 0 Bß C œ B  Cˆ ^#‰/^BC.

8) Data la matrice œ 5 "  " ed il vettore —œ , determinare per quali

" # #

 "

5

"

ºº ºº

â â

valori del parametro il vettore 5 ˜œ —† risulta:

a) di modulo pari a ; oppure"

(4)

b) parallelo al vettore $ß  " ; oppure c) perpendicolare al vettore #ß $ .

9) Quanto vale l'errore che si commette calcolando, per B œ #, al posto della funzione 0 B œlog il polinomio di Taylor di secondo grado nel punto B B œ " della stessa funzione

?

10) Determinare i punti di massimo e minimo relativo, nonchè gli eventuali punti di flesso della funzione 0 B œ B /^{$ B}.

II Appello Sessione Invernale 2010 - Compito  1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^{B B#}^# . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! B BÄ∞

B  B #B

sen arctg

log k k .

B /  /  /  B

$  " à B  B  B

3) Determinare se e dove risulta che senB œ 9 #^B .

4) Determinare per la funzione 0 B œ B /^B" i punti di massimo e di minimo, relativi ed assoluti, nell'intervallo c #à #d.

5) Calcolare ( log d .

"

/B B  B$ B

6) Dati i vettori •" œ Bß C e •# œ B  Cß C  Bˆ $ ‰ determinare i valori Bß C che rendono massimo o minimo il prodotto scalare •"†•# œ 0 Bß C .

7) Date le funzioni 0 B œ $B  #, 1 B œlog e B 2 B œ "  /^B, determinare l'espressione delle funzioni composte 0 1 2 B , 1 0 2 B e 2 0 1 B .

8) Calcolare l'errore che si commette approssimando, per B œ #, la funzione 0 B œÈ^$ B con l'equazione della retta tangente nel punto B œ ".

9) Date le matrici œ e œ , determinare se esistono valori del

! "

" #

5 5

# 5 "

5  " !

â â

â â ºº ºº

parametro per i quali un opportuno prodotto delle due matrici dia per risultato la matrice5

‚ œ # &

 " ! ºº º .º

10) Data 0 Bß Cß D œ BsenC  D $^BC, se ne calcoli il gradiente nel punto "ß !ß " . II Appello Sessione Invernale 2010 - Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^{B B#}^# . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! B BÄ∞ $B B

tg arcsen log log#

B B  B  B .

#  " à /  /

3) Determinare se e dove risulta che cosB œ 9 logB .

4) Determinare per la funzione 0 B œ B  " /^B i punti di massimo e di minimo, relativi ed assoluti, nell'intervallo c "à "d.

5) Calcolare ( d .

!

"

B #

B /  B B

6) Dati i vettori •" œ #Cß B e •# œ B  Cß #C  Bˆ $‰ determinare i valori Bß C che rendono massimo o minimo il prodotto scalare •"†•# œ 0 Bß C .

(5)

7) Date le funzioni 0 B œlog , B 1 B œ /  "^B e 2 B œ #B  $, determinare l'espressione delle funzioni composte 0 1 2 B , 1 0 2 B e 2 0 1 B .

8) Calcolare l'errore che si commette approssimando, per B œ &, la funzione 0 B œÈB con l'equazione della retta tangente nel punto B œ %.

9) Date le matrici œ e œ , determinare se esistono valori del

! "

" #

5 5

# 5 "

5  " !

â â

â â ºº ºº

parametro per i quali un opportuno prodotto delle due matrici dia per risultato la matrice5

‚ œ

 "  " !

!  $ "

 " #  "

â â

â â .

10) Data 0 Bß Cß D œ CcosB  C #^DB, se ne calcoli il gradiente nel punto !ß "ß " . Appello Sessione Straordinaria I 2010

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  " /^#B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

B

BÄ∞

$ #B  #  " " B

&B à "  B

sen .

Œ log

log

3) Data 0 Bß C œ " log B  C , si determini il suo campo d'esistenza dandone an-

C  B_# ˆ ^#‰

che una rappresentazione grafica, e si calcoli poi il gradiente della funzione nel punto "ß ! . 4) Determinare l'espressione del polinomio di Mac Laurin di III grado per 0 B œtg#B. 5) Date le funzioni 0 B œ "  B, 1 B œ / e 2 B œ #B  ", determinare l'espressione

"  B

B

della funzione composta 0 1 2 B , determinare opportuni intervalli in cui risulti invertibile, determinando infine l'espressione della funzione inversa.

6) Calcolare ( È d .

!

" "

B  "  B B

7) Determinare per la funzione 0 B œ Blog^#B i punti di massimo e di minimo, relativi ed assoluti, nell'intervallo d d!ß $ .

8) Date le matrici œ " # e œ  " # ed un vettore , determinare la rela-—

# " #  "

ºº ºº ºº ºº

zione geometrica che intercorre tra questo vettore ed il vettore —   —† † .

9) Determinare se le due proposizioni Àc Ê / Ê‚ d e À Ê‚ risultano o no logicamente equivalenti.

10) Determinare i punti di discontinuità della funzione 0 B œ B B  " . B  "^# I Appello Sessione Estiva 2010

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  /^B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! BÄ∞

sen cos B

#B  "  B " .

B à Œ"  B  $

3) Data 0 B œ B  /^B funzione invertibile a B !, della quale non è possibile determinare l'espressione dell'inversa, si calcoli la derivata di tale funzione inversa nel punto B œ "  /.

(6)

4) Determinare gli eventuali punti di massimo e/o minimo, relativi e/o assoluti, per la funzione log0 B œ B^# ^#B.

5) Disegnare un possibile grafico di una funzione sempre continua che soddisfa alle due seguenti definizioni di limite:

a) a  ! b& $ & À B $ & Ê 0 B k k & b) a& b$ & À B $ & Ê 0 B  &.

6) Calcolare ( d .

!

"

#

" "

"  B  "  B B

7) Determinare se la funzione 0 Bß C œlogB  BC  B log ammette punti di massimoC e/o minimo relativo.

8) In quale punto la retta tangente al grafico della funzione 0 B œ /^"$B risulta parallela alla retta C œ $  'B ?

9) Dato il vettore — œ "ß 5ß  " determinare il valore di per il quale tale vettore è per-5 pendicolare al vettore #ß $ß " e determinare poi i valori di per i quali il modulo del vettore5 è pari a È'.

10) Determinare i casi di verità della proposizione Ê ‚ / ‚Ê nell'ipotesi che la proposizione Ê sia vera.

II Appello Sessione Estiva 2010

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  #^# log .B 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

&

BÄ∞

# B

"

"  B  "

B à B  B "  B  /B

sen log sen .

3) Data la funzione 0 B œ B  #^# log , determinare il punto nel quale la retta tangenteB B_! al suo grafico risulta parallela alla bisettrice del I e III quadrante.

4) Determinare i punti di discontinuità della funzione 0 B œ B  " . B  B

#

5) Determinare l'espressione del polinomio di Mac Laurin di II grado per la funzione 0 B œ / ^B tg .B

6) Calcolare ( d .

!

"

#

B  "

B  " B

7) Analizzare la natura dei punti stazionari della funzione 0 Bß C œ B  BC  B  C^# ^#. 8) Dati , e insiemi generici, siano poi   ‚ ’" œÏ ∩‚ e ’# œ ∩ ∪ ∩‚ . Verificare se risulta vero che ’_" §’_# oppure che ’_# §’_".

9) Dati œ " #  " , œ " #  # e —œ , determinare il valore del

# ! $ ! #  "

"

5

"

ºº ºº ºº ºº

â â

â ââ â â ââ â â ââ â

parametro per il quale il vettore 5  †— risulta perpendicolare al vettore "ß  " . 10) Determinare quante volte il grafico della funzione 0 B œ B  $B  "^$ ^# taglia l'asse delle ascisse, mediante lo studio dei massimi e minimi relativi della funzione data.

I Appello Sessione Autunnale 2010

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  B. B  "

#

(7)

lim lim

BÄ! BÄ∞

$B #B

B $B

"  B à /  #/  "

/  /

sen ^"^B .

3) Determinare per quale valore di risulta 5 #  $ œ ". lim B

BÄ!

5B 5B

4) Data la funzione 0 B œ /^{B $B(}^# determinare i suoi punti di massimo e minimo, relativi ed assoluti, nell'intervallo c d"ß #.

5) Calcolare ( d .

!

∞

B #B

/  / B

6) Data 0 B œ /^$B# determinare i punti in cui la retta tangente al grafico della funzione nel punto B œ " taglia l'asse delle ascisse e quello delle ordinate.

7) Data la funzione 0 Bß C œ ÈB C log C  B determinare e rappresentare graficamente il suo Campo d'esistenza e calcolare f0 "ß $ .

8) Data la matrice œ ed il vettore —œ , determinare il v

" # "

5 " #

! 5  "

" " 5

"

â â

â â â â

â â

â â â â

â â

alore del

parametro per il quale il vettore 5  —† risulta perpendicolare al vettore "ß  "ß #ß  # . Determinare poi il valore del parametro per il quale il vettore 5  —† ha modulo pari a È$$. 9) Date le tre proposizioni:

 ÀOgni funzione continua in è anche derivabile in ;B_! B_!

 ÀLa lunghezza di una circonferenza di raggio è inferiore alla lunghezza del perimetro di"

un quadrato di lato pari ad ;"

‚ À Ogni punto interno ad un insieme A è anche di accumulazione per A;

dopo aver stabilito verità o falsità di queste proposizioni, si determini se risulta vera o falsa la proposizione: .Í Ê ‚Ê 898

10) Data 0 B œlogˆB  " ^# ‰ logˆ ‰B^# , determinare opportuni intervalli nei quali la funzione risulta invertibile, nonchè l'opportuna espressione dell'inversa.

II Appello Sessione Autunnale 2010

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  " , senza studiare la con- B  B^#

vessità della funzione.

lim lim

BÄ!

B B #

BÄ∞

$  # "  B  B

B à #B

sen tg

log log .

log

3) Data 0 B œlog "  B log B  " , verificare che la funzione risulta invertibile in tut- to il suo Campo d'esistenza e determinare poi l'espressione dell'inversa.

4) Data la funzione 0 B œ /^{$BB (}^# , verificare per essa l'applicabilità del Teorema di Rolle nell'intervallo c d"ß #, traendo poi le opportune conseguenze.

5) Date le funzioni 0 B œ /^B", 1 B œ B  " e 2 B œ log B  " , determinare, per B Ä  ∞ , se vi sono funzioni asintoticamente equivalenti e quali sono invece trascurabili (" piccolo") rispetto ad un'altra. Risolvere poi analogo problema per 9 B Ä !.

6) Calcolare ( d .

!

"

B /  B BB

7) Dato il vettore — œ "ß #ß  " si determini:

a) un vettore perpendicolare a e di modulo pari a ;— &

b) un vettore parallelo a e di modulo pari a .— $

(8)

8) Date le funzioni 0 B œ "  $B 1 B œ, " e 2 B œ B  #, si determini l'espressio- B  "

ne delle funzioni composte 0 1 2 B , 2 1 0 B e 0 0 2 2 B .

9) Data la funzione 0 Bß C œ B  "ˆ ^# ‰^#  C  $C^$ determinare i suoi eventuali punti di massimo e di minimo relativo.

10) Determinare dove risulta convessa la funzione 0 B œ /^$B /^#B ed i suoi eventuali punti di flesso.

Appello Sessione Straordinaria II 2010

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ / , sapendo che essa è /  "

#B B

convessa per B  !.

lim lim

BÄ! # BÄ∞ B

"  B "  B  B

"  Bcos à log B  /

log .

3) Date le funzioni 1 B œ B^# e 2 B œ B  "^$ , determinare almeno una funzione 0 B per la quale risulti: 0 B œ 9 1 B per B Ä ! e 0 B µ 2 B per B Ä  ∞.

4) Data la funzione 0 B œ /^B, determinare il punto nel quale la retta tangente al graficoB_! della funzione risulta parallela alla retta passante per i punti "ß # e #ß & .

5) Data 0 B œlogB log#B log$B, determinare dove la funzione risulta invertibile e l'espressione della sua inversa.

6) Calcolare log d .

("

#B  B # B B B

7) Data la funzione 0 B œ B  ", verificare per essa l'applicabilità del Teorema di Lagrange nell'intervallo c d"ß #, e determinare il punto nel quale il Teorema è soddisfatto.B B_! 8) Dati , e insiemi generici, siano   ‚ ’_" œV ∪ ∩‚ e ’_# œV ∩‚ . Determina- re quale relazione intercorre tra i due insiemi e se, sotto opportune ulteriori ipotesi, possa ri- sultare ’_" œ’_# ( indica il complementare).V

9) Data la matrice œ ed il vettore —œ determinare se esistono

# ! ! 7

" " # 5

!  " % 5

â â â â

valori dei parametri e per i quali risulti 7 5  —† œ $—.

10) Data la funzione 0 Bß C œ B  B C  C^# ^#, si analizzi la natura dei suoi punti stazionari.