3. TEORIA DI BASE DELLA DISPERSIONE DEGLI INQUINANTI IN ATMOSFERA
Fin qui si è concentrata tutta l’attenzione nello studio qualitativo e quantitativo del PBL, individuando un modello matematico capace di descriverne realisticamente le caratteristiche principali, in particolare la turbolenza. A questo punto diviene possibile cominciare lo studio della dispersione di sostanze (solide, aerosol e gassose) emesse entro il PBL, in modo da poterne stimare la concentrazione nello spazio e nel tempo. Nel seguito, per semplicità, tali sostanze emesse verranno indicate genericamente con il termine inquinanti, anche se spesso esse sono di origine totalmente naturale, come accade, per esempio, per le emissioni gassose e solide provenienti dai vulcani e per le spore ed i virus. Ci sono due approcci metodologici profondamente differenti per descrivere la dispersione degli inquinanti nel PBL.
Il primo metodo prende il nome di approccio Euleriano. Secondo tale approccio, la dinamica della dispersione delle sostanze chimiche inquinanti è descritta avendo come riferimento spaziale un sistema fisso di coordinate cartesiane ortogonali solidale con la superficie terrestre.
Questo è il modo consueto con cui vengono trattati in Fisica i fenomeni di trasferimento di calore e di massa e, nel caso della Micrometeorologia, anche il modo consueto usato per descrivere matematicamente i campi meteorologici. Come sarà chiaro nel seguito, il metodo euleriano cerca di formulare le principali variabili statistiche legate alla concentrazione dei diversi inquinanti sulla base delle proprietà statistiche delle velocità euleriane del fluido, cioè delle velocità misurate in un punto fisso del PBL. Una formulazione di questo tipo è molto utile non solo perché la statistica euleriana è facilmente misurabile con i normali strumenti usati in meteorologia, ma anche perché le espressioni matematiche che ne derivano sono immediatamente applicabili in situazioni in cui si ha la presenza di reazioni chimiche.
Sfortunatamente, l’approccio euleriano comporta seri ostacoli. Il primo ostacolo risiede nel fatto che il modello matematico cui tale approccio dà origine non consente soluzioni analitiche sufficientemente generali ed immediatamente utilizzabili. Il secondo ostacolo, invece, è connesso con il problema della chiusura che può rendere difficile la rappresentazione realistica della dispersione degli inquinanti in un PBL fortemente convettivo. Oltre a ciò va rilevato che un modello di tipo euleriano normalmente si presenta come un’equazione differenziale alle derivate parziali che richiede quindi una soluzione numerica e, come noto, gli algoritmi numerici impiegati possono condizionare pesantemente i risultati finali.
Il secondo approccio è l’approccio Lagrangiano in cui i cambiamenti di concentrazione sono
descritti relativamente al moto del fluido. Ma come sarà più chiaro nel seguito, la peculiarità
principale di tale approccio non è tanto il differente sistema di riferimento, quanto piuttosto
l’atteggiamento che sta alla base di tale descrizione. Mentre nell’approccio euleriano si ipotizza
di essere effettivamente in grado di descrivere con esattezza la fisica che sta alla base del
trasporto e della dispersione degli inquinanti in aria, nell’approccio Lagrangiano si parte dal
presupposto che la nostra ignoranza sulla fisica del fenomeno sia talmente grande da essere
costretti ad usare la statistica come mezzo descrittivo. In pratica, le tecniche lagrangiane cercano
di descrivere la statistica delle concentrazioni in termini di proprietà statistiche degli
spostamenti di gruppo di particelle rilasciate nel fluido. La matematica di tale approccio, anche
se non sembra a prima vista, è più trattabile di quella dei metodi Euleriani, non essendoci
espliciti problemi di chiusura, ma l’applicabilità pratica diretta delle equazioni che ne derivano è
limitata dal fatto che queste equazioni non sono consentono una descrizione diretta delle
reazioni chimiche non lineari spesso molto importanti nella normale dinamica del PBL.
Come si vedrà nel seguito, i due approcci comportano differenti tipi di relazioni matematiche per descrivere la concentrazione degli inquinanti, espressioni matematiche differenti che però, in ultima analisi, possono essere messe in relazione le une con le altre. Ciascun approccio è una valida descrizione della dispersione turbolenta: la scelta di quale approccio adottare in una data situazione dovrà essere deciso caso per caso, nelle situazioni reali. Il questo capitolo vengono presentati, in termini abbastanza generali, i due differenti approcci, riferendoci alla celebre lezione di Lamb (1980) e a quanto presentato in Seinfeld e pandis(1998). Nei capitoli successivi introdurremo poi differenti famiglie di modelli che possono essere applicati sulla pratica e che comunque derivano da uno dei due approcci.
3.1 I FONDAMENTI DELLA TEORIA EULERIANA.
3.1.1 La formulazione istantanea di base.
L’ipotesi alla base dell’approccio euleriano è la sicurezza che le leggi della fluidodinamica siano in grado di descrivere in modo completo e perfetto (e quindi deterministico) il fenomeno della dispersione degli inquinanti nel PBL. E’ questo, quindi, un approccio completamente deterministico ed in ultima analisi, si basa sulla scrittura dell’equazione di conservazione delle sostanze inquinanti presenti nel PBL. A differenza di quanto abbiamo fatto nel Cap.2, in questo caso non è più possibile considerare la miscela gassosa che costituisce il PBL come un’entità unica (che abbiamo chiamato genericamente aria) , ma al contrario siamo costretti:
• a descrivere individualmente le diverse sostanze inquinanti a cui siamo interessati;
• a tener conto del fatto che alcune di esse non sono gas inerti, ma sostanze più o meno reattive chimicamente;
• a tener conto che alcune possono presentare un decadimento radioattivo;
• a tener conto che alcune sono particelle solide o aerosol.
Si consideri inizialmente un solo inquinante di tipo gassoso. Se si concentra l’attenzione su un piccolo volume d’aria (una particella, dunque) come mostrato in Fig.3.1 e si trascura la diffusività molecolare, è possibile cercare di applicare ad esso la conservazione della massa dell’inquinante considerato. In particolare, si consideri il flusso di inquinante che transita nel volume lungo la direzione x in un intervallo di tempo δ t. Tale flusso è pari a:
( c u c u ) y z
F x = ⋅ 1 − ⋅ 2 ⋅ δ ⋅ δ [3.1a]
dove u 1 è la componente u della velocità dell’aria entrante nel volume attraverso la faccia di sinistra e u 2 è la velocità uscente dalla faccia di destra. Dato che δ x è piccolo, è possibile realizzare la seguente espansione in serie di Taylor:
( ) ( ) ...
2
1 2
1 2 2
1 1
2 +
∂
⋅
⋅ ∂
∂ +
⋅ + ∂
⋅
=
⋅ x
x u x c
x u u c
c u
c δ δ [3.1b]
Da queste considerazioni risulta che il flusso in transito è pari a:
( ) ( )
( ) x y z
x u c
z y x x
u x c
x u u c
c u c F x
δ δ δ
δ δ δ
δ
⋅
∂ ⋅
⋅
− ∂
≈
⋅
+
∂
⋅
⋅ ∂
∂ +
⋅ + ∂
⋅
−
⋅
=
...
2
1 2
1 2 2
1 1
1
[3.1c]
Analogamente si può ragionare per la massa in transito nelle direzioni y e z.
Fig. 3.1: volume elementare per il calcolo della conservazione della massa.
Il bilancio di massa istantaneo richiede che la variazione di concentrazione entro il volume di controllo sia pari alla somma algebrica dei flussi, delle sorgenti presenti nel volume e dei processi di trasformazione e rimozione che hanno luogo nel volume stesso. In pratica si ha che:
( ) ( ) ( )
( S R T )
z y x
z w c y
v c x
u z c
y t x
z c y x
+ +
⋅
⋅
⋅ +
∂
⋅ + ∂
∂
⋅ + ∂
∂
⋅
⋅ ∂
⋅
⋅
−
=
∂
⋅ ∂
⋅
⋅
δ δ δ δ δ δ δ
δ δ
[3.1d]
dove S è il termine di sorgente, R è il termine di rimozione e T è il termine che tiene conto delle trasformazioni chimiche e non solo. Questa relazione deve valere qualunque sia il volume di controllo considerato, pertanto si ha che:
( ) ( ) ( ) S R T
z w c y
v c x
u c t
c = + +
∂
⋅ + ∂
∂
⋅ + ∂
∂
⋅ + ∂
∂
∂ [3.1e]
che è l’equazione istantanea di bilancio di massa per un generico inquinante. In questa equazione tutte le variabili presenti sono variabili istantanee.
Prima di procedere è opportuno introdurre il concetto di derivata sostanziale definita come:
( ) ( ) ( )
∂
⋅ + ∂
∂
⋅ + ∂
∂
⋅ + ∂
∂
= ∂
z w c y
v c x
u c t c dt
dc [3.1f]
che rappresenta la variazione di concentrazione in un volume di controllo che si muove nello spazio con la velocità del fluido in cui il volume è immerso. E’ quindi una variabile di tipo lagrangiano e la (3.1f) mette in relazione le variazioni di tipo lagrangiano (di un volume in movimento con le masse d’aria) con la variazione euleriana (vista da un osservatore per un volume di controllo fisso) ed i flussi avvettivi (anch’essi variabili di tipo euleriano).
Se siamo interessati a N sostanze inquinanti differenti, per il generico inquinante i-esimo è possibile scrivere la relativa equazione di conservazione istantanea, che si riduce nella seguente equazione differenziale alle derivate parziali:
δz
δx
δy
F 1 =c⋅u| 1 ⋅δy⋅δz F 2 =c⋅u| 2 δy⋅δz
x
y
z
( ) ( ) ( )
( c c c T ) S ( x y z t )
R
z c y
c x
D c z wc y
vc x
uc t
c
i N
i
i i i i i i
i i
, , , ,
,..., ,
1 2
2 2
2 2
2 2
+ +
+
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
[3.2]
in cui c i è la concentrazione istantanea dell’inquinante i-esimo nel punto P(x,y,z) al tempo t. Le coordinate spaziali cui si riferisce tale equazione sono quelle di un normale sistema di cartesiano ortogonale fisso rispetto al suolo ed il tempo è relativo ad un generico istante iniziale t 0 , definito arbitrariamente. Nella (3.2) D i è la diffusività molecolare della specie i-esima, mentre con R i ed S i sono state simbolicamente indicate rispettivamente la cinetica chimica che coinvolge la specie i e tutti i termini di sorgente (produzione o distruzione). In sostanza, (3.2) afferma che la variazione euleriana nel tempo della concentrazione istantanea dell’inquinante i dipende:
• dal trasporto istantaneo operato dal campo di vento istantaneo, di cui u, v e w sono le componenti cartesiane relative;
• dalla diffusione molecolare, rappresentata dal primo addendo della parte destra della (3.2);
• dalla reattività chimica della specie i-esima rispetto alle altre sostanze presenti in aria;
• dal termine di sorgente S i , che rappresenta il tasso di produzione o di distruzione (per esempio il decadimento radioattivo) nel punto P al tempo t della specie i.
Se si considera con attenzione la (3.2), risulta immediato fare le considerazioni seguenti:
• dato che si è interessati non solo all’inquinante i-esimo, ma a tutti gli N inquinanti, in realtà la (3.2) rappresenta sinteticamente tutte le N equazioni di conservazione, una per ciascun inquinante;
• la presenza del termine R i , che tiene conto sinteticamente di tutte le equazioni chimiche in cui è coinvolto il generico inquinante i, implica che tale termine legherà funzionalmente tutte le equazioni di conservazione delle sostanze considerate. Se tutte compaiono nelle equazioni di cinetica chimica, allora la (3.2) rappresenta sinteticamente un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali;
• nella (3.2) sono presenti i valori istantanei delle tre componenti del vento e ciò comporta, quindi, che perché sia possibile (almeno teoricamente) che tale sistema costituisca un modello matematico della dispersione degli inquinanti nel PBL, è necessario completarlo con le equazioni di conservazione della quantità di moto (equazioni di Navier- Stokes), con l’equazione di conservazione dell’entalpia, dell’umidità e della massa complessiva. Inoltre la dipendenza del termine R i dalla temperatura T richiederà di completare il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali fin qui indicato con l’equazione di stato dei gas.
Da queste osservazioni emerge un quadro sconfortante: il modello matematico euleriano che
descrive l’evoluzione spazio-temporale della concentrazione istantanea di un insieme di
inquinanti nel PBL è ancora più complesso del modello istantaneo di PBL. Tale modello, però, è
un sistema chiuso di equazioni differenziali alle derivate parziali e quindi, almeno in teoria,
autoconsistente. Come però già si è avuto modo di sottolineare, l’alto numero di Reynolds che
caratterizza il PBL indica chiaramente come la turbolenza sia la caratteristica principale di
questa parte di troposfera e ciò determina il fatto che il modello istantaneo del PBL non sia
usabile in pratica e a maggior ragione non lo sia neppure il modello istantaneo della dispersione
delle sostanze inquinanti.
3.1.2 Gli effetti della turbolenza
Si consideri un rilascio istantaneo e localizzato di una generica sostanza emessa nel PBL, che chiameremo da qui in poi puff. Tale puff si troverà ad interagire con l’aria circostante caratterizzata da uno stato di turbolenza più o meno elevato a seconda del livello di convettività presente nel punto considerato. Se il PBL si trova in situazioni stabili la turbolenza risulta completamente costituita da vortici di piccole dimensioni di origine meccanica e dovuti allo shear del vento. Tanto più elevata è la stabilità tanto più piccole sono le dimensioni di tali vortici. Con l’aumentare della convettività, accanto hai vortici generati per lo shear del vento, vengono a crearsi anche vortici di dimensioni sempre maggiori, molto meno isotropi, che frequentemente occupano l’intero ML.
Fig.3.2: interazione di un puff di inquinante con i vortici del PBL.
Se un puff si trova ad interagire con vortici di dimensione caratteristica inferiore alla propria, il puff ingloba (entrainment) i vortici di piccola dimensione, ingrossandosi e diminuendo la propria concentrazione media proporzionalmente al proprio aumento di volume (Fig.3.2a). In questo caso, osservando il puff potremmo concludere che su di esso abbia agito una sorta di fenomeno di tipo diffusivo, che però nulla ha che vedere con la diffusione molecolare. E’
consuetudine dire che il puff ha subito un diffusione turbolenta, anche se a rigore questa affermazione non è corretta. Se, invece, il puff si trova a dover interagire con vortici di dimensione molto superiore alla propria, il puff viene praticamente spostato nella sua interezza, seguendo il moto della struttura coerente finché quest’ultima non si dissolve (Fig.3.2b).
Quando, infine, incontra vortici di dimensione paragonabile alla propria, il puff viene disperso (cioè aumenta il proprio volume inglobando aria) e distorto a causa dei vortici turbolenti (Fig.3.2c). Nella realtà il puff si troverà ad incontrare vortici di diversa dimensione e quindi presenterà un comportamento pari alle combinazioni dei tre comportamenti elementari indicati.
Naturalmente,a tutto ciò si somma un trasporto orizzontale medio causato dal movimento medio delle masse d’aria.
Se invece di un’emissione istantanea, si considerasse un’emissione continua da un punto, ciò
che risulterà visibile sarà un pennacchio di inquinante (che nel seguito indicato col termine plume) sottovento al punto di emissione. Sperimentalmente è possibile individuare alcune situazioni tipiche. Se la situazione è convettiva (vento debole e forte soleggiamento), l’interazione tra il plume ed i vortici presenti, in parte di piccola dimensione e di origine meccanica ed in parte di grande dimensione e di origine convettiva, comporterà come risultato finale un plume, ondeggiante sia sull’orizzontale che in verticale e che gradualmente aumenterà la propria dimensione trasversale. Tale comportamento prende il nome di looping (si veda per esempio la Fig.2.10). Se la situazione è quasi adiabatica (cioè caratterizzata da venti di forte intensità e scarso soleggiamento), la turbolenza presente sarà prevalentemente di tipo meccanico con vortici di piccole dimensioni e sostanzialmente isotropi. Tali vortici verranno quindi inglobati entro il plume che si espanderà a forma di cono sottovento al punto di emissione. Tale fenomeno prende il nome di coning. Nelle situazioni notturne ad elevata stabilità (cielo sereno e vento di debole intensità) i vortici turbolenti presenti saranno di origine meccanica e prevalentemente orizzontali. La loro interazione col plume farà sì che quest’ultimo presenti una dispersione maggiore in senso orizzontale, mentre la dimensione verticale crescerà molto più lentamente. Questo comportamento è del tutto congruente col fatto che in un PBL stabile i moti verticali vengono sostanzialmente inibiti. Questo fenomeno prende il nome di fanning.
3.1.3 L’equazione euleriana per la concentrazione media.
Il modello euleriano, rappresentato dalla (3.2), è stato ottenuto dalla legge di conservazione istantanea della specie i-esima. In un fluido turbolento, tutte le variabili fisiche, sia meteorologiche che chimiche variano nello spazio e nel tempo in maniera apparentemente casuale, rendendo di fatto inapplicabile l’equazione di bilancio (3.2). Per ottenere qualche risultato di utilità pratica è opportuno ripercorrere la strada utilizzata nel Cap.2 per giungere al modello matematico del PBL. Prima di iniziare questa discussione è opportuno fare alcune osservazioni. Se nel modello istantaneo si trascura la diffusione molecolare, le reazioni chimiche ed il termine di sorgente, la (3.2) si trasforma nella forma seguente:
( ) ( ) ( )
= 0
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
z w wc y vc x
uc t
c i i i i
[3.3]
cioè la variazione istantanea della concentrazione c i di un generico inquinante in un dato punto dello spazio varia nel tempo solo a causa del trasporto istantaneo operato dall’aria del PBL.
Tuttavia, se si adotta l’ipotesi di Reynolds, ogni singola componente istantanea del vento può essere considerata la sovrapposizione di una componente media (variabile con regolarità e lentamente nel tempo) e di una fluttuazione all’apparenza casuale e dovuta a vortici di varie dimensioni. Pertanto, alla luce di queste considerazioni, la (3.3) afferma che un puff rilasciato in un punto subisce due tipi diversi di trasporto:
• un trasporto regolare dovuto alla velocità media del vento: l’aspetto di un pennacchio di fumo visto da lontano è sostanzialmente dovuto a questo processo;
• un trasporto irregolare dovuto alle strutture turbolente: nel caso di un pennacchio di fumo, questo è il processo responsabile dell’irregolarità della sua forma quando venga osservato da vicino e dello sparpagliamento del fumo attorno al baricentro del pennacchio stesso.
Si è quindi di fronte ad un trasporto convettivo che, però, presentando molte affinità col moto
disordinato caratteristico della diffusione irregolare, viene detto diffusione turbolenta. Se si
adotta l’ipotesi di Reynolds per le componenti del vento u j = (u,v,w) e per la concentrazione dei
vari inquinanti presenti, la (3.2) diviene:
( ) [ ( )( ) ] ( )
[ 2 2 ' ' ]
' 1 1
2 3 2
1
'
;....;
;
' ' '
N N i
j i c j
j j j
c c c c c c R
x c D c
S u u c x c t
c c
+ +
+ +
∂ + + ∂
=
+ +
∂ + ∂
∂ +
∂ ∑
= [3.4]
Va ancora una volta ricordato che quando si parla di media, a rigore ci si riferisce ad un operatore media che rispetti le condizioni illustrate al Cap.2. La media di insieme sarebbe una scelta teoricamente corretta, anche se dal punto di vista pratico si deve ripiegare sulla media temporale o sulla media spaziale che però non rispettano tutte le condizioni richieste. Se si media la (3.4), si ottiene l’equazione seguente:
∑ ( )
∑ = =
∂ + + ∂
∂
− ∂
=
∂ + ∂
∂
∂ 3
1 2
2 '
3 '
1 j i
j i i j i j c
j j
i j
i R
x D c u x c x S
u c t
c [3.5]
Il secondo termine di sinistra rappresenta il trasporto regolare di un inquinante dovuto al moto medio dell’atmosfera e normalmente viene denominato termine avvettivo, mentre nel secondo termine del membro di destra dell’equazione riconosciamo il trasporto irregolare dovuto alle strutture turbolente presenti nel PBL. E’ quindi un termine di flusso e viene normalmente denominato termine diffusivo. Il terzo termine di destra è di diffusione molecolare; il suo peso, anche in questo caso, è decisamente trascurabile e nel seguito verrà completamente ignorato. Se si considera attentamente la (3.5), trascurando per il momento il termine R i che rappresenta, tra l’altro, le varie reazioni chimiche che hanno luogo tra il generico inquinante considerato e gli altri presenti in aria, si notano alcune circostanze interessanti:
• l’equazione prognostica per la concentrazione media c i richiede la conoscenza dei campi medi delle tre componenti del vento. Questo è il primo legame evidente tra la (3.5) ed il modello matematico del PBL. Questo legame non è destinato a creare particolari problemi dal punto di vista pratico, perché, di fatto, crea un legame di subordinazione della (3.5) rispetto al modello di PBL deputato a fornire il solo campo di vento medio.
• il termine diffusivo, invece, crea un legame decisamente più forte e complicato con le variabili meteorologiche che, in qualche modo, deve essere realizzato al fine di rendere effettivamente utilizzabile la (3.5).
Un modo per poter trattare in modo corretto il problema indotto della presenza del termine
diffusivo sta nel considerare nel loro complesso tutte le equazioni prognostiche del PBL, cioè le
equazioni per le componenti medie del vento, l’equazione della temperatura potenziale media e
dell’umidità e le equazioni di conservazione di tutte le specie chimiche presenti ed adottare per
tutti i termini diffusivi presenti nelle varie equazioni (soprattutto quelli relativi ai gradienti
verticali di flusso) un’opportuna ipotesi di chiusura, scelta in modo da poter descrivere in modo
realistico anche le situazioni convettive. Lo schema di chiusura non potrà che essere o uno degli
schemi locali della famiglia Mellor-Yamada o uno schema non locale. Questa metodologia
garantisce ottimi risultati a costi computazionali notevolmente elevati e non si presta ad operare
in molte situazioni di interesse pratico, in cui sarebbero richiesti modelli di complessità
decisamente minore e con minori esigenze di calcolo. Per raggiungere un tale obbiettivo è
necessario chiudere la (3.5) in modo tale che l’unico legame tra l’equazione prognostica per
c e la meteorologia sia costituito dal legame di subordinazione con i campi medi delle i
componenti del vento. E’ immediato constatare che perché si possa giungere a ciò è necessario parametrizzare i termini diffusivi della (3.5) con una chiusura del primo ordine (chiusura K).
Seguendo la strada tracciata in precedenza, una tale chiusura richiede che:
∑ = ∂
− ∂
= 3
1 ' '
k k
i jk j
j x
K c c
u [3.6a]
dove [K jk ] è il tensore di diffusività turbolenta. Le componenti K jk del tensore sono, in generale, funzioni dello spazio e del tempo che però si assumono note e dipendenti dalla turbolenza presente nel PBL. In pratica, per semplicità, si ipotizza che la matrice che definisce il tensore K sia diagonale e quindi che gli unici elementi diversi da zero siano K 11 =K xx , K 22 =K yy e K 33 =K zz . Con questa semplificazione, la (3.6a) si riduce alla forma seguente:
j i jj j
j x
K c c
u ∂
− ∂
=
'
' [3.6b]
Un problema a parte è dato da R i che rappresenta, tra l’altro, le reazioni chimiche tra la specie i e tutte le altre presenti. Seinfeld e Pandis (1998) hanno provato che l’approssimazione:
( N ) i ( N )
i c c c R c c c
R 1 , 2 ,...., = 1 , 2 ,...., [3.7]
è una semplificazione decisamente drastica, anche se comoda, della realtà. Infatti la sua validità risulta buona solo se:
• le reazioni chimiche coinvolte risultano lente se paragonate con il tempo di scala caratteristico della turbolenza caratteristica del PBL,
• la scala di variazione dei campi medi di concentrazione risulta ben superiore alla corrispondente scala caratteristica dei fenomeni turbolenti.
Queste condizioni sono spesso violate in presenza di sorgenti intense ed isolate. Se si riassume quanto fin qui presentato, si giunge alla relazione euleriana seguente per la concentrazione media di un generico inquinante i:
( )
∑
∑ = =
+
+
∂
⋅ ∂
∂
= ∂
∂
⋅ ∂
∂ +
∂ 3
1
1 3
1
,....,
j
N i
c j i JJ
j j j
i j
i S R c c
x K c x x
u c t
c [3.8]
chiamata equazione semiempirica della dispersione in atmosfera. Tale equazione è stata scritta
in modo sintetico; in essa x j = (x,y,z) se j è pari rispettivamente a 1,2,3 e analogamente vale per
u j = (u,v,w). Se gli inquinati di interesse sono N, si avranno N equazioni del tipo (3.8) tra loro
legate attraverso i termini R i e direttamente dipendenti dal campo medio del vento. Questa
equazione costituisce il punto di riferimento della teoria euleriana della dispersione degli
inquinanti in aria. Tale equazione differenziale alle derivate parziali, tanto simile ad alcune
celebri equazioni differenziali studiate dalla Fisica Matematica, ha inevitabilmente stuzzicato la
fantasia dei fisici che si sono cimentati a cercarne una soluzione analitica. Molto è stato scritto e
probabilmente si scriverà ancora sull’argomento. Va comunque precisato che non ci sono
speranze concrete di risolvere in questo modo il problema della dispersione degli inquinanti in
atmosfera e che gran parte di queste soluzioni analitiche di fatto costituiscono solo un bizzarro
esercizio accademico. Qui di seguito ne vengono presentate alcune perché da esse sono stati poi
derivati dei modelli semiempirici di dispersione molto utilizzati nella pratica.
3.1.4 La relazione analitica gaussiana.
La (3.8), pur essendo una relazione approssimata del trasporto e della dispersione degli inquinanti in atmosfera, non si presta comunque ad un uso pratico immediato a causa della sua natura differenziale. E’ quindi necessario tentare ulteriori approssimazioni che consentano di ottenere espressioni analitiche di uso più immediato. Da queste considerazioni sono nati celebri modelli entrati ormai in uso nella pratica e di cui si conoscono i limiti applicativi e le caratteristiche funzionali. Il punto di partenza comune a tutti questi modelli è il comportamento di un tipo particolare di sorgente, idealizzata come un punto geometrico (sorgente puntuale). Ci si può riferire ad una ciminiera come esempio concreto di tale entità, purché naturalmente il suo effetto venga considerato a distanze grandi rispetto al diametro. L’inquinamento prodotto da un insieme di ciminiere potrà allora essere descritto per sovrapposizione degli effetti delle singole ciminiere. Inoltre, anche distribuzioni continue di sorgenti (aree urbane, autostrade, aeroporti, ecc.) potranno essere descritte sovrapponendo un numero adeguato di sorgenti puntiformi. Per illustrare la base teorica di questi modelli approssimati è conveniente riscrivere la (3.8) con una simbologia più semplice, ricordando che in questa equazione e nelle successive verranno considerate solo grandezze medie e mai istantanee. Si ha quindi:
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂ + ∂
∂
∂
z K c z y K c y x K c x x u c t c
zz yy
xx [3.9]
In essa sono state fatte varie ipotesi ed approssimazioni . In primo luogo si è supposto che il vento abbia una direzione (media) costante, che si è assunta concorde con lasse x. In secondo luogo sono stati eliminati i termini di sorgente e di reattività chimica, supponendo così implicitamente che l’inquinante trattato sia chimicamente inerte e, una volta immesso in atmosfera, la sua quantità non vari. Si è inoltre ipotizzato che i coefficienti di diffusività K xx , K yy
e K zz fossero costanti nello spazio e nel tempo. Con queste ipotesi semplificative la (3.9) risulta esattamente risolubile analiticamente in alcuni semplici casi, molto idealizzati.
3.1.4.1 La formulazione gaussiana puff
Si consideri una sorgente punto, posta all’origine del sistema di riferimento, che emette un puff contenente una quantità Q di inquinante a t = 0. Si ipotizzi, inoltre un campo di vento omogeneo e stazionario con velocità u diretta con l’asse x. Se si assumono le seguenti condizioni:
• c(x,y,z) è ovunque nulla al tempo di t = 0, ad eccezione del punto (0,0,0),
• c(x,y,z) tende a 0 ovunque quando t →∞, la (3.9) ammette la seguente soluzione analitica:
( )
( ) ( )
( )
− + +
−
⋅
=
zz yy xx
zz yy xx
K z K
y K
ut x t K K K t t Q z y x c
2 2 2 1 2 3 2
4 exp 1
, 4 ,
, π
[3.10]
nota come formulazione gaussiana puff di base. Utilizzando le proprietà della funzione
esponenziale, si vede che il risultato trovato consta del prodotto di tre distribuzioni gaussiane
relativamente alle tre direzioni spaziali. Si vede inoltre che, all’istante t, la distribuzione di
inquinante entro il puff risulta avere un massimo nel punto di coordinate (ut,0,0), situato alla
stessa quota della sorgente (z = 0), in linea con essa (y = 0) ma traslato con la velocità del vento in x = ut. La deviazione standard delle distribuzioni nelle tre direzioni cresce proporzionalmente a t 1/2 , in accordo col progredire del processo diffusivo che trasporta l’inquinante sempre più lontano dal punto di massimo. Parallelamente, la concentrazione massima, data da:
( ) 3 2 ( ) 1 2
max 4 t K xx K yy K zz
c q
= π [3.11a]
decresce inversamente a t 3/2 . Questa è una conseguenza diretta della conservazione della massa totale di inquinante emesso dato che, come è immediato verificare, si ha che ad ogni istante
( x y z ) dx Q
c dy
dx ∫ ∫ =
∫ +∞
∞
− +∞
∞
− +∞
∞
−
,
, [3.11b]
La singolarità per t = 0 della relazione deriva dalle approssimazioni fatte. Dato che a t = 0 viene emessa una quantità finita di inquinante in un punto, la concentrazione di tale inquinante in tale punto non può che essere infinita. Questa singolarità comunque scompare rapidamente col passare del tempo.
3.1.4.2 La formulazione gaussiana plume
Un altro semplice caso trattabile analiticamente (e probabilmente il più celebre e quello da cui sono nati la maggior parte dei modelli semiempirici di utilizzo ingegneristico) è costituito da una sorgente puntuale posta nell’origine del sistema di riferimento che emette inquinante con un tasso costante q (g⋅s -1 ). Se il vento è omogeneo (non varia nello spazio) e stazionario (non varia nel tempo), con velocità u e direzione secondo l’asse x, questo caso può essere visto come la sovrapposizione dei puff emessi in ogni intervallo di tempo dt e contenenti una quantità di inquinante pari a dQ = qdt. La trattazione analitica di questo caso ha come punto di partenza la soluzione gaussiana base puff che dovrà essere integrata nel tempo. La deduzione analitica della soluzione non è semplice ed in Seinfeld e Pandis (1998) sono riportati i dettagli e le molte semplificazioni adottate per giungere ad una soluzione relativamente semplice. In definitiva, se l’emissione ha luogo dal tempo t = 0, il campo di concentrazione media sarà pari a:
( )
( )
[ ] ( )
( ) ( ( τ ) ) τ
τ τ π
K d z K
y K
t u x t
K K K t
t qdt z y x c
zz yy xx
t
ZZ YY XX
− − + +
− −
⋅
⋅
= ∫ −
2 2 2
0 1 2
3 2
4 exp 1
, 4 , ,
[3.12a]
A regime (t >>0), tale relazione si semplifica notevolmente assumendo la forma seguente:
( )
( )
+ +
⋅
−
⋅
⋅
+ +
=
1 2 2 2 2
1 2 2 2 2 1 2
2 2 exp
4 , ,
zz yy xx xx
xx
zz yy xx zz
yy xx
K z K
y K
x K u K
ux
K z K
y K K x
K K z q
y x c
π
[3.12b]
In realtà il grado di dettaglio contenuto in questa relazione è eccessivo ai fini pratici in quanto nella maggior parte dei casi si ha che x 2 /K xx >> y 2 /K yy + z 2 /K zz come è evidente non appena ci si sia allontanati un poco dall’ubicazione della sorgente,. Questa osservazione consente ulteriori semplificazioni che, una volta definite:
1 2
2
= yy
y K
u
σ x 2
2 1
= zz
z K
u
σ x [3.12c]
portano all’equazione seguente, che esprime l’effetto stazionario di una sorgente che emette con continuità inquinante ad un tasso costante q:
( )
− −
⋅
= 2 2 2 2
2 exp 2
, 2 ,
z y z
y
z y u
z Q y x
c πσ σ σ σ [3.12d]
nota come formulazione base gaussiana plume. L’importanza pratica di questo caso limite si deve al fatto che, se si è interessati all’inquinamento prodotto a una distanza x sottovento alla sorgente, questa può ritenersi apprezzabilmente continua e di durata infinita purché la sua emissione non vari di molto in tempi paragonabili al tempo di volo x/u dalla sorgente al punto in questione.
Le formule fin qui scritte si riferiscono al caso di una sola sorgente, ma si generalizzano in modo ovvio a quello di diverse sorgenti. In assenza, infatti, di reazioni chimiche vale il principio della sovrapposizione degli effetti.
La generalizzazione della (3.11d) al caso di un’emissione puntuale posta ad una quota H è immediata. Si ha infatti :
( ) ( )
− − −
⋅
= 2 2 2 2
2 exp 2
, 2 ,
z y
z y
H z y u
z Q y x
c πσ σ σ σ [3.13]
Le soluzioni dell’equazione della diffusione sopra riportate descrivono, nelle situazioni idealizzate cui si riferiscono, la dispersione dell’inquinante essenzialmente in uno spazio infinito privo di ostacoli. In realtà, se si considera un’emissione a quota H (per esempio una ciminiera), l’effetto del suolo sarà trascurabile fino a distanze dalla ciminiera tali che σ z < H, ma diverrà importante a distanze superiori. Nella situazione idealizzata in cui il suolo sia piatto e non assorba l’inquinante, ma costituisca semplicemente una barriera che lo riflette verso l’alto, è possibile correggere le formule precedenti sovrapponendo alla sorgente vera l’effetto di una sorgente immagine fittizia posta ad una quota pari a (–H). In questo caso la (3.13) si trasforma nella relazione seguente:
( )
( ) ( )
− −
+
− −
⋅
−
⋅
=
2 2 2
2 2 2
exp 2 exp 2
exp 2 , 2
,
z z
y z
y
H z H
z y u
z Q y x c
σ σ
σ σ
πσ [3.14]
E’ immediato dimostrare che queste espressioni soddisfano la condizione al contorno:
0
0
∂ =
− ∂
= z
z z
K c [3.15]
che esprime il fatto ovvio che il trasporto di inquinante attraverso il suolo (rappresentato dal piano z = 0) è appunto nullo. In modo analogo si può tener conto del fatto che l’inquinante non può attraversare il confine della zona di mescolamento, introducendo un’altra sorgente fittizia ad altezza opportuna al di sopra di tale limite, come si vedrà in dettaglio nel capitolo successivo.
3.1.4.3 La sorgente continua lineare
Un caso molto interessante è quando l’intero asse y è una sorgente che emette l’inquinante con intensità lineare λ (g⋅m -1 s -1 ). In questo caso, l’intensità della sorgente elementare relativa ad un trattino dy è data da λ⋅ dy e la concentrazione prodotta da tale sorgente si ottiene dalla (3.12d) eseguendo un’integrazione da -∞ a +∞. Il risultato è:
−
⋅
= 2 2
exp 2
2 z z
z c u
σ σ π
λ [3.16a]
Questa relazione può descrivere, ad esempio, la dispersione dell’inquinante prodotto da una strada percorsa da traffico intenso disposta trasversalmente rispetto al vento e di dimensioni lineari rilevanti. Nel caso poi in cui tale sorgente lineare sia posta ad una quota H, la relazione precedente si trasforma in:
( ) ( ) ( )
− +
+
− −
⋅
= 2 2 2 2
exp 2 exp 2
, 2 ,
z z z
H z H
z z u
y x
c π σ σ σ
λ [3.16b]
che tiene conto anche dell’effetto riflettente operato dal suolo.
3.2 APPROCCIO LAGRANGIANO 3.2.1 La formulazione di base
L’approccio lagrangiano ipotizza che la parte di troposfera costituente il PBL sia rappresentabile mediante un numero elevatissimo di particelle in movimento. La peculiarità di tale approccio risiede nel fatto che si ammette fin da subito che tali particelle si muovono in modo casuale: è chiaro, quindi, il tentativo di realizzare una descrizione quasi microscopica del PBL, analoga alla descrizione che sta alla base della teoria cinetica dei gas.
Si consideri inizialmente una singola particella che al tempo t 0 si trovi nella posizione x 0 (chiaramente entro il PBL, considerato come un fluido turbolento). Il moto di questa particella negli istanti successivi potrà essere descritto dalla sua traiettoria X [x 0 , t 0 ; t], cioè dalla posizione assunta dalla particella al passare del tempo t > t 0 . Sia:
( x 1 , x 2 , x 3 , t ) dx 1 dx 2 dx 3 ψ ( ) x , t d x
ψ ⋅ = [3.18a]
la probabilità che la particella al tempo t si trovi nel volume elementare x 1 +dx 1 , x 2 +dx 2 ,x 3 +dx 3 .
Così ψ ( ) x, t è la funzione di densità di probabilità (pdf) per la posizione della particella al
tempo t che, per definizione, deve soddisfare la condizione seguente:
∫ ∫ ∫ ( )
+∞
∞
− +∞
∞
− +∞
∞
−
⋅
⋅ ψ x ' , t ' d x ' [3.18b]
La densità di probabilità di trovare la particella nella posizione x al tempo t può essere espressa come prodotto di altre due densità di probabilità:
• la densità di probabilità che, se la particella si trova nella posizione x ’ al tempo t’, arriverà a x al tempo t. Tale densità di probabilità la indichiamo col simbolo Q ( x , t x ' , t ' ) e le attribuiamo il nome di probabilità di transizione della particella.
• la densità di probabilità di trovare la particella nella posizione x al tempo t indipendentemente dalla posizione x’ assunta al tempo t’. Essa risulta pari a :
( ) +∞ ∫ ∫ ∫ ( ( ) ) ( )
∞
− +∞
∞
− +∞
∞
−
⋅ Ψ
⋅
=
Ψ x , t Q x , t x ,' t ' x ,' t ' d x ' [3.19]
La ψ ( ) x, t è stata definita considerando una singola particella. Se, tuttavia, fosse presente inizialmente un numero arbitrario m di particelle e se la posizione della i-esima particella fosse completamente descritta dalla funzione densità ψ i ( ) x , t , si può mostrare che la concentrazione media di insieme nel punto x è dato da:
( ) ∑ ( )
=
Ψ
=
〉
〈 m
i i x t
t x c
1
,
, [3.20]
Esprimendo la ψ i ( ) x , t presente nella relazione precedente in funzione della distribuzione iniziale delle particelle (quella cioè riscontrabile nello spazio a t 0 ) e della distribuzione spazio- temporale delle particelle emesse dalla sorgente S , ( ) x t (in particelle per volume e tempo) e sostituendo il tutto nella (3.19), si ottiene la seguente formula per la concentrazione media:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∞ +
∞
−
∞ +
∞
−
∞ +
∞
− +∞
∞
− +∞
∞
− +∞
∞
−
〉
〈 +
〉
〈
⋅
=
〉
〈
t
t
x d dt t x S t x t x Q
x d t x c t x t x Q t
x c
0
