Geometria Lingotto.
LeLing6: Sottospazi Vettoriali.
A ¯ rgomenti svolti:
• Sottospazi vettoriali.
• Sistemi lineari e combinazioni lineari.
• Somma e intersezioni di sottospazi.
• Sottospazi delle righe e colonne di una matrice.
E ¯ sercizi consigliati: Geoling 8, Geoling 9.
1 Combinazioni lineari e Sottospazi.
Sia V un spazio vettoriale e siano v
1, v
2∈ V due vettori. Due combinazioni lineari c
1v
1+ c
2v
2e d
1v
1+ d
2v
2si possono sommare:
(c
1v
1+ c
2v
2) + (d
1v
1+ d
2v
2) = (c
1+ d
1)v
1+ (c
2+ d
2)v
2.
Osserviamo che la somma di due combinazioni lineari di v
1, v
2e’ ancora una com- binazione lineare di v
1, v
2. Dunque chiamando L(v
1, v
2) l’insieme di tutte le combi- nazioni lineari di v
1, v
2risulta che L(v
1, v
2) e’ chiuso per combinazioni lineari, cioe’ se v, w ∈ L(v
1, v
2) allora av + bw ∈ L(v
1, v
2) per qualsiasi scelta dei coefficienti a, b.
Ecco la definizione di sottospazio.
Definition 1.1. Sia V uno spazio vettoriale e sia W ⊂ V un sottoinsieme non vuoto.
Allora W si chiama sottospazio vettoriale di V se e’ chiuso per combinazioni lineari, cioe’ se v, w ∈ W allora av + bw ∈ W per qualsiasi scelta dei coefficienti a, b.
Ovviamente
1L(v
1, v
2) e’ un sottospazio vettoriale di V. Piu’ in generale,
Definition 1.2. Siano v
1, v
2, · · · , v
n∈ V vettori e sia L(v
1, v
2, · · · , v
n) l’insieme di tutte le combinazioni lineari di v
1, v
2, · · · , v
n, cioe’ L(v
1, v
2, · · · , v
n) := {c
1v
1+ c
2v
2+ · · · + c
nv
n} ⊂ V. Allora L(v
1, v
2, · · · , v
n) e’ un sottospazio vettoriale di V, detto il sottospazio generato dai vettori v
1, v
2, · · · , v
n.
1
La definizione e’ fatta appositamente perch´ e lo sia.
1.1 Sistemi omogenei e sottospazi L(s
1, s
2, · · · , s
k)
Geometria Lingotto.Esempio 1.3. Sia C
3:= {
x y z
} lo spazio vettoriale delle colonne con tre elementi.
Siano e
1=
1 0 0
e e
3=
0 0 1
. Allora
x y z
∈ L(e
1, e
3) se e solo se y = 0.
Dunque L(e
1, e
3) e’ l’insieme di tutte le colonne la cui seconda componente “y ” e’ zero.
Esempio 1.4. Sia C
3:= {
x y z
} lo spazio vettoriale delle colonne con tre elementi.
Siano e
1=
1 0 0
, e
2=
0 1 0
e e
3=
0 0 1
. Allora L(e
1, e
2, e
3) = C
3poich´ e qualsiasi colonna e’ combinazione lineare di e
1, e
2, e
3:
x y z
= xe
1+ ye
2+ ze
3. Questo ` e il teorema del sottospazio:
Teorema 1.5. Sia V un K-spazio vettoriale e sia W ⊂ V un sottoinsieme. Allora W e’ un sottospazio vettoriale di V se e solo se:
• 0 ∈ W,
• Se r ∈ K e’ qualsiasi numero e v ∈ W allora r.v ∈ W.
• Se v, w ∈ W allora v + w ∈ W.
Osservare che lo zero 0 appartiene a qualsiasi sottospazio vettoriale W. Infatti, siccome il sottospazio e’ non vuoto per definizione allora esiste v ∈ W. La combinazione lineare 0.v deve per definizione appartenere a W, dunque 0.v ∈ W ma facilmente si dimostra che 0.v = 0 usando gli assiomi della definizione di spazio vettoriale.
1.1 Sistemi omogenei e sottospazi L(s 1 , s 2 , · · · , s k )
Guardando attentamente l’esempio (1.3) si vede che le soluzioni del sistema {y = 0 sono
le colonne del sottospazio L(e
1, e
3).
1.2 Somma e intersezioni di sottospazi
Geometria Lingotto.Abbiamo visto che tutte le soluzioni di un sistema omogeneo si possono scrivere come combinazioni lineari di un certo numero di colonne. Ricordiamo questo tramite un vecchio esempio:
Esempio 1.6. Consideriamo il sistema S =
x + 2y + 3z + 4w = 0 4x + 6y + 7z + 8w = 0 5x + 8y + 10z + 12w = 0 10x + 16y + 20z + 24w = 0
. Ecco le
soluzioni:
2z + 4w
−
52z − 4w z w
Osserviamo che la soluzione generale
2z + 4w
−
52z − 4w z w
e’ una combinazione lineare di
due colonne, cioe’
2z + 4w
−
52z − 4w z w
= z
2
−
521 0
+ w
4
−4 0 1
Dunque l’insieme di tutte le soluzione e’ il sottospazio L(
2
−
521 0
,
4
−4 0 1
).
Osservando dettagliatamente quello che facciamo quando risolviamo un sistema omo- geneo S , ci rendiamo conto che stiamo trovando delle colonne s
1, s
2, s
3, · · · , s
kin modo che tutte le soluzioni siano combinazioni lineari di s
1, s
2, s
3, · · · , s
k; cioe’ risolvere un sistema omogeneo significa trovare il sottospazio L(s
1, s
2, · · · , s
k) che contiene tutte le soluzioni. Il metodo di Gauss-Jordan e’ un metodo semplice che ci procura le colonne s
1, s
2, s
3, · · · , s
k, dato il sistema S .
1.2 Somma e intersezioni di sottospazi
Siano W
1e W
2due sottospazi di un spazio vettoriale V.
Definition 1.7. La somma W
1+ W
2e’ :
1.2 Somma e intersezioni di sottospazi
Geometria Lingotto.W
1+ W
2:= {w
1+ w
2: w
1∈ W
1, w
2∈ W
2}.
L’interzezione e’
W
1\
W
2:= {w : w ∈ W
1e w ∈ W
2}.
Usando il Teorema del sottospazio verifichiamo che entrambi W
1+ W
2e W
1T W
2sono sottospazi. Infatti, per W
1+ W
2:
• 0 ∈ W
1+ W
2poiche’ 0 = 0 + 0.
• Se r e’ un numero e w ∈ W
1+ W
2allora rw = r(w
1+ w
2) dove w = w
1+ w
2, us- ando l’assioma della distributivita’ risulta rw = rw
1+rw
2. Dunque rw ∈ W
1+W
2poiche’ rw
1∈ W
1e rw
2∈ W
2.
• Se v
1, v
2∈ W
1+ W
2allora v
1+ v
2= (w
1+ w
2) + (w
10+ w
02) dove v
1= w
1+ w
2e v
2= w
01+ w
20. Dunque v
1+ v
2= (w
1+ w
10) + (w
2+ w
20) ∈ W
1+ W
2, poiche’
w
1+ w
10∈ W
1e w
2+ w
02∈ W
2.
Se W
1= L(w
1, w
2, · · · , w
k) e W
2= L(v
1, v
2, · · · , v
n) allora W
1+ W
2= L(w
1, w
2, · · · , w
k, v
1, v
2, · · · , v
n) . Ecco una applicazione interessante della intersezione W
1T
W
2.
Proposizione 1.8. Sia W
1l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo S
1e sia W
2l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo S
2. L’intersezione W
1T W
2e’ l’insieme del sistema composto tra S
1e S
2, che si ottiene mettendo tutte le equazioni insieme.
Esempio 1.9. Sia W
1l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo S
1=
x + 2y + 3z + 4w = 0 4x + 6y + 7z + 8w = 0 e sia W
2l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo S
2=
5x + 8y + 10z + 12w = 0 10x + 16y + 20z + 24w = 0 . Allora l’intersezione W
1T
W
2e’ l’insieme delle soluzione del sistema
S =
x + 2y + 3z + 4w = 0
4x + 6y + 7z + 8w = 0
5x + 8y + 10z + 12w = 0
10x + 16y + 20z + 24w = 0
1.3 Sottospazi complementari
Geometria Lingotto.1.3 Sottospazi complementari
Siano W
1e W
2due sottospazi di un spazio vettoriale V. Si dice che W
1e W
2sono complementari se:
(a) V = W
1+ W
2, (b) {0} = W
1\ W
2.
Se queste due cose sono soddisfate allora si dice W
2e’ un complemento di W
1e viceversa, cioe’ che W
1e’ un complemento di W
2.
La condizione (a) dice che tutti i vettori sono somme di uno in W
1e uno in W
2, cioe’
per qualsiasi v ∈ V esistono w
1∈ W
1e w
2∈ W
2tale che v = w
1+ w
2. La condizione (b) implica la unicita’, cioe’ se v se scrive di modo unico come somma dei w
1, w
2: se v = w
1+ w
2= w
01+ w
20allora w
1= w
01e w
2= w
02. Infatti se w
1+ w
2= w
10+ w
02allora w
1− w
01= w
2− w
20∈ W
1T W
2= {0}, quindi w
1= w
01e w
2= w
20.
2 Due sottospazi importanti
Data una matrice A = (a
ij) possiamo pensarla dal punto di vista dalle righe oppure dal punto di vista delle colonne.
Esempio 2.1. Sia A =
1 0 −2 −4 0 1
524
0 0 0 0
. Guardando A dal punto de vista delle
righe la vediamo come A =
R
1R
2R
3
dove R
1e’ la prima riga, cioe’ R
1= (1 0 − 2 − 4), R
2la seconda e R
3la terza riga. Invece guardando A dal punto di vista delle colonne la vediamo come A = (C
1C
2C
3C
4), dove C
1e’ la prima colonna, cioe’ C
1=
1 0 0
, C
2e’ la seconda colonna e cosi’ via.
Associati a una matrice A ∈ M
n,mci sono due sottospazi molto importante denotati R
Ae C
Adefiniti cos`ı :
R
A:= L(R
1, R
2, · · · , R
n) ,
C
A:= L(C
1, C
2, · · · , C
m)
Geometria Lingotto.
