7x-6x = 0

Studiare la funzione f : x ln 7x-6x ^{→ 2} e tracciarne il grafico.

Dominio

Osserviamo preliminarmente che:

7x-6x = 0

per x=0 oppure per x = ⁷

6 , pertanto l’insieme di definizione della funzione è ^{0, 7}

D = −   6  

 

 .

Si osservi che, essendo ^{7 x − 6 x}

^{> 0} per ^{0 7} x 6

< < , la funzione data può essere più facilmente studiata se scritta nella forma:

 

∀ ∈ 

 ∨



1 2 2 2

f (x) =ln(7x-6x ) per 0 < x < 7 x D:f(x) = 6

f (x) =ln(6x -7x) per x < 0 x > 7 6 Segno della funzione

2

ln 7x-6x > 0 per 7x-6x > 1 ossia quando

< − 1

7x-6x

oppure 7x-6x > 1

, da cui

1 > 0

6x -7x-

6x -7x +1 < 0

, da cui

Pertanto f(x) > 0 : x < ^{7- 73 ∨} x > ^{7 + 73} oppure < x < 1 ¹

12 12 6 .

∨

1/2

Δ= 49+ 24 =73 7 ± 73

x = 12

7- 73 7 + 73

x < 12 x > 12



1/2



1 6

Δ= 49- 24 = 25 7 ±5 1 x = 12 =

1< x <1 6

1/6 1



1dis 2dis

7 73 12 + 7 73

12

−

Intersezione con gli assi cartesiani

 



y=ln 7x-6x 2

y= 0 ⇒    = 1 ⇒    = ± 1

 

2

7x-6x 7x-6x

y= 0 y= 0

( ) ( )

( )

1 0 1

1 1;0 , ( ;0)

6

2 0 ( ;0), ( ;0)

 + =

 ⇒

 

 =

 ⇒

 

2

2

6x -7x y = 0

6x -7x-1 7- 73 7 + 73

12 12

y = 0

Non vi sono intersezioni con l’asse y.

Asintoti

- Asintoti verticali.

I punti _{0 e} ⁷

6 non appartengono al dominio della funzione, ma sono di accumulazione per esso. Posto z ⁼ 7x-6x

e osservato che

7 6

→ →

2 2

x 0 x

lim 7x-6x =lim 7x-6x = 0

si ha:

→ → →

2 2

∞

x 0 x 76 0

lim ln 7x-6x =lim ln 7x-6x =lim ln(z) =-

.

Pertanto le rette x = 0 e x = ⁷

6 sono asintoti verticali sinistri e destri per il grafico della funzione.

- Asintoti orizzontali

Il dominio della funzione non è limitato né inferiormente né superiormente.

Tenendo presente che

lim 7x-6x = +

^∞ e che

lim ln 7x-6x = lim ln(z) = +

^∞ , si può affermare che la funzione non presenta asintoti orizzontali.

- Asintoti obliqui

Calcoliamo il f x ( ) f x

( ) ( )

x x x

→+∞

=

=

2

x x x

ln -7x +6x

lim lim lim

Questo limite si presenta nella forma ^∞ _∞ ; applicando la regola di De L’Hospital si ha:

=

x x

-7 +12x 12 x

lim lim

-7x +6x 6x

= 1

+∞ = 0

Analogamente ( )

→−∞

=

x =

2

x x

ln -7x +6x

lim f(x) lim 0

x

Pertanto non esistono asintoti obliqui.

Derivata prima:

Ricordando che  D  ln g(x) =   g'(x)

g(x) si ha: f'(x) = ^7-12x

7x-6x

Essendo 7

7-12x > 0 per x < e 12 7 6

7x-6x > 0 per 0 < x < , si ha:

7 f '(x) = 0 per x = 12

7 ∨ 7

f '(x) > 0 per 0 < x < x >

12 6

7 7

f '(x) < 0 per x < 0 oppure < x <

12 6

Pertanto 7

x = 12 è un punto di massimo relativo proprio, e la f è strettamente decrescente in ] ^{, 0} [ ^{7 7 ,}

ein  12 6 

−∞    

x = mentre è strettamente crescente in 7 0, 12

 

 

  ^{e in} 7 ,

6

 + ∞ 

 

  ^.

Derivata seconda:

2

2

-12(7x-6x )- (7-12x)(7-12x) f ''(x) =

7x-6x ⁼

( )

=

-84x +72x - 49+168x-144x =

7x-6x

( )

2 2 2

-72x +84x- 49

= 7x-6x ( )

2

2

.

2

72x -84x + 49

=- 7x-6x

Essendo il discriminante del polinomio numeratore negativo, la _{f ’ x 0 ’} ( ) _< ^{∀ ∈} _{x D} . Pertanto il grafico della funzione volge, in ogni suo punto, la concavità verso il basso.