b 12H ∂D+(x + y2)dy

(1)

ANALISI 2 -TLC 10 settembre 2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Una ed una sola delle quattro affermazioni `e corretta. Indicarla con una croce.

• Risposta esatta: + 1,5. Risposta errata: - 0,25.

• Le risposte esatte sono indicate con il simbolo ♣.

1. Quale delle seguenti espressioni d`a l’area del dominio piano D? a ¹₂ H

∂D⁺(y − x²)dx ; b ¹₂H

∂D⁺(x + y²)dy ; c H

∂D⁺(y + x³)dx; d ♣ H

∂D⁺(x − y²)dy .

2. Detto T il triangolo piano di vertici (0,0), (1,-1), (1,1), qual `e il valore dell’integrale RR

T x sin y dxdy? a -1; b π ; c ♣ 0 ; d 1 .

3. Posto f (x, y) = x ln y + y ln x, quale delle seguenti uguaglianze `e vera? a ∇f (2, 2) = (2, 2)

; b ∇f (3, 3) = (3, 3); c ♣ ∇f (1, 1) = (1, 1) ; d ∇f (0, 0) = (0, 0) . 4. La formula di Taylor di ordine 1 della funzione x sin(y²) nel punto (1,p_π

2) `e: a x sin(y²) = x−1+π(y−p_π

2)+oq

(x − 1)²+ (y −p_π

2)²

; b ♣ x sin(y²) = x+oq

(x − 1)²+ (y −p_π

2)²

; c x sin(y²) = 2p_π

2(y −p_π

2) + oq

(x − 1)²+ (y −p_π

2)²

; d x sin(y²) = x +p_π

2(y − p_π

2) + oq

(x − 1)²+ (y −p_π

2)² .

5. Le curve di livello di e^cos(x²^+2y²⁾ sono a circonferenze ; b iperboli ; c parabole ; d ♣ ellissi .

6. Lungo quale delle seguenti curve l’integrale di linea del campo vettoriale F (x, y) = (x, y) `e diverso da zero? a γ(t) = (cos²t, sin t), t ∈ [0, 4π] ; b ♣ γ(t) = (e^t, 0), t ∈ [0, 8π] ;

c γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] ; d γ(t) = (cos²t, sin²t), t ∈ [0, 6π] .

7. Il dominio di f (x, y) = _(x−1)^{sin x}2+y² `e: a limitato ; b simmetrico rispetto all’asse y ; c semplicemente connesso ; d ♣ non semplicemente connesso .

8. La forma quadratica Q(x, y, z) = xy + z² `e: a ♣ indefinita ; b nessuna delle altre risposte ; c definita positiva ; d semi-definita positiva .

(2)

1. Lungo quale delle seguenti curve l’integrale di linea del campo vettoriale F (x, y) = (x, y) `e diverso da zero? a ♣ γ(t) = (e^t, 0), t ∈ [0, 8π] ; b γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] ;

c γ(t) = (cos²t, sin²t), t ∈ [0, 6π] ; d γ(t) = (cos²t, sin t), t ∈ [0, 4π] .

2. Posto f (x, y) = x ln y +y ln x, quale delle seguenti uguaglianze `e vera? a ∇f (3, 3) = (3, 3);

b ♣ ∇f (1, 1) = (1, 1) ; c ∇f (0, 0) = (0, 0) ; d ∇f (2, 2) = (2, 2) .

3. La formula di Taylor di ordine 1 della funzione x sin(y²) nel punto (1,p_π

2) `e: a ♣ x sin(y²) = x+oq

(x − 1)²+ (y −pπ 2)²

; b x sin(y²) = 2pπ

2(y−pπ

2)+oq

(x − 1)²+ (y −pπ 2)²

; c x sin(y²) = x +p_π

2(y −p_π

2) + oq

(x − 1)²+ (y −p_π

2)²

; d x sin(y²) = x − 1 + π(y − p_π

2) + o

q

(x − 1)²+ (y −p_π

2)²

.

4. Il dominio di f (x, y) = _(x−1)^{sin x}2+y² `e: a simmetrico rispetto all’asse y ; b semplicemente connesso ; c ♣ non semplicemente connesso ; d limitato .

5. Quale delle seguenti espressioni d`a l’area del dominio piano D? a ¹₂H

∂D⁺(x + y²)dy ; b H

∂D⁺(y + x³)dx; c ♣ H

∂D⁺(x − y²)dy ; d ¹₂ H

∂D⁺(y − x²)dx .

T x sin y dxdy? a π ; b ♣ 0 ; c 1 ; d -1.

7. La forma quadratica Q(x, y, z) = xy + z² `e: a nessuna delle altre risposte ; b definita positiva ; c semi-definita positiva ; d ♣ indefinita .

8. Le curve di livello di e^cos(x²^+2y²⁾ sono a iperboli ; b parabole ; c ♣ ellissi ; d circonferenze .

(3)

T x sin y dxdy? a ♣ 0 ; b 1 ; c -1; d π .

2) `e: a x sin(y²) = 2p_π

2(y − p_π

2) + oq

(x − 1)²+ (y −p_π

2)²

; b x sin(y²) = x + p_π

2(y − p_π

2) + oq

(x − 1)²+ (y −p_π

2)²

; c x sin(y²) = x−1+π(y−p_π

2)+oq

(x − 1)²+ (y −p_π

2)²

; d ♣ x sin(y²) = x + o

q

(x − 1)²+ (y −p_π

2)²

.

3. Il dominio di f (x, y) = _(x−1)^{sin x}2+y² `e: a semplicemente connesso ; b ♣ non semplicemente connesso ; c limitato ; d simmetrico rispetto all’asse y .

4. La forma quadratica Q(x, y, z) = xy + z² `e: a definita positiva ; b semi-definita positiva ; c ♣ indefinita ; d nessuna delle altre risposte .

5. Lungo quale delle seguenti curve l’integrale di linea del campo vettoriale F (x, y) = (x, y) `e diverso da zero? a γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] ; b γ(t) = (cos²t, sin²t), t ∈ [0, 6π]

; c γ(t) = (cos²t, sin t), t ∈ [0, 4π] ; d ♣ γ(t) = (e^t, 0), t ∈ [0, 8π] .

6. Posto f (x, y) = x ln y + y ln x, quale delle seguenti uguaglianze `e vera? a ♣ ∇f (1, 1) = (1, 1) ; b ∇f (0, 0) = (0, 0) ; c ∇f (2, 2) = (2, 2) ; d ∇f (3, 3) = (3, 3).

7. Le curve di livello di e^cos(x²^+2y²⁾ sono a parabole ; b ♣ ellissi ; c circonferenze ; d iperboli .

8. Quale delle seguenti espressioni d`a l’area del dominio piano D? a H

∂D⁺(y +x³)dx; b ♣ H

∂D⁺(x − y²)dy ; c ¹₂H

∂D⁺(y − x²)dx ; d ¹₂ H

∂D⁺(x + y²)dy .

(4)

1. Posto f (x, y) = x ln y + y ln x, quale delle seguenti uguaglianze `e vera? a ∇f (0, 0) = (0, 0)

; b ∇f (2, 2) = (2, 2) ; c ∇f (3, 3) = (3, 3); d ♣ ∇f (1, 1) = (1, 1) .

2. Il dominio di f (x, y) = _(x−1)^{sin x}2+y² `e: a ♣ non semplicemente connesso ; b limitato ; c simmetrico rispetto all’asse y ; d semplicemente connesso .

3. La forma quadratica Q(x, y, z) = xy + z² `e: a semi-definita positiva ; b ♣ indefinita ; c nessuna delle altre risposte ; d definita positiva .

4. Le curve di livello di e^cos(x²^+2y²⁾ sono a ♣ ellissi ; b circonferenze ; c iperboli ; d parabole .

T x sin y dxdy? a 1 ; b -1; c π ; d ♣ 0 .

2) `e: a x sin(y²) = x +p_π

2(y −p_π

2) + oq

(x − 1)²+ (y −p_π

2)²

; b x sin(y²) = x − 1 + π(y −p_π

2) + oq

(x − 1)²+ (y −p_π

2)²

; c ♣ x sin(y²) = x+oq

(x − 1)²+ (y −p_π

2)²

; d x sin(y²) = 2p_π

2(y −p_π

2) + o

q

(x − 1)²+ (y −p_π

2)²

.

7. Quale delle seguenti espressioni d`a l’area del dominio piano D? a ♣ H

∂D⁺(x − y²)dy ; b ¹₂H

∂D⁺(y − x²)dx ; c ¹₂H

∂D⁺(x + y²)dy ; d H

∂D⁺(y + x³)dx.

8. Lungo quale delle seguenti curve l’integrale di linea del campo vettoriale F (x, y) = (x, y) `e diverso da zero? a γ(t) = (cos²t, sin²t), t ∈ [0, 6π] ; b γ(t) = (cos²t, sin t), t ∈ [0, 4π] ; c ♣ γ(t) = (e^t, 0), t ∈ [0, 8π] ; d γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] .