MODELLISTICA ELETTROMAGNETICA DEI MATERIALI

Appunti dalle lezioni del corso di 

MODELLISTICA ELETTROMAGNETICA DEI  MATERIALI 

(prof G. Lupò) 

CAPITOLO III – IL MODELLO DIELETTRICO    (Bozza) 

§III.1 Introduzione   

Col termine dielettrico si intende generalmente un materiale in cui, sotto l’azione  del  campo  elettrico,    è  prevalente  il  posizionamento  (rotazione,  traslazione  limitata e/o deformazione) rispetto al moto medio delle cariche reali o virtuali. 

In altri termini sono prevalenti – ma non esclusivi ‐  i fenomeni di polarizzazione  rispetto  a  quelli  di  conduzione.  D’altro  canto,  col  termine  isolante  in  genere  ci  si  riferisce  soltanto  alle  limitate  o  assenti  proprietà  di  conduzione.  Un  materiale  dielettrico  è  generalmente  un  isolante  anche  se  l’isolante  ideale  è  il  vuoto  assoluto,  che  non  è  un  dielettrico;  viceversa  un  materiale  conduttore  o  semiconduttore  ad  alta  frequenza  può  in  qualche  modo  presentare  proprietà  dielettriche significative. 

I  dielettrici  possono  essere  gassosi,  liquidi  o  solidi;  ai  fini  dei  meccanismi  di  polarizzazione,  tuttavia,  i  gas,  a  causa  della  loro  limitata  densità,  presentano  fenomeni  di  polarizzazione  assai  poco  significativi.  Il  nostro  esame  sulle  proprietà dielettriche si intenderà pertanto rivolto ai materiali solidi e liquidi; le  inclusioni  gassose,  tuttavia  potranno  essere  importanti  e  determinanti  nella  caratterizzazione dielettrica. 

Il modello dielettrico prende in considerazione le equazioni generali del campo  elettromagnetico  (modello  macroscopico)  per  poi  determinare  le  condizioni  di 

§III.2  Il modello “macroscopico” 

Le  sorgenti  di  campo  dovute  alla  presenza  del  materiale  sono  collegabili  alla  presenza nello stesso di dipoli elettrici che possono essere “naturali” (cioè legati  alla particolare struttura della molecola) o indotti dall’azione del campo elettrico  esterno.  Si  può  associare  quindi  ad  ogni  particella  un  momento  di  dipolo  ed  attribuire  allo  spazio  occupato  dal  materiale  una  distribuzione  di  tali  momenti  considerando il momento risultante di dipolo riferito a volumetti infinitesimi. Si  richiamano di seguito le grandezze caratteristiche: 

Momento di dipolo elementare  μ=qd (q carica del dipolo; d distanza tra i baricentri +/)  Vettore polarizzazione  P(=dμ/dτ) momento risultante di dipolo riferito al volume 

Suscettività dielettrica χ  P=χE      (E campo elettrico macroscopico”; χ costante per i  mezzi lineari) 

Vettore spostamento D nel vuoto  D=ε^o E  (ε^o  costante  dielettrica  del  vuoto;  D  corrisponde alla densità di carica superficiale sull’elettrodo “prolungata” nel vuoto secondo  i tubi di flusso di D) 

Vettore spostam. D nella materia¹  D=ε^o E+P=( ε^o+χ )E= ε^o ε^r E  = εE   (III.1)  

Le sorgenti di E sono tutte le cariche (libere e vincolate); le sorgenti di D sono  le cariche libere, le sorgenti di P sono le cariche vincolate) 

v

v

div div div

div ρ ρ

ε ε

ρ

ρ + = − _{⇒ = = −}

= D P D P

E ;

0 0

l l

 (III.2) 

1 ε^r viene indicata come permettività del mezzo materiale. E’ una quantità mai inferiore all’unità. La permettività  dei gas si può considerare unitaria; quella degli oli (per trasformatori) pari a circa 2.5; per il polistirolo è pari a  2.3, per il PVC circa 3.5, per la carta impregnata in olio circa 4, per il vetro varia da 5 a 16 circa, per l’acqua  distillata vale circa 80, per i silicati varia da 10 a 100, per alcune molecole complesse come il titaniato di bario da  1000 a 4000.

§ III.3 Teoria molecolare o Modello “microscopico” 

Le  particelle  costituenti  il  materiale,  in  via  naturale  o  sotto  l’azione  del  campo  elettrico possono presentare o formare dipoli elettrici secondo diversi meccanismi  di polarizzazione. 

a. Polarizzazione elettronica   

Nell’atomo,  in  assenza  di  campo  elettrico  esterno,  si  può  ritenere  che  il  baricentro delle cariche negative (elettroni) coincida con il baricentro delle  cariche  positive  (nucleo);  quindi  a  riposo  il  momento  di  dipolo  è  nullo;  in  presenza  di  campo  elettrico  si  ha  una  deformazione  “elastica  istantanea” 

dell’atomo stesso che assume un momento di dipolo dipendente dal campo,  ma non dalla temperatura nè dalla frequenza della sollecitazione applicata  (a meno di non considerare frequenze dell’ultravioletto) 

b. Polarizzazione atomica   

In  una  molecola  a  struttura  simmetrica  (es  CCl⁴),  in  assenza  di  campo  elettrico esterno, si può ritenere che il baricentro degli ioni negativi coincida  con il baricentro degli ioni negativi ( molecola non polare); quindi a riposo il  momento  di  dipolo  è  nullo;  in  presenza  di  campo  elettrico  si  ha  una  deformazione  “elastica  istantanea”  della  molecola,  che  assume  un  momento  di  dipolo  dipendente  dal  campo,  ma  non  dalla  temperatura  nè  dalla  frequenza  della  sollecitazione  applicata  (a  meno  di  non  considerare  frequenze all’ultrarosso) 

c. Polarizzazione dipolare   

In  una  molecola  a  struttura  dissimmetrica  (es  H²O),  in  assenza  di  campo  elettrico  esterno,  si  può  ritenere  che  il  baricentro  degli  ioni  negativi  non  coincida  con  il  baricentro  degli  ioni  negativi  (  molecola    polare);  quindi  a  riposo  il  momento  del  singolo  dipolo  non  è  nullo,  ma  è  statisticamente  compensato il momento risultante ; in presenza di campo elettrico si ha un 

orientamento  della  molecola,  che  assume  un  momento  di  dipolo  dipendente  dal  campo,  dalla  temperatura  nonchè  dalla  frequenza  della  sollecitazione  applicata  .  Nel  caso  in  cui,  al  cessare  della  sollecitazione  elettrica,  il  materiale  continuasse  a  presentare  un  momento  dipolare  risultante significativo, esso viene compreso tra gli elettreti. 

Polarizzazione interfacciale  

In presenza di discontinuità o disomogeneità nel materiale  si piò avere un  accumulo  di  ioni  sulle  superfici  di  separazione.  I  movimenti  lenti    di  tali  cariche sono rilevanti solo in casi statici o a bassissima frequenza 

§III.4  Polarizzabilita’ delle molecole   

Si definisce campo locale o interno Eⁱ il campo (microscopico) determinato dalla  singola  particella  e  che,  in  condizioni  di  equilibrio,  è  pari  al  campo  che  agisce  sulla  stessa  particella.  La  determinazione  complessiva  del  campo  elettrico  (di  Lorentz)  in  un  punto  qualsiasi  prevede  il  contributo  del  campo  geometrico,  ossia  quello  che  si  avrebbe  in  assenza  dei  dipoli  e  del  campo  creato  da  tutti  i  dipoli. 

dipoli

L E E

E = _geom +  

Si  può  considerare  il  contributo  del  singolo  dipolo  adl  campo  complessivo  dei  dipoli 

) (Lorentz

e i

dipoli E E

E = +  

Nel  caso  di  cristalli,  il  campo  locale  dipende  dalla  struttura  cristallina;  ad  esempio, nel caso di cristallo cubico a facce centrate si ha Eⁱ=0.  

Il  campo  E^e  può  essere  valutato  dalla  distribuzione  di  carica  di  polarizzazione  sulla superficie della “cavità” 

dθ sinθ πr

2 cosθ P

dσ = ⋅

⋅

Si supponga che la molecola in campo uniforme occupi un volume sferico con  densità  N;  rimuovendo  tale  volume,  nasce  per  induzione  una  distribuzione  superficiale  prima    “compensata”  dalla  molecola  stessa.  Calcolando  il  campo  dovuta  a  questa  distribuzione  si  deduce  che  il  campo  della  molecola  dipolare   vale 

3 0

* ε

E = − P    (III.3) 

e quindi il campo microscopico va valutato come 

3

* ε

E P E E

E

= − = +

Si definisce coefficiente di polarizzabilità o più semplicemente polarizzabilità α  il rapporto tra il momento di dipolo elementare ed il campo locale 

μ=α Eⁱ  (III.5) 

Di conseguenza il vettore polarizzazione può essere espresso come    

P=N μ=Nα Eⁱ=(ε‐ε⁰) E    (III.6)   

Il  coefficiente  di  polarizzabilità  potrebbe  essere  valutato  attraverso  le  sue  componenti (elettronica, atomica,dipolare,…) 

α=α^e+α^a+α^d    (III.7)   

Il fattore di polarizzazione è legato al reale comportamento del materiale nel  tempo, dipende da grandezze fisiche quali la temperatura, può avere carattere  tensoriale. 

Consideriamo i vari casi: 

Polarizzazione elettronica : il fattore di polarizzazione dipende solo dalla  dimensione dell’atomo e non dal numero atomico. 

4 _oR3

e πε

α = (III.8) 

Polarizzazione ionica: il fattore di polarizzazione dipende dalla  energia di  legame γ 

( )

α_io = ^neγ² (III.9) 

Polarizzazione per orientamento: molecole con proprio momento di dipolo; 

nell’allineamento dei dipoli occorre tener conto dell’agitazione termica che  contrasta gli effetti del campo locale 

kT p_m

or =3

α (III.10) 

Polarizzazione di diversi tipi ‐ Equazione di Clausius‐ Mossoti   

i i

i o r

r

Li i i

i

N E N P

∑

∑

+ =

−

=

ε α ε

ε

α

3 1 2

1  (III.11) 

§III.5 Influenza della temperatura sui fenomeni di polarizzazione   

Considerato un volume sferico occupato da bipoli, per l’agitazione termica i  dipoli non saranno  orientati come il campo, ma assumerano una configurazione  di equilibrio “termico equivalente”. Si potrà considerare una distribuzione di  Boltzmann delle molecole per cui se si indica con 

dn = Ae

d Ω

U

   (III.12) 

il numero delle molecole in angolo solido dΩ  definito  dal relativo momento di  dipolo formante un angolo compreso tra 

ϑ e ϑ + d ϑ

∫

=

∫

π

μ ϑ

μ

0 0

cos dn

dn

d     (III.13) 

Si può dimostrare che la distribuzione dei momenti dipolari in funzione della  temperatura segue una legge del tipo 

1 ( )

cot L x

x x

d

= gh − =

μ μ

   (III.14)  dove x=μEⁱ /(kT) e L(x) è la cosiddetta funzione di  Langevin. 

Per x molto piccolo (elevate temperature) L(x)≈x/3 per cui 

kT E

d

3

μ

μ =

 La polarizzabilità α risulta quindi proporzionale ad 1/T e si può riconoscere la  molecola polare rispetto a quella non polare (N.B. per i gas  è utile riferirsi alla 

“polarizzabilità per mole” ∏ piuttosto che a quella per volume) 

§III.6 Perdite e rilassamento nei dielettrici   

Nei dielettrici si presentano due tipi di perdite: una legata alla migrazione delle  cariche  libere  ossia  alla  sia  pur  modesta  conducibilità  del  materiale,  l’altra  legata ai fenomeni di polarizzazione, ossia alla rotazione e deformazione delle  molecole stesse. 

Per  quanto  riguarda  la  conducibilità  nei  dielettrici,  si  può  sinteticamente  affermare che essa dipende dalla disponibilità di particelle cariche. Nel §….. si è  già  presentata  la  possibilità  di  considerare  sia  il  moto  dei  soli  elettroni  (conduzione  elettronica)  che  anche  di  ioni  (conduzione  ionica).  Facendo  per  semplicità riferimento alla conduzione elettronica, la disponibilità di elettroni è  da mettere in relazione al salto energetico W necessario perché l’elettrone superi  l’attrazione  dell’atomo  cui  appartiene;  tale  energia  può  essere  fornita  per  diversa  via,  anche  attraverso  il  campo  elettrico  locale;  in  prima  battuta  per  la  valutazione della conducibilità si può far riferimento ad una relazione del tipo   

kT aE W_o

e T

0

)

(

− −

= σ

σ

Per quanto riguarda il bilancio energetico necessario per mantenere il processo  di polarizzarione, in caso di campo stazionario si ha bisogno solo dell’energia  occorrente alla deformazione iniziale. Per le applicazioni industriali, con  tensioni sinusoidali  a  50 Hz occorrerà tener conto dell’”attrito” tra le varie  particelle polarizzabili, che tenga conto delle interazioni che comunque  intervengono nel processo di deformazione.  

Schematicamente, si può affermare che il campo elettrico (legato, in caso di  materiale omogeneo, direttamente alla tensione applicata) non viene “seguito” 

immediatamente dai dipoli e quindi dalla ridistribuzione della carica libera  sugli elettrodi. In altri termini, il campo di spostamento D(t) risulta essere in  ritardo rispetto al campo E(t): 

( ^t ) ^{D t D t}

D t

D

t E

t E

o o

ω ω

ϕ ω ω

sin cos

cos )

(

cos )

(

2

1

+

=

−

=

=

  (III.17) 

E E

D D

D D D

E E

&

&

&

&

&

)

"

' ( )

( ) (

2

1

ε ε ε

ϕ

j j

e t

t

j

= − = = −

=

→

→

− (III.18) 

Si può quindi introdurre la costante dielettrica complessa 

( ) ^E

E P

E

D = ε

+ = ε & = ε' − jε "

Si  può  osservare  che  le  perdite  legate  alla  polarizzazione  (perdite  per  isteresi  dielettrica)  sono  legate  al  coefficiente  immaginario  della  costante  dielettrica  e  tendono  a zero con la frequenza. Il valore limite a bassa frequenza della parte  reale  (detta  anche  costante  dielettrica  propria)  coincide  con  la  costante  dielettrica “statica” ossia valutata in condizioni stazionaria. Il valore limite per  frequenze  elevatissime  (nell’ultravioletto)  viene  indicato  normalmente  come 

“costante  dielettrica  all’infinito”  anche  se  in  realtà  al  tendere  all’infinito  della  frequenza  la  costante  dielettrica  tende  a  quella  del  vuoto,  non  potendosi  più  pensare comunque a formazione di dipoli. 

In sintesi: 

∞

∞

→

→

→

=

=

=

=

=

ε ω ε

ε ω ε

ω ε ε ε

ω ω ω

) ( ' lim

) ( ' lim

0 ) (

"

lim

"

'

0 0 2 1

s o

o

E D

E D

       (III.20) 

§III.7 Perdite nei condensatori   

Per un carico reattivo, ad esempio un banco di condensatori di rifasamento,  caratterizzato da una potenza reattiva Q, le perdite dielettriche vengono 

generalmente caratterizzate attraverso l’angolo δ, complemetare dell’angolo di  potenza φ 

  P= Q cotg ϕ = Q tgδ    (III.21) 

La quantità tgδ  viene chiamata fattore di perdita. 

Facendo ad esempio riferimento ad un condensatore piano, la potenza dissipata  per unità di volume vale 

( )

tgδ ε' ε"

E ωε"

tgδ E Sd ωε'

tgδ d Ed

ωε'S

τ tgδ ωCV τ

Qtgδ τ

p P ^{2 2}

2 2

=

⇔

=

=

=

=

=

=  (III.22) 

Le perdite per isteresi dielettrica sono quindi proporzionali alla frequenza² ed al  prodotto tra la costante dielettrica propria ed il fattore di perdita. 

In presenza di conduzione (dielettrico dispersivo) la perdita per unità di volume  vale 

2 p 2

2 2

2

2

ε" ε ω

ω ωE σ E

ωε"

σE tgδ

E ωε' σE

p ⎟ = E

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

= +

= +

=

Quindi sia le perdite per conduzione che le perdite per isteresi dielettrica  possono essere “inquadrate” nel parametro “costante dielettrica complessa” 

leggermente modificata, in cui il coefficiente immaginario contiene un termine  dipendente dalla frequenza, trascurabile a frequenze opportunamente alte 

p

*

ε' jε

ε = −

_(III.24)

Può essere definito un fattore di potenza globalw 

ε'

ε"

ω σ tgδ

= +

   (III.25) 

§III.8  Dipendenza della costante dielettrica complessa e del fattore di perdita  dalla frequenza 

Ad alta frequenza scompare il meccanismo di polarizzazione dipolare; pertanto³ 

( ) ^E

P P

P

P

=

=

+

= ε

− ε

Indicando  con  P^sd  il  vettore  polarizzazione  legato  al  meccanismo  di  orientamento per bassissime frequenze, il vettore polarizzazione “statico” si può  esprimere come: 

( ) ^E

P P

P

P

=

=

+

= ε

− ε

Ad una frequenza generica avremo 

( )

( ) ^E

P P

P

E P

P P

ω d

ω _d

∞

∞

∞

−

=

−

=

−

= +

=

ε ε

ε

ε

    (III.28)   

§III.9 Caratterizzazione dinamica – Tempo di rilassamento 

In  condizioni  dinamiche  generali,  il  meccanismo  di  polarizzazione  può  essere  ragionevolmente descritto da una relazione del tipo (ipotesi di Debye) 

τ τ α τ

ε

t D

t

)

~( ) ( )

( )

(

0

− +

= ^∞

∫

  ove 

kT T t t

) (

) exp(

)

~( τ η α τ

≡

−

≅

 (III.30) 

3 questa espressione, si ripete, vale a frequenze elevate ma non elevatissime; al tendere all’infinito della  frequenza si annulla infatti ogni meccanismo di polarizzazione. 

sono  la  funzione  di  trasferimento  ed      tempo  di  rilassamento    (η  coefficiente 

“viscoso”)   

In  regime  sinusoidale,  possiamo  utilizzare  la  notazione  fasoriale  e  considerare  accettabile  l’ipotesi  di  Debye  che  la  variazione  temporale  dellla  polarizzazione  sia proporzionale all’incremento di polarizzazione rispetto ai vali statici (a bassa  frequenza) 

( P

P

) P ( ) E P

P = − (t) dt ⇒ jω & = ε − ε

& − &

τ

d

1 τ

da cui  

P &

E &

τ jω 1

ε ε

+

= −

ε τ

ε 1 jω

ε ε

+ + −

=

&

2 2 s

τ ω 1

ε ε ε

ε' +

+ −

=

ωτ

τ ω 1

ε ε" ε

+

= −

 (III.34) 

(equazioni di Debye)   

La ε” ha un massimo per ωτ=1 . 

Anche il fattore di perdita può essere valutato in questo modo: 

( )

2 2 s

s

τ ω ε ε

ωτ ε

ε ε"

tgδ ε'

∞

∞

+

= −

=

esso presenta un massimo per 

∞

= ε

ωτ ε

§III.10   Circuiti equivalenti   

Sembra  abbastanza  ovvio  che  un  dielettrico  ideale  con  conducibilità  nulla  e  privo  di  perdite  possa  essere  rappresentato  da  una  capacità  C  caratterizzata  dalla  costante  dielettrica  reale  εʹ.  Ad  esempio,  un  condensatore  piano  a  facce  piane  e  parallele  con  dielettrico  ideale  può  essere  schematizzato  dalla  capacità  C=εʹS/d.  Se  si  applica  al  condensatore  una  tensione  sinusoidale,  l’intensità  di  corrente  che  lo  interessa  può  essere  rappresentata  con  un  fasore  in  anticipo  di  90° rispetto al fasore della tensione. 

Se  il  dielettrico  non  è  ideale,  la  sola  capacità  non  basta  per  rappresentare  il  dielettrico e si comprende che, per tenere conto anche delle perdite, è necessario  aggiungere dei resistori che tengano conto delle perdite per effetto Joule e delle  perdite per isteresi. Inoltre, non è possibile usare un solo condensatore perché è  necessario tenere in conto anche la variazione della ε con la frequenza. 

Il circuito equivalente di un dielettrico di sagoma standard diviene: 

1 2

ε

ε

σ

  Infatti, ricordando che  

E

J_T = j

ωε

si  constata  che  un  provino  di  dielettrico  reale  è  rappresentabile  tramite  l’ammettenza equivalente: 

( '

'' )

*

*

= ωε = j ωε + σ + ωε

d S d j S

Y

Utilizzando l’equazione di Debye, si ottiene: 

( ) ( )

( ) ( ^{( )} )

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ + + + +

+

= +

+

= _{1 1} ^∞_{2 2}² _{∞ 2} ^∞₂

*

1 '' 1

'

r r

d j j S

d Y S

τ ω

ε ε ε

τ ω ω

τ ω ε σ ε

ωε σ

ωε ^{s- s-} _(III.39) 

Calcoliamo l’ammettenza equivalente del bipolo sopra rappresentato: 

2 2

2 2 1

1

G j C

C G C j

j G

Y ω

ω ω + + +

=

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

+ + +

⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ + +

=

2 2 1 2

1 2

2

2 1 2

1

1 σ

ω ε ωε ωε

ωε σ σ

ε ωε ωγ

σ

j j j

d S j

j j d

Y S  

Ponendo 

2 2

σ

τ = ε  si ottiene: 

( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+ + − +

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ + +

= _{1 1} ² _{1 1} ² _{2 2}

1 1

1 ω τ

ωτ ωε ωε

ωτ σ ωε ωε

σ j ^{j j}

d S j

j j d

Y S  

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ + + +

+

= _{1 1 2}² ₂ ² ₂² ₂

1

1 ω τ

τ ε ω τ

ω ωε ωε

σ j ^j

d

Y S  

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + + +

+

= ₁ ² ₂² _{2 1} ²_{2 2}

1

1 ω τ

ε ε τ ω

ω τ ω

σ ε j

d

Y S   (III.41) 

Ci si accorge, allora,  che ponendo nel circuito equivalente:  

(

)

= ε ε

ε_{2 s}- ;   ε₁=ε∞ (III.42) 

è possibile simulare il comportamento in frequenza di un dielettrico. 

ε

ε

ε

ε

ε

[ ]

V

I

τ

I∞

I_d

σ

σ

Possiamo  così  anche  tracciare  il  diagramma  fasoriale  relativo  a  un  dielettrico  reale. Fissando la tensione possiamo ricavare le varie componenti della corrente, 

I

V I

I

δ

∞

I

I

I

L’intensità  di  corrente  I  non  è  in  quadratura  con  la  tensione  V:  Esiste  una  componente  in  fase  che  tiene  conto  delle  perdite  per  effetto  Joule  (Iσ)  e  delle  perdite per isteresi (I^d2) ed una componente in quadratura (I^d1) che tiene conto  della polarizzazione elettronica e atomica (I∞) e della polarizzazione dipolare.  

Studiando  la  polarizzazione  interfacciale  con  un  circuito  equivalente  costituito  dalla  serie  di  due  ʺparalleliʺ  C‐G  (schematizzanti  ognuno  un  differente  dielettrico), si giunge a equazioni identiche a quelle di Debye, il che testimonia  che  la  conducibilità  non  nulla  del  dielettrico  comporta  un  fenomeno  di  rilassamento  e  quindi  non  solo  perdite  per  effetto  Joule  ma  anche  perdite  per  isteresi. Il tempo di rilassamento τ è molto elevato, dellʹordine di 10²÷10⁶ s, per  cui  la  polarizzazione  interfacciale  scompare  già  per  variazioni  molto  lente  del  campo impresso. Essa interessa invece nel caso di corrente continua perché la ε  può essere così elevata da far aumentare notevolmente la energia elettrostatica  accumulata dal dielettrico. 

III.11 Misura dei parametri circuitali equivalenti   

Per  la  misura  dei  parametri    del  circuito  equivalente  è  necessario  effettuare  le  prove in condizioni stazionarie (DC) e sinusoidali (AC) sotto riportate. 

Resistività di volume 

Consideriamo un conduttore omogeneo di resistività ρv, filiforme, cioè tale che  la radice quadrata della sua sezione trasversale sia trascurabile rispetto alla sua  lunghezza, attraversato da una corrente I. Indichiamo con γ il suo asse e fissiamo  un’ascissa  curvilinea  x  su  di  esso.  Se  consideriamo  una  generica  sezione  trasversale  S  potremo  ritenere  che  il  vettore  densità  di  corrente  sia  perpendicolare ad S e sia uniforme su di essa: 

1

v

I JS E S E I

S ρ ρ

= = ⋅ ⇒ = ⋅

x l

I x

x

V E d E d d I d I L IR

S S S

γ γ γ γ

ρ ⋅ ρ ρ

= ∫ ⋅ = ∫ ⋅ = ∫ ⋅ = ∫ = =

La resistenza del conduttore si ottiene da: 

v v

R L ρ S

=  

Per ricavare la resistività di volume (e quindi la conducibilità σ¹= σ^DC) è possibile  utilizzare,  con  alimentazione  in  continua,  il  metodo  volt‐amperometrico,  misurando  tensione  e  corrente  su  un  oggetto  in    prova  di  dimensioni  note.  Si  adotta lo schema di misura rappresentato in figura, in cui l’elettrodo di guardia  è  necessario  per  “drenare”  verso  terra,  escludendole  dalla  misura,  le  correnti  superficiali che, generalmente, nelle misure su dielettrici non sono trascurabili; 

esso consente, così, di associare alla misura di I un campo di corrente uniforme.  

oggetto in prova

V pA

I

  Ponte di Schering 

Per ricavare gli altri parametri (ε ε τs^, _∞^, ) del circuito equivalente di un dielettrico,  è  possibile  utilizzare  circuiti  risonanti,    metodi  volt‐amperometrici,  o  anche  metodi a ponte, quale il ponte di Schering o il ponte auto‐bilanciante. 

Cs C

Ra

R b A

B Vac

O' O

D

Rs

Ca

X c

+

OO’= diagonale di alimentazione;    AB = diagonale di rilevazione;    D= rilevatore di zero; 

C^c= Condensatore campione;    X= Oggetto in prova;    R^a, C^a, R^b= resistenze e capacità  variabili. 

Se  lʹoggetto  in  prova  è  schematizzato  con  una  capacità  C^s  in  serie  ad  una  resistenza  R^s,  ricordando  le  equazioni  di  equilibrio  del  ponte  Z Zc b =Z Za x,  si  ottiene: 

s b a c a

s c

b

R R C C C C R

R

=

=

Se siamo in grado di ricavare i parametri equivalenti R^s C^s dell’oggetto in prova  al  variare  della  frequenza,  possiamo  determinare  la  risposta  in  frequenza  del  dielettrico reale.  

Ricordiamo, infatti, che l’ammettenza equivalente del provino (dielettrico) è: 

(

)

*

* = ωε = jωε +σ_DC +ωε

d S d j S

Y  

mentre l’ammettenza equivalente del circuito R^s‐C^s serie è:  

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1

s s s

s

s s s s

R C C

Y j

R C R C

ω ω

ω ω

= +

+ +  

Uguagliando le due ammettenze, si ottiene: 

( )

2 2 2

'' 1

' 1

s s DC

s s

s

s s

S R C

d R C

C

j S j

d R C

γ ωε ω

ω ωε ω

ω

⎧ + =

⎪ +

⎪⎨

⎪ =

⎪ +

⎩

da cui: 

( ) ( )

2

2 2 2

2 2 2

'' 1

' 1

s s DC

s s

s

s s

R C d

S R C

C d

S R C

ω γ

ε ω ω ω

ε ω ω

⎧ = −

⎪ +

⎪⎨

⎪ =

⎪ +

⎩

Dallo spettro in frequenza di ε' e ''ε  si ricavano poi i termini ε_s e ε_∞.  Notiamo, poi, che dal circuito equivalente serie è possibile ricavare ^tgδ : 

I

I

δ

δ

V

V

V

V

V

R

s s C

tg V R C

δ =V =ω

Ricordando,  inoltre,  che  il  fattore  di  dissipazione  assume  il  suo  massimo  in  corrispondenza  di 

∞

= ε

ωτ ε^s ,  dallo  spettro  in  frequenza  di  ^tgδ   è  possibile  ricavare anche la costante di rilassamento τ. 

Discorsi analoghi possono esser fatti se si utilizza un circuito equivalente R^p‐C^p  parallelo dell’oggetto in prova.  

I

V I

I

δ

I

I

V

I

Dalla condizione di equilibrio del ponte si ricavano i parametri R^p e C^p: 

( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

1 1

a b a a

p

c a a

a c p

b a a

C R C R

R C C R

C R C

R C R

ω ω

ω

⎛ + ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= +

da cui, poiché l’ammettenza equivalente del circuito R^p‐C^p parallelo è:  

1

p p

Y j C

R ω

+

= +  

si ha: 

( ^'') ¹

'

DC

p

p

S

d R

j S j C

d γ ωε

ωε ω

⎧ + =

⎪⎪⎨

⎪ =

⎪⎩

e l’espressione di  ε ε', '' e tgδ in funzione dei parametri misurati: 

'' 1

'

1

DC p

p

p p

d S R dC S tg R C ε γ

ω ω

ε δ ω

⎧ = −

⎪⎪

⎪ =

⎨⎪

⎪ =

⎪⎩

R 1

C p p

tg I

I R C

δ ^{= =}ω