OTTIMIZZAZIONE DEGLI ALGORITMI DI RICOSTRUZIONE: DATI SIMULATI

Capitolo III

OTTIMIZZAZIONE DEGLI

ALGORITMI DI

RICOSTRUZIONE: DATI

SIMULATI

3.1-Introduzione

Ogni pixel dell’immagine è caratterizzato da un’intensità di segnale Si

proveniente dalla bobina i-esima tra le n di cui è composto l’array:

S

= ρ b

+e

Nel nostro caso l’intensità di segnale ρ è un’immagine a gradazioni di grigio per meglio rappresentare le variazioni dei tessuti all’interno di un’immagine NMR reale (Fig.3.1).

Fig.3.1-Immagine di partenza

Bi rappresenta, invece, la mappa di campo della bobina i-esima; nel

nostro caso è ottenuta con un simulatore di campo, seguendo l’approccio teorico visto nel Capitolo 2, paragrafo 2. Si è supposto un array a 4 bobine, ognuna di queste con raggio 300mm, percorsa da una corrente di 10 A. Nella figura sottostante se ne vede l’andamento a curve di livello, ad una profondità z di 10mm (Fig.3.2).

Fig.3.2-Curve di livello dei 4 campi magnetici alla coordinata z=10mm, per un phased-array con spire circolari di raggio=300mm e I=10 A

Andando ad applicare la (1), cioè a moltiplicare l’intensità di segnale per il campo magnetico di ogni bobina, si ottiene (Fig.3.3, Fig.3.4):

Fig.3.4-Prodotto dell’intensità di segnale per il campo della bobina 3 e 4

Alle quattro immagini andiamo a sommare del rumore, per ipotesi gaussiano e crescente dalla bobina uno alla bobina quattro, proprio come se queste fossero ottenute da un phased-array a quattro bobine con rumore differente nei quattro canali di ricezione (Fig.3.5).

Fig.3.5-Immagini rumorose

Si sono così ottenute le quattro immagini che simulano un phased-array a quattro bobine, a tali immagini si applicheranno ora gli algoritmi SoS ed SoS equalizzato, mettendo in risalto le differenze fra i due, e si stimerà il campo direttamente dall’immagine con il filtro di smoothing e la finestra di Hanning, confontandolo, poi, con l’andamento del campo che si è simulato.

3.2-SoS

Come abbiamo visto nel Capitolo II, partendo dall’equazione (1) arriviamo a ricostruire l’immagine finale dalle quattro immagini ottenute precedentemente, secondo l’equazione:

∑

=

S

P

Nel nostro caso le quattro immagini sono affette da rumore gaussiano diverso tra loro, per questo è necessario una equalizzazione del rumore di fondo. E’ utile per fare, poi, un confronto tra le due metodologie, andare a calcolare il rapporto segnale-rumore delle due immagini ricostruite, in una zona dell’immagine equidistante dalle quattro bobine. Scegliamo allora una ROI all’interno dell’immagine (Fig.3.7):

Fig.3.7-Scelta della ROI per il calcolo SNR

In tale ROI si ricava un rapporto segnale-rumore di 3.72, calcolato secondo l’equazione:

3.3-SoS equalizzata

Come già accennato precedentemente, essendo i rumori di fondo nelle quattro immagini diversi andiamo ad equalizzarli secondo l’equazione:

(

)

Le deviazioni standard sono state calcolate in ROI dove si aveva assenza di segnale e si è trovato:

σ

=

σ

=

σ

=

σ

=

Calcoliamo, ora, i tre rapporti di equalizzazione, chiaramente la prima immagine è quella meno rumorosa e non viene “pesata”.

1 2 σ σ =0.49 1 3 σ σ =0.33

1 4

σ

σ =0.26

Inserendo tali dati nell’equazione (4) si ha (Fig.3.8)

Fig.3.8-Immagine ricostruita con SoS equalizzata

Visivamente si nota che i segnali dati dalle bobine più rumorose sono stati anch’essi pesantemente attenuati, ma ciò non pregiudica la bontà dell’algoritmo, infatti se andiamo a calcolare il rapporto segnale-rumore in una ROI centrale (Fig.3.9), come fatto precedentemente per l’immagine ricostruita con la SOS, otteniamo un SNR=4.4 e quindi migliore del precedente.

Fig.3.9-Scelta della ROI per il calcolo SNR

Si può inoltre visualizzare la differenza tra le due immagini ricostruite (Fig.3.10) dove si nota l’apporto predominante delle immagini date dalle bobine più rumorose nella ricostruzione SoS.

3.4-Stima di campo con filtro di

smoothing

Abbiamo visto che andando ad applicare direttamente sulle immagini un filtraggio di smoothing questo rappresenta una stima del campo magnetico (Capitolo II, paragrafo 6).

In questo caso abbiamo applicato una finestra di smoothing larga 20 (Fig.3.11):

Si nota la presenza di artefatti a “stella” a cui si ovvierà applicando una finestra di Hanning.

Applicando la formula (31) del Capitolo II che riportiamo per comodità: opt k k SUPER

b

P

P

=

∑

otteniamo la ricostruzione dell’immagine globale usando la stima del campo (Fig 3.12).

Fig.3.12-Immagine finale ottenuta con algoritmo Super

Come si può vedere confrontando l’immagine ottenuta con l’algoritmo SoS e quella ottenuta con Super, quest’ultima appare con i contorni più netti e definiti.

Anche per questo algoritmo si può avere la versione equalizzata (Fig.3.13):

Fig.3.13-Immagine finale con Super equalizzata

Facciamo un confronto tra l’algoritmo Super e Super equalizzato (Fig.3.14 e 3.15).

Fig.3.15-Intensità della 128-esima riga di Super (nero) e Super equalizzato (celeste)

Come si vede dalla figura precedente l’algoritmo Super equalizzato abbatte pesantemente il rumore di fondo, soprattutto dove è più alto. Vediamo ora se veramente lo smoothing dell’immagine fornisce una stima di campo affidabile. I due profili di campo che si ottengono (Fig.3.16 e Fig.3.17) sono quelli del campo di partenza da noi simulato (in celeste) e quello ottenuto dallo smoothing dell’immagine data dalla bobina uno (in nero), entrambi calcolati alla 128-esima riga. Si nota che il campo ottenuto con lo smoothing rispecchia pienamente quello da noi simulato e tale similitudine aumenta al diminuire del rumore

sommato, quindi si può concludere che la stima di campo con filtraggio smoothing bene approssima il campo applicato.

Fig.3.16-Confronto tra profili di campo (celeste quello da noi simulato, nero quello ottenuto con smoothing) alla 128-esima riga

3.5-Stima di campo con finestra di

Hanning

Abbiamo visto che il filtraggio di smoothing introduce degli artefatti a “stella” eliminabili con l’uso di finestre di Hanning (Fig.3.18).

Fig.3.18-Filtraggio di Hanning sulle quattro immagini iniziali

Fig.3.19-Immagine finale ottenuta con Super equalizzata con finestra di Hanning

Abbiamo visto nel Capitolo II, paragrafo4, che nel confrontare immagini ottenute con SoS e Super occorre tener conto del parametro

2

1

SNR N− =

δ che aumenta con il numero di bobine dell’array e al diminuire del rapporto segnale-rumore. Anche nel nostro caso questa valutazione viene rispettata pienamente, infatti se consideriamo per ipotesi l’array composto da due sole bobine otteniamo un SNRSoSEqualiz.=4.5 e un SNRSuperEqualiz.=4.54 , praticamente senza alcuna

Fig.3.20-ROI in cui si calcola SNR nell’immagine ricostruita con SOS equalizzata e Super equalizzata con array a due bobine

Se si aumenta il rumore sommato si ha: SNRSoSEqualiz.=3.7 e un

SNRSuperEqualiz.=3.86 e quindi un leggero miglioramento della Super

equalizzata, come ci si aspettava, essendo il parametro δ dipendente dal quadrato del SNR e quindi dal quadrato del rumore (Fig.3.21).

Aumentando il numero di bobine, per esempio, ritornando a quattro, si ottiene SNRSoSEqualiz.=4.4 e SNRSuperEqualiz.=4.87 (Fig.3.22).

Fig.3.22-ROI in cui si calcola SNR nell’immagine ricostruita con SOS equalizzata e Super equalizzata con array a quattro bobine

Se ora aumentiamo il rumore sommato, otteniamo SNRSoSEqualiz.=3.9 e

SNRSuperEqualiz.=4.1 (Fig.3.23) e quindi una più alta efficienza da parte

dell’algoritmo Super all’aumentare del numero di bobine e al diminuire del SNR come indica il parametro δ.