CAPITOLO III
STIMA MULTIPLA CON L’USO DI FILTRI SELETTIVI
1.1
INTRODUZIONE
1.2
STIMA SATV MULTIPLA CON FILTRI
1.3
PROBLEMI RISCONTRATI
1.1 Introduzione
In questo capitolo verrà esaminato il problema della stima multipla utilizzando la tecnica SATV associata con l’utilizzo di filtri selettivi. L’idea di base è quella di poter riuscire a poter mettere in parallelo su un sistema fisico G(s) più sottosistemi SATV che, con l’utilizzo della tecnica del criterio del cerchio, riescano a stimare
1.2 Stima SATV multipla con filtri
In questo paragrafo verrà esposto il funzionamento, i risultati ottenuti ed i
problemi riscontrati nello sviluppo di un sistema basato su più sottosistemi con tecnica SATV connessi in parallelo su un sistema G(s) in modo da poter stimare contemporaneamente più parametri caratteristici della funzione di trasferimento G(s). Lo schema multiplo che permette il collegamento tra i vari sottosistemi SATV e il sistema fisico G(s) è quello di figura III.2.1.
Figura III.2.1 – Schema multiplo di collegamento tra i blocchi SATV e il sistema fisico G(s).
Ogni blocco di figura III.2.1 denominato come SATV i-esimo [9] contiene il modello SATV come mostrato in figura III.2.2 dove ognuno di tali blocchi è dedicato a calcolare solamente un parametro caratteristico della funzione di trasferimento G(s) (margine di fase, margine di ampiezza, sensibilità...).
Figura III.2.2 – Schema di funzionamento di un blocco SATV
All’interno del blocco di figura III.2.2 denominato processo P(s) vi è la retroazione fisica basata sul criterio del cerchio per calcolare uno specifico parametro del sistema fisico G(s). Tale schema contenuto all’interno del blocco processo P(s) è mostrato in figura III.2.3.
Figura III.2.3 – Schema che realizza la retroazione necessaria per il calcolo di un parametro della f.d.t G(s) utilizzando il criterio del cerchio
Dato che il sistema fisico G(s) rappresentato in figura III.2.3 è lo stesso per tutti i sottoschemi SATV e nell’ipotesi che G(s) sia un processo lineare, avremo che sull’uscita y non sarà presente un segnale ad una sola pulsazione (quella della relativa SATV i-esima) ma bensì sarà presente un segnale formato dalla somma dei segnali immessi da ogni sottoblocco SATV e quindi sarà necessario operare una sorta di selezione del segnale che riguarda la SATV i-esima buttando via gli altri segnali sovrapposti.
È stato deciso di operare tale selezione utilizzando un filtro selettivo che abbia la particolarità di non introdurre distorsione di fase nel centro banda del filtro.
La scelta del filtro è ricaduta quindi sul filtro di Butterworth [13]. Partendo da un filtro di Butterworth passa basso del secondo ordine con frequenza di taglio
π 2 1 = f la cui funzione di trasferimento è: 2 2 1 1 ) ( s s s B + + = (III.2.1)
Si vuole realizzare un filtro passa banda con limiti di banda Ω e1 Ω (rad/s) e larghezza 2 di banda ∆=Ω2−Ω1. Posto 1 2 0 2 1 2 0 Ω − Ω Ω = Ω Ω = Ω Q (III.2.2)
Si passa dalla (III.2.1) ad un filtro passa banda con la seguente trasformazione [13]
s s Q s 0 2 0 2 ) ( Ω Ω + = (III.2.3) quindi
2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 ) ( ) ( 2 1 1 ) ( s s Q s s Q s B Ω Ω + + Ω Ω + + = (III.2.4) si osserva che ∆ = Ω − Ω = Ω 1 1 1 2 0 Q (III.2.5)
Dalla (III.2.5) con la (III.2.4) si ottiene:
4 0 2 0 2 2 0 2 3 4 2 2 2 ) 2 ( 2 ) ( Ω + ∆Ω + ∆ + Ω + ∆ + ∆ = s s s s s s B (III.2.6)
In figura III.2.4 si può vedere il diagramma di Bode della funzione di trasferimento della formula (III.2.6).
I parametri noti del filtro sono la di centro banda e la larghezza di banda ∆ . Da questi due valori posso conoscere
∆ + = Ω ∆ − = Ω 2 2 2 1 ω ω (III.2.7)
La realizzazione adattiva del filtro può essere effettuata ponendo
4 2 1 Ω = ∆ = b a
∆ = ∆ + Ω = ∆Ω = 2 2 2 3 2 2 0 2 2 0 1 b b b
Riscrivendo la (III.2.6) come
u y b s b s b s b s s a s B = + + + + = 0 1 2 2 3 3 4 2 1 ) ( (III.2.8)
Figura III.2.4 – Diagramma di Bode del filtro di Butterworth passa banda per delta =0.1 e omega =0.8
Realizzato il filtro adattivo per selezionare la pulsazione dell’uscita del sistema G(s) relativa all’ingresso della SATV i-esima, lo schema di figura III.2.2 viene modificato inserendo in uscita al blocco processo P(s) il filtro regolato sulla frequenza relativa al segnale inviato dalla SATV stessa. Tale modifica può essere apprezzata in figura III.2.5.
Figura III.2.5 - – Schema di funzionamento di un blocco SATV con l’utilizzo del filtro adattivo di Butterworth
In questo modo ogni sottositema SATV ha un sottoblocco processo P(s) con schema di figura III.2.3 dove ha come parametri h e k diversi a seconda della stima che dovrà effettuare. Il sistema fisico G(s) sarà quindi attraversato dalla sommatoria di sinusoidi emesse da ogni blocco SATV e , presupposto che G(s) sia un sistema lineare, restituirà in uscita, quindi in ingresso ad ogni blocco SATV, lo stesso numero di sinusoidi modificate in fase ed in ampiezza. A questo punto all’interno di ogni sottosistema SATV ci sarà il filtro adattivo che dovrà riuscire a selezionare solamente la frequanza emessa dal proprio sistema.
Tale schema dovrebbe quindi permettere di poter effettuare l’analisi simultanea di più parametri.
1.3 PROBLEMI RISCONTRATI
Già nell’effettuare le prime prove del filtro di Butterwurth si sono riscontrati dei problemi che possono essere riassunti in tre punti:
o Poca selettività del filtro
o Rischio di introdurre uno sfasamento ulteriore dovuto al filtro o Tempi per arrivare a regime abbastanza alti
Saranno spiegati di seguito i tre problemi principali che hanno spinto a lasciare questa tecnica per effettuare la stima multipla contemporanea dei parametri di un sistema.
Dato che nel sistema finale verranno a sovrapporsi un numero di sinusoidi sicuramente maggiore di tre il filtro deve riuscire a distinguere una sinusoide dall’altra anche se queste si trovassero a due pulsazioni molto vicine tra loro. Per questo è stato deciso di regolare la larghezza di banda del filtro pari a 0.05 (rad/s). Nonostante la selettività del filtro non si riesce a separare completamente due sinusoidi che si trovano vicino tra loro ( 0.5 rad/s di differenza di pulsazione).
Questo si ripercuote sul blocco Phase detector il cui funzionamento si basa sull’uguaglianza di frequenza dei due segnali che riceve in ingresso. Questo quindi comporta delle stime di fase errate e un conseguente non convergenza del metodo SATV.
Il secondo problema elencato è dovuto principalmente alla funzione di trasferimento del filtro il quale, come si può ben vedere in figura III.2.4 ha una risposta in fase molto ripida attorno al centro banda del filtro. Questa particolarità può introdurre forti sfasamenti al segnale in uscita al sistema fisico G(s) comportando una stima di fase non del solo sistema G(s) ma del nuovo sistema formato dalla f.d.t di G(s) in cascata con la f.d.t del filtro. Anche questo problema, restituendo un stima di fase errata comporta un mancata convergenza del metodo SATV verso i paramentri da stimare.
Come ultimo problema si è notato che il filtro con larghezza di banda pari a 0.05 ha dei tempi per arrivare a regime dell’ordine di circa 200 secondi. Questo ha comportato l’utilizzo di tecniche (per bloccare l’avanzamento delle frequenze da controllare), che hanno inevitabilmente comportato un’incremento dei tempi di simulazione significativi. Tali tempi erano superiori a quelli necessari per stimare i soliti parametri singolarmente con l’utilizzo della tecnica SATV singola applicata più volte.
Viene allegato in seguito un’esempio di simulazione nella quale si hanno due segnali sinusoidali sommati tra loro che entrano nel filtro di Butterworth sopra specificato. Da tale esempio si può notare:
o La non completa separazione dei segnali o L’immissione uno sfasamento aggiuntivo o I lunghi tempi per arrivare a regime
In figura III.2.6 si può notare il segnale che entra in ingresso al filtro di Butterworth formato dalla somma di due sinusoidi la prima a frequenza 1 = 0.3 (rad/s) e la seconda a
frequenza 2 = 0.5 (rad/s); entrambe con fase nulla.
Il filtro di Butterworth in questo esempio è stato regolato in maniera fissa con frequenza di centro banda pari a = 0.5 (rad/s) e larghezza di banda = 0.05 (rad/s). Per tali valori si ottiene in uscita al filtro il segnale mostrato in figura III.2.7.
Figura III.2.7 – Segnale in uscita dal filtro di Butterworth
Si può notare che il tempo per arrivare a regime è molto alto (circa 200 secondi) e che il filtro non è riuscito ad eliminare completamente la frequenza a 0.3 (rad/s). Si nota infatti che il segnale in uscita dal filtro oscilla anche alla frequenza di 0.3 (rad/s). Questo si può meglio notare dall’oscillazione periodica della stima di fase di figura III.2.8 una volta che oscilla su un determinato valore.
Dalla figura III.2.8 si può evincere la stima dello sfasamento introdotto dal filtro stesso (circa 3 gradi nell’esempio effettuato) . Si può notare inoltre che nei primi 100 secondi si hanno delle stime di fase completamente errare; questo è dovuto al fatto che nei primi 100 secondi, come si può notare dalla figura III.2.7 il segnale in uscita dal filtro non è ancora consistente. Si evidenzia che le oscillazioni dopo i 150 secondi sul valore di circa 3 gradi (dell’esempio) sono dovute al fatto che il filtro non è riuscito ad eliminare del tutto la frequenza a 0.3 rad/s e quindi il funzionamento del phase detector è compromesso.
Si è deciso quindi di abbandonare l’utilizzo dei filtri per la stima dello sfasamento introdotto dal sistema fisico G(s) e di passare all’utilizzo della Trasformata veloce di Fourier per i motivi che verranno spiegati nei capitoli successivi.
