γ G := 1.35 γ M1 := 1.00 γ Q := 1.50 γ V := 1.25 γ M0 := 1.00 γ c := 1.50

Trave principale con soletta collaborante - Dott. Ing. Simone Caffè

Il seguente esempio tratta il calcolo di una trave principale con soletta collaborante ai sensi dell'EC4 in materia di sezioni miste.

Fattori parziali di sicurezza:

γ _G := 1.35 γ _M1 := 1.00 γ _Q := 1.50 γ _V := 1.25 γ _M0 := 1.00 γ _c := 1.50

Dati di input:

Lunghezza della trave principale: L _TP := 9.00 m ⋅ Lunghezza trave secondaria: L _TS := 7.50 m ⋅ Interasse delle travi principali: i _TP := 6.00 m ⋅ Interasse delle travi secondarie: i _TS := 3.00 m ⋅ Spessore della soletta: h := 120 mm ⋅

q _DL 0.75 kN m ²

⋅ Carico permanente DL: :=

Peso delle travi secondarie: q _TS 0.345 kN

⋅ m :=

Carico variabile LL: q _LL 2.50 kN

m ²

⋅ :=

γ _cls 25 kN m ³

⋅ Peso specifico calcestruzzo: :=

Caratteristiche meccaniche della sezione trasversale della trave:

h _b := 400 mm ⋅ b _b := 180 mm ⋅ t _wb := 8.6 mm ⋅ t _fb := 13.5 mm ⋅ r _b := 21 mm ⋅

Massa lineica della membratura:

m _b 66.3 kg

⋅ m

:=

q _b m _b ⋅ g 0.65 kN

⋅ m

= :=

Caratteristiche meccaniche della sezione trasverale:

A _b := 84.46 cm ⋅ ²

I _yb := 23130 cm ⋅ ⁴

W _{el_yb} := 1156 cm ⋅ ³

W _{pl_yb} := 1307 cm ⋅ ³ E _s := 210000 MPa ⋅ f _y := 355 MPa ⋅

Caratteristiche della lamiera grecata:

h = 120 mm ⋅

t _sheet := 0.75 mm ⋅ h _p := 58 mm ⋅ b ₁ := 62 mm ⋅ b ₂ := 101 mm ⋅ e _p := 207 mm ⋅

Caratteristiche dei connettori a taglio:

Passo massimo dei connettori:

d := 19 mm ⋅

h _sc := 100 mm ⋅ s _max 22 t ⋅ _fb 235 MPa ⋅

f _y

⋅ = 241.644 mm ⋅ :=

f _u := 450 MPa ⋅ Passo minimo dei connettori:

n _connettori := 70 s _min := 5 d ⋅ = 95 mm ⋅

Se la sezione è di classe 1 o 2 è consentita una distribuzione costante dei connettori.

s _connettori L _TP

n _connettori = 129 mm ⋅

:=

Caratteristiche del calcestruzzo C25/30:

f _ck := 25 MPa ⋅ E _cm := 31000 MPa ⋅

Determinazione dei carichi agenti sulla trave:

q _slab h 1 e _p

b ₂ + b ₁

( ) ^{⋅ h p}

2

 



 

⋅ 

 −

 

 

 ^{⋅ i TS ⋅ γ cls 7.287}

kN

⋅ m

= :=

q _TP q _b 0.65 kN

⋅ m

= :=

Carichi concentrati agenti sulla trave principale:

F _G ^:= ( q _slab + q _DL ⋅ i _TS + q _TS ) ^{⋅ L TS = 74.117 kN ⋅}

F _Q ^:= ( q _LL ⋅ i _TS ) ^{⋅ L TS = 56.25 kN ⋅}

Determinazione delle sollecitazioni allo STATO LIMITE ULTIMO:

M _Ed

γ _G ⋅ q _TP ⋅ L _TP ² 8

γ _G ⋅ F _G ⋅ L _TP

+ 3 γ _Q ⋅ F _Q ⋅ L _TP

+ 3 = 562.2 m kN ⋅ :=

V _Ed

γ _G ⋅ q _TP ⋅ L _TP

2 + γ _G ⋅ F _G + γ _Q ⋅ F _Q = 188.383 kN ⋅ :=

Classificazione della sezione trasversale:

f _y = 355 MPa ⋅

ε _s 235 MPa ⋅ f _y = 0.814 :=

Classificazione delle ali:

c _f ^:= 0.5 b ( _b − t _wb ) ^{− r b = 64.7 mm ⋅}

ρ _f c _f t _fb = 4.793 :=

CL _f 1 if ρ _f ≤ 9 ε ⋅ _s 2 if 9 ε ⋅ _s < ρ _f ≤ 10 ε ⋅ _s 3 if 10 ε ⋅ _s < ρ _f ≤ 14 ε ⋅ _s 4 otherwise

= 1

:=

Classificazione dell'anima:

c _w := h _b − 2 t ⋅ _fb − 2 r ⋅ _b = 331 mm ⋅

ρ _w c _w

t _wb = 38.488 :=

CL _w 1 if ρ _w ≤ 72 ε ⋅ _s 2 if 72 ε ⋅ _s < ρ _w ≤ 83 ε ⋅ _s 3 if 83 ε ⋅ _s < ρ _w ≤ 124 ε ⋅ _s 4 otherwise

= 1 :=

Classificazione della sezione:

CL ^:= max CL ( _f , CL _w ) ^{= 1}

Determinazione della larghezza effettiva della soletta collaborante:

Distanza tra gli assi dei connettori:

b ₀ := 0 mm ⋅

b _e1 min L _TP 8

i _TP , 2

 



 

 ^{= 1.125 m}

:=

b _e2 min L _TP 8

i _TP , 2

 



 

 ^{= 1.125 m}

:=

β ₁ min 0.55 0.025 L _TP b _e1

⋅

 +

 

 

 ^{, 1.0}

 



 

 ^{= 0.75}

:=

β ₂ min 0.55 0.025 L _TP b _e2

⋅

 +

 

 

 ^{, 1.0}

 



 

 ^{= 0.75}

:=

Larghezza effettiva in mezzeria:

b _{eff_1} ^:= min b  ( ₀ + b _e1 + b _e2 ) ^{, i TP}  ^{= 2.25 m}

Larghezza effettiva in sede di appoggio:

b _{eff_0} ^:= min b  ( ₀ + β ₁ ⋅ b _e1 + β ₂ ⋅ b _e2 ) ^{, i TP}  ^{= 1.688 m}

Determinazione della resistenza dei connettori:

Numero di connettori presenti in ciascuna greca:

n _r := 1

Calcolo del fattore di riduzione per effetto della greca parallela alla trave:

h ₀

b ₁ + b ₂

2 = 81.5 mm ⋅ :=

k _t

0.6 h ⋅ ₀ h _p

h _sc h _p − 1

 



 

⋅  = 0.611

:=

k _{t_max} := 0.75

Resistenza lato acciaio:

P _Rds

0.8 f ⋅ _u γ _V

π d ⋅ ² 4

 



 

⋅  = 81.656 kN ⋅ :=

Resistenza lato calcestruzzo:

α 0.2

h _sc d + 1

 



 

⋅ 

 



 

 ³

h _sc

≤ d ≤ 4 if

1.0 otherwise

= 1 :=

P _Rdc

0.29 α ⋅ ⋅ d ^{2 ⋅} ( f _ck ⋅ E _cm ) ^0.5

γ _V = 73.73 kN ⋅ :=

Resistenza della connessione:

P _Rd ^:= k _t ^⋅ min P ( _Rds , P _Rdc ) ^{= 45.014 kN ⋅}

Determinazione del grado di connessione:

Massima forza di compressione trasmissibile dalla soletta in calcestruzzo:

b _p h ₀ b _{eff_1}

e _p

 



 

⋅  = 885.87 mm ⋅

:= (larghezza complessiva delle greche per sez. a T equivalente)

N _cf 0.85 b ^{⋅ } _{eff_1} ^⋅ ( h − h _p ) ^{+ h p ⋅ b p  f} _γ ^ck

c

⋅ = 2704 kN ⋅ :=

Massima azione trasmissibile dai connettori (valutata su metà trave):

N _c min

n _connettori 2 ⋅ P _Rd , N _cf

 



 

 ^{= 1575 kN ⋅}

:=

Grado di connessione:

η N _c

N _cf = 0.583

:=

Minimo grado di connessione:

η _min max 1 355 MPa ⋅

f _y 0.75 0.03 L _TP

⋅ m

 −

 

 

⋅ 

 −

 

 

 ^{, 0.4}

 



 

 ^{= 0.52}

:= ρ _duttilità h _sc

d = 5.263 :=

δ _η "Connessione idonea" if η ≥ η _min

"Connessione non idonea" otherwise

"Connessione idonea"

= :=

Determinazione del momento resistente della trave (in mezzeria):

Calcolo della posizione dell'asse neutro plastico valutato rispetto all'intradosso della trave:

x _pl

A _b ⋅ f _y

γ _M0 0.85 η ⋅ b _{eff_1} ^⋅ ( h − h _p ) ^{f ck}

γ _c

⋅ b _p ⋅ h _p f _ck γ _c

⋅

 +

 

 

⋅ 

 −

 

 



2 b ⋅ _b f _y γ _M0

⋅

11.133 mm ⋅

= :=

h _n := h _b − x _pl = 388.867 mm ⋅ Nota:

La formula dell'asse neutro vale se solo se l'asse neutro taglia l'ala della trave:

ρ _na "Asse Neutro taglia la flangia" if x _pl ≤ t _fb

"Asse Neutro non taglia la flangia" otherwise

"Asse Neutro taglia la flangia"

= :=

Risultanti di compressione nella soletta:

N _c1 0.85 η ⋅ ⋅ b _{eff_1} ^⋅ ( h − h _p ) ^{f ck}

γ _c

⋅ = 1151 kN ⋅ :=

N _c2 0.85 η ⋅ ⋅ b _p ⋅ h _p f _ck γ _c

⋅ = 424 kN ⋅

:= N _c1 + N _c2 = 1575 kN ⋅

Risultante di compressione nella trave:

N _ac x _pl ⋅ b _b ⋅ f _y

γ _M0 = 711.4 kN ⋅

:= N _c1 + N _c2 + N _ac = 2287 kN ⋅

Risultante di trazione nella trave:

N _at A _b ⋅ f _y γ _M0 − N _ac

 



 

−  = − 2287 ⋅ kN

:=

Determinazione del momento resistente della sezione:

h _c := h − h _p = 62 mm ⋅

M _c1 ^:= N _c1 ^⋅ ( h _b + h − 0.5 h ⋅ _c ) ^{= 563 kN m ⋅ ⋅}

M _c2 ^:= N _c2 ^⋅ ( h _b + 0.5h _p ) ^{= 181.9 kN m ⋅ ⋅}

M _ac := N _ac ^⋅ ( h _b − 0.5 x ⋅ _pl ) = 280.607 kN m ⋅ ⋅ x _at

A _b ^⋅ ( 0.5 h ⋅ _b ) ^{− x pl ⋅ b b ⋅} ( ^{h b − 0.5 x ⋅ pl} )

A _b − x _pl ⋅ b _b = 139.515 mm ⋅ :=

M _at := N _at ⋅ x _at = − 319.059 ⋅ kN m ⋅

M _Rd := M _c1 + M _c2 + M _ac + M _at = 706.5 kN m ⋅ ⋅

ρ _M M _Ed

M _Rd = 0.796 :=

Determinazione della resistenza della soletta a taglio longitudinale:

Tensione tangenziale per unità di lunghezza (due superfici di taglio):

∆F _d ^:= 0.5 N ^⋅ ( _c1 + N _c2 ) ^{= 787.746 kN ⋅}

∆x := 0.5 L ⋅ _TP = 4.5 m

h _c = 62 mm ⋅

v _Ed

∆F _d

h _c ⋅ ∆x = 2.823 MPa ⋅ :=

La resistenza a taglio longitudinale si calcola nel seguente modo:

v _Rd 0.3 1 f _ck 250 MPa ⋅

 −

 

 



 



 



f _ck γ _c

⋅ = 4.5 MPa ⋅

:=

ρ _v v _Ed v _Rd = 0.627 :=

Determinazione dell'armatura minima per equilibrare la tensione v _Ed :

∆x = distanza tra la sezione di momento massimo (o minimo) e quella di momento nullo.

Passo delle armature trasversali:

s _f := 250 mm ⋅ f _yk := 450 MPa ⋅

f _yd f _yk

1.15 = 391.304 MPa ⋅ :=

A _{sf_min} v _Ed ⋅ h _c ⋅ s _f

f _yd = 111.84 mm ⋅ ² :=

Si possono utilizzare armature φ = 12mm

Verifiche agli Stati Limite di Esercizio:

Determinazione del momento d'inerzia della sezione mista per effetti di lungo termine:

n _LT 3E _s

E _cm = 20.323 :=

A _LT A _b h _c ⋅ b _{eff_1} + h _p ⋅ b _p n _LT

+ = 178.385 cm ⋅ ²

:=

y _LT

A _b ^⋅ ( 0.5 h ⋅ _b ) ^{h c ⋅ b eff_1}

n _LT ^⋅ ( h _b + h _p + 0.5 h ⋅ _c )

+ h _p ⋅ b _p

n _LT ^⋅ ( h _b + 0.5 h ⋅ _p )

+

A _LT = 34.366 cm ⋅

:=

I _{LT_trave} ^:= I _yb ⁺ A _b ^⋅ ( y _LT − 0.5h _b ) ^{2 = 40562 cm ⋅ 4}

I _{LT_soletta}

b _{eff_1} ⋅ h _c ³

12 ⁺ h _c ⋅ b _{eff_1} ^⋅ ( h _b + h _p + 0.5 h ⋅ _c − y _LT ) ^{2 b p ⋅ h p 3}

+ 12 ⁺ h _p ⋅ b _p ^⋅ ( h _b + 0.5 h ⋅ _p − y _LT ) ²



 



 

n _LT = 16631 cm ⋅ ⁴

:=

I _LT := I _{LT_trave} + I _{LT_soletta} = 57193.001 cm ⋅ ⁴

Determinazione del momento d'inerzia della sezione mista per effetti di breve termine:

n _BT E _s

E _cm = 6.774 :=

A _BT A _b

h _c ⋅ b _{eff_1} + h _p ⋅ b _p n _BT

+ = 366.236 cm ⋅ ²

:=

y _BT

A _b ^⋅ ( 0.5 h ⋅ _b ) ^{h c ⋅} _n ^{b eff_1}

BT

h _b + h _p + 0.5 h ⋅ _c

( )

⋅

+ h _p ⋅ b _p

n _BT ^⋅ ( h _b + 0.5 h ⋅ _p )

+

A _BT = 40.993 cm ⋅

:=

I _{BT_trave} ^:= I _yb ⁺ A _b ^⋅ ( y _BT − 0.5h _b ) ^{2 = 60351 cm ⋅ 4}

I _{BT_soletta}

b _{eff_1} ⋅ h _c ³

12 ⁺ h _c ⋅ b _{eff_1} ^⋅ ( h _b + h _p + 0.5 h ⋅ _c − y _BT ) ^{2 b p ⋅ h p 3}

+ 12 ⁺ h _p ⋅ b _p ^⋅ ( h _b + 0.5 h ⋅ _p − y _BT ) ²



 



 

n _BT = 14024 cm ⋅ ⁴

:=

I _BT := I _{BT_trave} + I _{BT_soletta} = 74374.934 cm ⋅ ⁴

Determinazione della freccia massima in mezzeria ( CASO SENZA P UNTELLARE LA TRAVE):

1 - fraccia dovuta al peso proprio (si usa il momento d'inerzia della trave in acciaio):

f _{G_TP} 5 384

q _TP ⋅ L _TP ⁴ E _s ⋅ I _yb

⋅ = 1.1 mm ⋅ :=

2 - fraccia dovuta alla soletta e a TS (si usa il momento d'inerzia della trave in acciaio):

F _{G_slab_TS} ^:= ( q _slab + q _TS ) ^{⋅ L TS = 57.242 kN ⋅}

f _{G_slab_TS}

i _TS  3 L ⋅ _TP ² − 4 i ⋅ _TS ²

 

⋅ 

24 E ⋅ _s ⋅ I _yb ⋅ F _{G_slab_TS} = 30.5 mm ⋅

:=

3 - fraccia dovuta a DL (si usa il momento d'inerzia della trave mista a lungo termine):

F _{G_DL} ^:= ( q _DL ⋅ i _TS ) ^{⋅ L TS = 16.875 kN ⋅}

f _{G_DL} i _TS  3 L ⋅ _TP ² − 4 i ⋅ _TS ²

 

⋅ 

24 E ⋅ _s ⋅ I _LT ⋅ F _{G_DL} = 3.6 mm ⋅ :=

4 - fraccia dovuta a LL (si usa il momento d'inerzia della trave mista a breve termine):

F _{Q_LL} ^:= ( q _LL ⋅ i _TS ) ^{⋅ L TS = 56.25 kN ⋅}

f _{Q_LL} i _TS  3 L ⋅ _TP ² − 4 i ⋅ _TS ²

 

⋅ 

24 E ⋅ _s ⋅ I _BT ⋅ F _{Q_LL} = 9.3 mm ⋅ :=

5 - fraccia complessiva:

f _TOT := f _{G_TP} + f _{G_slab_TS} + f _{G_DL} + f _{Q_LL} = 44.591 mm ⋅

ρ _freccia L _TP f _TOT = 202 :=

Determinazione della freccia massima in mezzeria ( CASO TRAVE PUNTELLATA):

1 - fraccia dovuta al peso proprio:

f G_TP_PUNTELLATA

5 384

q _TP ⋅ L _TP ⁴ E _s ⋅ I _LT

⋅ = 0.5 mm ⋅ :=

2 - fraccia dovuta alla soletta e a TS:

f G_slab_TS_PUNTELLATA

i _TS  3 L ⋅ _TP ² − 4 i ⋅ _TS ²

 

⋅ 

24 E ⋅ _s ⋅ I _LT ⋅ F _{G_slab_TS} = 12.3 mm ⋅ :=

3 - fraccia dovuta a DL:

f G_DL_PUNTELLATA := f _{G_DL} = 3.6 mm ⋅

4 - fraccia dovuta a LL:

f Q_LL_PUNTELLATA := f _{Q_LL} = 9.3 mm ⋅

5 - fraccia complessiva:

f TOT_PUNTELLATA := f G_TP_PUNTELLATA + f G_slab_TS_PUNTELLATA + f G_DL_PUNTELLATA + f Q_LL_PUNTELLATA = 25.7 mm ⋅

ρ freccia_PUNTELLATA

L _TP f TOT_PUNTELLATA

= 350

:=