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Academic year: 2021

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(1)

Trave principale con soletta collaborante - Dott. Ing. Simone Caffè

Il seguente esempio tratta il calcolo di una trave principale con soletta collaborante ai sensi dell'EC4 in materia di sezioni miste.

Fattori parziali di sicurezza:

γ G := 1.35 γ M1 := 1.00 γ Q := 1.50 γ V := 1.25 γ M0 := 1.00 γ c := 1.50

Dati di input:

Lunghezza della trave principale: L TP := 9.00 m ⋅ Lunghezza trave secondaria: L TS := 7.50 m ⋅ Interasse delle travi principali: i TP := 6.00 m ⋅ Interasse delle travi secondarie: i TS := 3.00 m ⋅ Spessore della soletta: h := 120 mm ⋅

q DL 0.75 kN m 2

⋅ Carico permanente DL: :=

Peso delle travi secondarie: q TS 0.345 kN

⋅ m :=

Carico variabile LL: q LL 2.50 kN

m 2

⋅ :=

γ cls 25 kN m 3

⋅ Peso specifico calcestruzzo: :=

Caratteristiche meccaniche della sezione trasversale della trave:

h b := 400 mm ⋅ b b := 180 mm ⋅ t wb := 8.6 mm ⋅ t fb := 13.5 mm ⋅ r b := 21 mm ⋅

Massa lineica della membratura:

m b 66.3 kg

⋅ m

:=

(2)

q b m b ⋅ g 0.65 kN

⋅ m

= :=

Caratteristiche meccaniche della sezione trasverale:

A b := 84.46 cm ⋅ 2

I yb := 23130 cm ⋅ 4

W el_yb := 1156 cm ⋅ 3

W pl_yb := 1307 cm ⋅ 3 E s := 210000 MPa ⋅ f y := 355 MPa ⋅

Caratteristiche della lamiera grecata:

h = 120 mm ⋅

t sheet := 0.75 mm ⋅ h p := 58 mm ⋅ b 1 := 62 mm ⋅ b 2 := 101 mm ⋅ e p := 207 mm ⋅

Caratteristiche dei connettori a taglio:

Passo massimo dei connettori:

d := 19 mm ⋅

h sc := 100 mm ⋅ s max 22 t ⋅ fb 235 MPa ⋅

f y

⋅ = 241.644 mm ⋅ :=

f u := 450 MPa ⋅ Passo minimo dei connettori:

n connettori := 70 s min := 5 d ⋅ = 95 mm ⋅

Se la sezione è di classe 1 o 2 è consentita una distribuzione costante dei connettori.

s connettori L TP

n connettori = 129 mm ⋅

:=

(3)

Caratteristiche del calcestruzzo C25/30:

f ck := 25 MPa ⋅ E cm := 31000 MPa ⋅

Determinazione dei carichi agenti sulla trave:

q slab h 1 e p

b 2 + b 1

( ) h p

2

 

 

⋅ 

 −

 

 

i TS γ cls 7.287

kN

⋅ m

= :=

q TP q b 0.65 kN

⋅ m

= :=

Carichi concentrati agenti sulla trave principale:

F G := ( q slab + q DL ⋅ i TS + q TS ) L TS = 74.117 kN

F Q := ( q LL ⋅ i TS ) L TS = 56.25 kN

Determinazione delle sollecitazioni allo STATO LIMITE ULTIMO:

M Ed

γ G ⋅ q TP ⋅ L TP 2 8

γ G ⋅ F G ⋅ L TP

+ 3 γ Q ⋅ F Q ⋅ L TP

+ 3 = 562.2 m kN ⋅ :=

V Ed

γ G ⋅ q TP ⋅ L TP

2 + γ G ⋅ F G + γ Q ⋅ F Q = 188.383 kN ⋅ :=

Classificazione della sezione trasversale:

f y = 355 MPa ⋅

ε s 235 MPa ⋅ f y = 0.814 :=

Classificazione delle ali:

c f := 0.5 b ( b − t wb ) r b = 64.7 mm

ρ f c f t fb = 4.793 :=

CL f 1 if ρ f ≤ 9 ε ⋅ s 2 if 9 ε ⋅ s < ρ f ≤ 10 ε ⋅ s 3 if 10 ε ⋅ s < ρ f ≤ 14 ε ⋅ s 4 otherwise

= 1

:=

(4)

Classificazione dell'anima:

c w := h b − 2 t ⋅ fb − 2 r ⋅ b = 331 mm ⋅

ρ w c w

t wb = 38.488 :=

CL w 1 if ρ w ≤ 72 ε ⋅ s 2 if 72 ε ⋅ s < ρ w ≤ 83 ε ⋅ s 3 if 83 ε ⋅ s < ρ w ≤ 124 ε ⋅ s 4 otherwise

= 1 :=

Classificazione della sezione:

CL := max CL ( f , CL w ) = 1

Determinazione della larghezza effettiva della soletta collaborante:

Distanza tra gli assi dei connettori:

b 0 := 0 mm ⋅

b e1 min L TP 8

i TP , 2

 

 

= 1.125 m

:=

b e2 min L TP 8

i TP , 2

 

 

= 1.125 m

:=

β 1 min 0.55 0.025 L TP b e1

 +

 

 

, 1.0

 

 

= 0.75

:=

β 2 min 0.55 0.025 L TP b e2

 +

 

 

, 1.0

 

 

= 0.75

:=

Larghezza effettiva in mezzeria:

b eff_1 := min b  ( 0 + b e1 + b e2 ) , i TP  = 2.25 m

Larghezza effettiva in sede di appoggio:

b eff_0 := min b  ( 0 + β 1 ⋅ b e1 + β 2 ⋅ b e2 ) , i TP  = 1.688 m

Determinazione della resistenza dei connettori:

Numero di connettori presenti in ciascuna greca:

n r := 1

(5)

Calcolo del fattore di riduzione per effetto della greca parallela alla trave:

h 0

b 1 + b 2

2 = 81.5 mm ⋅ :=

k t

0.6 h ⋅ 0 h p

h sc h p − 1

 

 

⋅  = 0.611

:=

k t_max := 0.75

Resistenza lato acciaio:

P Rds

0.8 f ⋅ u γ V

π d ⋅ 2 4

 

 

⋅  = 81.656 kN ⋅ :=

Resistenza lato calcestruzzo:

α 0.2

h sc d + 1

 

 

⋅ 

 

 

3

h sc

≤ d ≤ 4 if

1.0 otherwise

= 1 :=

P Rdc

0.29 α ⋅ ⋅ d 2 ( f ck ⋅ E cm ) 0.5

γ V = 73.73 kN ⋅ :=

Resistenza della connessione:

P Rd := k t min P ( Rds , P Rdc ) = 45.014 kN

Determinazione del grado di connessione:

Massima forza di compressione trasmissibile dalla soletta in calcestruzzo:

b p h 0 b eff_1

e p

 

 

⋅  = 885.87 mm ⋅

:= (larghezza complessiva delle greche per sez. a T equivalente)

N cf 0.85 b  eff_1 ( h − h p ) + h p b p  f γ ck

c

⋅ = 2704 kN ⋅ :=

Massima azione trasmissibile dai connettori (valutata su metà trave):

N c min

n connettori 2 ⋅ P Rd , N cf

 

 

= 1575 kN

:=

Grado di connessione:

η N c

N cf = 0.583

:=

(6)

Minimo grado di connessione:

η min max 1 355 MPa ⋅

f y 0.75 0.03 L TP

⋅ m

 −

 

 

⋅ 

 −

 

 

, 0.4

 

 

= 0.52

:= ρ duttilità h sc

d = 5.263 :=

δ η "Connessione idonea" if η ≥ η min

"Connessione non idonea" otherwise

"Connessione idonea"

= :=

Determinazione del momento resistente della trave (in mezzeria):

Calcolo della posizione dell'asse neutro plastico valutato rispetto all'intradosso della trave:

x pl

A b ⋅ f y

γ M0 0.85 η ⋅ b eff_1 ( h − h p ) f ck

γ c

⋅ b p ⋅ h p f ck γ c

 +

 

 

⋅ 

 −

 

 

2 b ⋅ b f y γ M0

11.133 mm ⋅

= :=

h n := h b − x pl = 388.867 mm ⋅ Nota:

La formula dell'asse neutro vale se solo se l'asse neutro taglia l'ala della trave:

ρ na "Asse Neutro taglia la flangia" if x pl ≤ t fb

"Asse Neutro non taglia la flangia" otherwise

"Asse Neutro taglia la flangia"

= :=

Risultanti di compressione nella soletta:

N c1 0.85 η ⋅ ⋅ b eff_1 ( h − h p ) f ck

γ c

⋅ = 1151 kN ⋅ :=

N c2 0.85 η ⋅ ⋅ b p ⋅ h p f ck γ c

⋅ = 424 kN ⋅

:= N c1 + N c2 = 1575 kN ⋅

Risultante di compressione nella trave:

N ac x pl ⋅ b b ⋅ f y

γ M0 = 711.4 kN ⋅

:= N c1 + N c2 + N ac = 2287 kN ⋅

Risultante di trazione nella trave:

N at A b ⋅ f y γ M0 − N ac

 

 

−  = − 2287 ⋅ kN

:=

Determinazione del momento resistente della sezione:

h c := h − h p = 62 mm ⋅

M c1 := N c1 ( h b + h − 0.5 h ⋅ c ) = 563 kN m

(7)

M c2 := N c2 ( h b + 0.5h p ) = 181.9 kN m

M ac := N ac ( h b − 0.5 x ⋅ pl ) = 280.607 kN m ⋅ ⋅ x at

A b ( 0.5 h ⋅ b ) x pl b b ( h b 0.5 x pl )

A b − x pl ⋅ b b = 139.515 mm ⋅ :=

M at := N at ⋅ x at = − 319.059 ⋅ kN m ⋅

M Rd := M c1 + M c2 + M ac + M at = 706.5 kN m ⋅ ⋅

ρ M M Ed

M Rd = 0.796 :=

Determinazione della resistenza della soletta a taglio longitudinale:

Tensione tangenziale per unità di lunghezza (due superfici di taglio):

∆F d := 0.5 N ( c1 + N c2 ) = 787.746 kN

∆x := 0.5 L ⋅ TP = 4.5 m

h c = 62 mm ⋅

v Ed

∆F d

h c ⋅ ∆x = 2.823 MPa ⋅ :=

La resistenza a taglio longitudinale si calcola nel seguente modo:

v Rd 0.3 1 f ck 250 MPa ⋅

 −

 

 

 

 

f ck γ c

⋅ = 4.5 MPa ⋅

:=

(8)

ρ v v Ed v Rd = 0.627 :=

Determinazione dell'armatura minima per equilibrare la tensione v Ed :

∆x = distanza tra la sezione di momento massimo (o minimo) e quella di momento nullo.

Passo delle armature trasversali:

s f := 250 mm ⋅ f yk := 450 MPa ⋅

f yd f yk

1.15 = 391.304 MPa ⋅ :=

A sf_min v Ed ⋅ h c ⋅ s f

f yd = 111.84 mm ⋅ 2 :=

Si possono utilizzare armature φ = 12mm

Verifiche agli Stati Limite di Esercizio:

Determinazione del momento d'inerzia della sezione mista per effetti di lungo termine:

n LT 3E s

E cm = 20.323 :=

A LT A b h c ⋅ b eff_1 + h p ⋅ b p n LT

+ = 178.385 cm ⋅ 2

:=

y LT

A b ( 0.5 h ⋅ b ) h c b eff_1

n LT ( h b + h p + 0.5 h ⋅ c )

+ h p ⋅ b p

n LT ( h b + 0.5 h ⋅ p )

+

A LT = 34.366 cm ⋅

:=

I LT_trave := I yb + A b ( y LT − 0.5h b ) 2 = 40562 cm 4

(9)

I LT_soletta

b eff_1 ⋅ h c 3

12 + h c ⋅ b eff_1 ( h b + h p + 0.5 h ⋅ c − y LT ) 2 b p h p 3

+ 12 + h p ⋅ b p ( h b + 0.5 h ⋅ p − y LT ) 2



 



 

n LT = 16631 cm ⋅ 4

:=

I LT := I LT_trave + I LT_soletta = 57193.001 cm ⋅ 4

Determinazione del momento d'inerzia della sezione mista per effetti di breve termine:

n BT E s

E cm = 6.774 :=

A BT A b

h c ⋅ b eff_1 + h p ⋅ b p n BT

+ = 366.236 cm ⋅ 2

:=

y BT

A b ( 0.5 h ⋅ b ) h c n b eff_1

BT

h b + h p + 0.5 h ⋅ c

( )

+ h p ⋅ b p

n BT ( h b + 0.5 h ⋅ p )

+

A BT = 40.993 cm ⋅

:=

I BT_trave := I yb + A b ( y BT − 0.5h b ) 2 = 60351 cm 4

I BT_soletta

b eff_1 ⋅ h c 3

12 + h c ⋅ b eff_1 ( h b + h p + 0.5 h ⋅ c − y BT ) 2 b p h p 3

+ 12 + h p ⋅ b p ( h b + 0.5 h ⋅ p − y BT ) 2



 



 

n BT = 14024 cm ⋅ 4

:=

I BT := I BT_trave + I BT_soletta = 74374.934 cm ⋅ 4

Determinazione della freccia massima in mezzeria ( CASO SENZA P UNTELLARE LA TRAVE):

1 - fraccia dovuta al peso proprio (si usa il momento d'inerzia della trave in acciaio):

f G_TP 5 384

q TP ⋅ L TP 4 E s ⋅ I yb

⋅ = 1.1 mm ⋅ :=

2 - fraccia dovuta alla soletta e a TS (si usa il momento d'inerzia della trave in acciaio):

F G_slab_TS := ( q slab + q TS ) L TS = 57.242 kN

f G_slab_TS

i TS  3 L ⋅ TP 2 − 4 i ⋅ TS 2

 

⋅ 

24 E ⋅ s ⋅ I yb ⋅ F G_slab_TS = 30.5 mm ⋅

:=

(10)

3 - fraccia dovuta a DL (si usa il momento d'inerzia della trave mista a lungo termine):

F G_DL := ( q DL ⋅ i TS ) L TS = 16.875 kN

f G_DL i TS  3 L ⋅ TP 2 − 4 i ⋅ TS 2

 

⋅ 

24 E ⋅ s ⋅ I LT ⋅ F G_DL = 3.6 mm ⋅ :=

4 - fraccia dovuta a LL (si usa il momento d'inerzia della trave mista a breve termine):

F Q_LL := ( q LL ⋅ i TS ) L TS = 56.25 kN

f Q_LL i TS  3 L ⋅ TP 2 − 4 i ⋅ TS 2

 

⋅ 

24 E ⋅ s ⋅ I BT ⋅ F Q_LL = 9.3 mm ⋅ :=

5 - fraccia complessiva:

f TOT := f G_TP + f G_slab_TS + f G_DL + f Q_LL = 44.591 mm ⋅

ρ freccia L TP f TOT = 202 :=

Determinazione della freccia massima in mezzeria ( CASO TRAVE PUNTELLATA):

1 - fraccia dovuta al peso proprio:

f G_TP_PUNTELLATA

5 384

q TP ⋅ L TP 4 E s ⋅ I LT

⋅ = 0.5 mm ⋅ :=

2 - fraccia dovuta alla soletta e a TS:

f G_slab_TS_PUNTELLATA

i TS  3 L ⋅ TP 2 − 4 i ⋅ TS 2

 

⋅ 

24 E ⋅ s ⋅ I LT ⋅ F G_slab_TS = 12.3 mm ⋅ :=

3 - fraccia dovuta a DL:

f G_DL_PUNTELLATA := f G_DL = 3.6 mm ⋅

4 - fraccia dovuta a LL:

f Q_LL_PUNTELLATA := f Q_LL = 9.3 mm ⋅

5 - fraccia complessiva:

f TOT_PUNTELLATA := f G_TP_PUNTELLATA + f G_slab_TS_PUNTELLATA + f G_DL_PUNTELLATA + f Q_LL_PUNTELLATA = 25.7 mm ⋅

ρ freccia_PUNTELLATA

L TP f TOT_PUNTELLATA

= 350

:=

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