2. INTEGRALI RICONDUCIBILI A INTEGRALI IMMEDIATI

www.saveriocantone.net

SC S CH H EM E MA A d d

1. Controllo se è un INTEGRALE IMMEDIATO

2. INTEGRALI RICONDUCIBILI A INTEGRALI IMMEDIATI

una stessa quantità; applico formule goniometriche e parametriche)

•  f x ( )

^

 f x dx '( ) ^{ f x} _ ^{( )} _

^

₁

^1

^{ c  }

• '( ) ( ) f x dx

 f x ^{ ln f x ( )  c ♣}

•  e

^{f x( )}

 f x dx '( ) ^{ ln f x ( )   c }

•  ^{cos f x}  ^{( )}  ^{ f x dx '( )  sen f x  ( )  c}

•  

²

'( ) 1 ( )

f x dx

 f x

 ^{ arctg f x  ( )   c}

• ….

3. RISOLUZIONE PER SOSTITUZIONE

4. RISOLUZIONE PER PARTI

(anche più volte) 5.

integrale di funzioni RAZIONALI FRATTE

a. gradoN(x) ≥ gradoD(x) eseguo la b. gradoN(x) < gradoD(x)

b.0

il numeratore è la derivata del denominatore

b.1 grado D(x)=1

aggiusto il polinomio

b.2 grado D(x)=2 3 casi

b.3 grado D(x)>=3…. Scompongo

1 2 3

( ) ( )

N x A B C

D x x x x x x x

   e ritorno a

reali e distinte si potrebbero avere vari casi



1



2



3



1 2 3

( )

N x A B C

x x x x x x  x x  x x  x x

     



1



^{3 1}



1

 

² 1 ³

( )

N x A B C

x x  x x  x x  x x

   

gradoN=0 o N=1

scompongo il denominatore come D(x)=(x-x₁)∙(x-x₂) e cerco A e B in modo da avere:

1 2

( ) ( )

N x A B

D x  x x x x

  e

risolvo l’integrale del tipo: ln

♣

grado

N=0

scompongo il denominatore per risolvere l’integrale tipo f(x)^α+1

di d i R RI IS SO OL LU UZ ZI IO O NE N E I IN NT TE EG G RA R AL LI I I IN ND DE EF FI IN NI IT T INTEGRALE IMMEDIATO

INTEGRALI RICONDUCIBILI A INTEGRALI IMMEDIATI

(es:aggiungo/sottraggo formule goniometriche e parametriche)

( 1)

c 

    ♥

ln f x c  e

^{f x( )}

 c ▪  a

^{f x( )}

 f x dx '( ) ^{ a ln a  c}



( ) sen f x c

 

▪  ^{sen f x}  ^{( )}  ^{ f x dx '( )}

( ) arctg f x c

 

♠ ▪

 

²

'( )

1 ( )

f x dx

 f x

 ^{ arcsen f x  c}

SOSTITUZIONE

(non è sempre facile capire quale sostituzione) (anche più volte)

:  ^{f g     ' f g}  ^{f g ' }

RAZIONALI FRATTE

eseguo la divisione fra polinomi

numeratore è la derivata del denominatore: ^{'( )}

( ) f x dx



f x

^{ ln f x ( )  c} ♣

aggiusto il polinomio N(x) per ritrovare: ^{'( )}

( ) f x dx



f x

^{ ln f x ( )  c}

3 casi

Scompongo D(x)=(x-x₁)∙(x-x₂)∙(x-x₃) e cerco A,B,C in modo da avere e ritorno ai casi precedenti f(x)^α+1♥ e ln♣. Se le soluzioni i potrebbero avere vari casi

:

1 2 3 1 2 3

N x A B C

x x x x x x  x x  x x  x x

     



1



2



² 2 ²

( )

N x A B C

x x x x

x x x x    x x

 

  



3 2 3

1 1 1

N x A B C

x x  x x  x x   ^{x x }

¹

^{N x}  ^{( )}  ^x

²

^{ p}  ^{ x x  A  Bx C x  p }

gradoN=0

scrivo il denominatore nella forma 1+f(x)² numeratone come f’(x) poi risolvo l’integrale del tipo arctg grado

N=1

scrivo il denominatore come D(x)=(x-x₀)² e cerco A e B in modo da avere:

2

0 0

( )

( ) ( )

N x A B

D x  x x  x x

 

e risolvo gli integrale del tipo ln

♣

e f(x)^α+1

♥ N=0

compongo il denominatore per risolvere l’integrale

+1

♥

Aggiornato il: 7 aprile 2021

TI T I

(es:aggiungo/sottraggo –moltiplico/divido

( )

/ ( ) a

f x

ln a c

 

( ) '( )

sen f x f x dx ^{  cos f x}  ^{( )}  ^{ c}

dx ^{ arcsen f x}  ^{( )}  ^{ c}

ln f x c ♣ ( ) ln f x c

 

♣

in modo da avere:

le soluzioni non fossero tutte

 

2 2

1 2

1 2 2

N x A B C

x x x x

x x x x    x x

 

  

2 1

( 0)

N x A Bx C

x x x p p

   

 

il

N=0

denominatore nella forma

e il numeratone come f’(x) poi risolvo l’integrale del

arctg

♠

GradoN=1 scrivo il

numeratore come la derivata del denominatore e risolvo un integrale del tipo ln

♣

e l’altro del tipo arctg

♠