Risoluzione degli integrali

(1)

Appendice A

Risoluzione degli integrali

Per la risoluzione in forma esatta degli integrali presenti nell’espressione (4.17) del Connection delay time e (4.18) del Missed connection delay time si ´e fatto uso di Mathematica 4.0

Il primo passo `e stato quello di definire la funzione erlang:

erlang[t , l , k ] := l ∗ Exp[−l ∗ t] ∗ (l ∗ t)ˆ(k − 1)/Gamma[k − 1] ∗ UnitStep[t]

sfruttando due funzioni gi`a definite in Mathematica, ovvero:

Gamma[k] = k!

Unitstep[t] =









1 per t > 0 0 per t < 0

Nel caso particolare esaminato però abbiamo k = 2, quindi si è provveduto, per semplicità, a definire la funzione:

145

(2)

erlang2[t , l ] := l ∗ Exp[−l ∗ t] ∗ (l ∗ t) ∗ UnitStep[t]

Il passo successivo è stato quello di risolvere, uno per uno, i vari integrali: prima però è stato necessario analizzare bene gli estremi di integrazione dei singoli integrali.

Si nota infatti che il range all’interno del quale varia la variabile di integrazione è tale che ogni volta si deve considerare una erlang e la successiva oppure una erlang e la precedente, appartenenti allo stesso treno di erlang relativo ad una certa linea ferroviaria. Per non commettere errori si è reso opportuno scrivere preventivamente i vari integrali come soma di due o più contributi in modo che all’interno di ogni singolo contributo la variabile di integrazione variasse all’interno di una stessa Erlang.

A.1 Il Connection delay time

Adottando il metodo suddetto, dalla

D_ikj = RK˜ik

Aik−Hikf (t_ik)dt_ikR_A_ij_+H_ij

K˜ij

³

t_ij − ˜K_ij

´

f (t_ij)dt_ij +R_A_ik_+H_ik

K˜ik

R_A_ij_+H_ij

tik− ˜Kik+ ˜Kij

³

tij − ˜Kij − tik+ ˜Kik

´

f (tij)f (tik)dtijdtik

per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 m_i, 1 6 k 6 m_i si ricava che (A.1):

Z K˜ik

Aik−Hik

f (t_ik)dt_ik = Z K˜ik

0

f (t_ik)dt_ik+ Z _H_ik

Aik

f (t_ik)dt_ik

ed anche (vedi A.2, a meno del termine tij − ˜Kij)

(3)

Figura A.1:

Figura A.2:

(4)

Z _A_ij_+H_ij

K˜ij

³

tij − ˜Kij

´

f (tij)dtij = Z _H_ij

K˜ij

³

tij − ˜Kij

´

f (tij)dtij+ Z _A_ij

0

³

tij + Hij − ˜Kij

´

f (tij)dtij

quindi il Connection delay time assume la forma:

D_ikj = ³RK˜ik

0 f (t_ik)dt_ik+R_H_ik

Aik f (t_ik)dt_ik

´

³R_H_ij

K˜ij

³

t_ij − ˜K_ij

´

f (t_ij)dt_ij +R_A_ij

0

³

t_ij + H_ij − ˜K_ij

´

f (t_ij)dt_ij

´

+R_A_ik_+H_ik

K˜ik

R_A_ij_+H_ij

tik− ˜Kik+ ˜Kij

³

tij − ˜Kij − tik+ ˜Kik

´

f (tij)f (tik)dtijdtik

per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 m_i, 1 6 k 6 m_i Per la risoluzione diRK˜ik

0 f (t_ik)dt_ik+R_H_ik

Aik f (t_ik)dt_ik mediante l’uso di Mathematica, essendo A_ik = 1/λ, basta scrivere:

Integrate[erlang2[tik, λ], {tik, 0, Kik}]

+Integrate[erlang2[tik, λ], {tik, 1/λ, Hik}, Assumptions− > (λ > 0)]

La soluzione fornita `e:

e^−1−H^ik^λ¡

2e^H^ik^λ− e (1 + H_ikλ)¢

UnitStep[Hik]

+e^−K^ik^λ¡

−1 + e^K^ik^λ− K_ikλ¢

UnitStep[Kik]

che, tenuto conto che UnitStep[Hik] = 1 e UnitStep[Kik] = 1, diventa:

e^−1−H^ik^λ¡

2e^H^ik^λ − e (1 + Hikλ)¢

+ e^−K^ik^λ¡

−1 + e^K^ik^λ− Kikλ¢

(A.1)

(5)

Analogamente la soluzione di R_H_ij

K˜ij

³

tij − ˜Kij

´

f (tij)dtij +R_A_ij

0

³

tij + Hij − ˜Kij

´

f (tij)dtij

`e ottenuta da Mathematica come:

Integrate[erlang2[tik, λ], {tik, 0, Kik}]

+Integrate[erlang2[tik, λ], {tik, 1/λ, Hik}, Assumptions− > (λ > 0)]

e, una volta tenuto conto che UnitStep[Hij] = 1, UnitStep[Kij] = 1 e UnitStep[1/λ] = 1, si ottiene:

1

eλ(−5 − 2H_ijλ + 2K_ijλ + e (2 + H_ijλ − K_ijλ)) (A.2) +1

λe^−K^ij^λ¡

2 − 2e^K^ij^λ+ Kijλ + e^K^ij^λKijλ¢

−1

λe^−H^ij^λ¡

2 − 2e^H^ij^λ+ 2H_ijλ − K_ijλ + e^H^ij^λK_ijλ + H_ij²λ²− K_ijH_ijλ²¢

Si passa quindi a risolvere l’integrale doppio R_A_ik_+H_ik

K˜ik

R_A_ij_+H_ij

tik− ˜Kik+ ˜Kij

³

t_ij − ˜K_ij − t_ik+ ˜K_ik

´

f (t_ij)f (t_ik)dt_ijdt_ik definendo innanzitutto:

erlang3[t , l , H ] : = l ∗ Exp[−l ∗ t] ∗ (l ∗ t) ∗ UnitStep[t] (A.3) +l ∗ Exp[−l ∗ (t − H)] ∗ (l ∗ (t − H)) ∗ UnitStep[t − H]

(6)

G[tik , Kik , Kij , λ , Hij ] : = Integrate[(tij − Kij − tik + Kik) ∗ erlang3[tij, λ, Hij], {tij, tik − Kik + Kij, 1/λ + Hij}]

GG[Hik , Kij , Kik , λ , Hij ] : = Integrate[G[tik, Kik, Kij, λ, Hij], {tik, Kik, 1/λ + Hik},

Assumptions− > (Kij > 0)]

quindi chiedendo a Mathematica la soluzione di

GG[Hik, Kij, Kik, λ, Hij] (A.4)

Subito dopo si operano i dovuti raggruppamenti per semplificare la forma del risultato ottenuto e si sostituiscono opportunamente gli UnitStep di cui si conosce per certo il valore (0 oppure 1): l’unico UnitStep rimasto e che andr`a di volta in volta valutato in fase di ottimizzazione `e:

UnitStep[−Hij + Hik + Kij − Kik + 1 λ]

A questo punto non resta che far risolvere a Mathematica l’espressione data da:

A.1*A.2+A.4

Il risultato finale, una volta semplificato mediante il comando Simplify[%] `e:

(7)

−e^−1−H^ij^λH_ij² + HijHik−2H_ijH_ik

e − 3e^−1−H^ij^λHijHik− H_ik²

2 + H_ik²

e + e^−1−H^ij^λH_ik² +e^−1−H^ij^λH_ijK_ij − H_ikK_ij +2H_ikK_ij

e + 2e^−1−H^ij^λH_ikK_ij − H_ijK_ik+2H_ijK_ik e +3e^−1−H^ij^λH_ijK_ik+ H_ikK_ik− 2H_ikK_ik

e − 2e^−1−H^ij^λH_ikK_ik+ K_ijK_ik− 2K_ijK_ik e

−2e^−1−H^ij^λK_ijK_ik− K_ik²

2 +K_ik²

e + e^−1−H^ij^λK_ik² + 3

2λ² − 4

eλ² + 3e^−K^ij^λ

λ² − 4e^−1−H^ij^λ λ²

−4e^−1−Hîk^λ−Kîj^λ+Kîk^λ λ² +Hij

λ −2Hij

eλ − 7e^−1−H^ij^λHij

2λ +Hik

λ − 3Hik

eλ − 3e^−1−H^ij^λHik

λ

−e^−1−Hîk^λ−Kîj^λ+Kîk^λH_ik

λ − K_ij

λ +2K_ij

eλ +e^−K^ij^λK_ij

λ + 2e^−1−H^ij^λK_ij λ

−e^−1−Hîk^λ−Kîj^λ+Kîk^λK_ij

λ² − K_ik

λ +3K_ik

eλ + 3e^−1−H^ij^λK_ik

λ + e^−1−Hîk^λ−Kîj^λ+Kîk^λK_ik λ

−e^−1−H^ij^λH_ij²H_ikλ + 1

2e^−1−Hîj^λH_ijH_ik²λ + e^−1−Hîj^λH_ijH_ikK_ijλ + e^−1−Hîj^λH_ij²K_ikλ

−e^−1−H^ij^λH_ijH_ikK_ikλ − e^−1−H^ij^λH_ijK_ijK_ikλ +1

2e^−1−H^ij^λH_ijK_ik²λ

+1 λ







e^−2−Hîj^λ−Hîk^λ−Kîj^λ−Kîk^λ







2e^(Hîk^+Kîk^)λ+ e^1+Hîk^λ+Kîk^λ− e^1+Kîk^λ(1 + Hikλ)

−e^1+H^ik^λ(1 + K_ikλ)













e^1+Hîj^λ+Kîj^λ(2 + H_ijλ − K_ijλ) + e^1+Hîj^λ(2 + K_ijλ) +e^(Hîj^+Kîj^)λ(−5 − 2Hijλ + 2Kijλ)

+e^1+K^ij^λ¡

−2 + K_ijλ − H_ij²λ²+ H_ijλ (−2 + K_ijλ)¢













+ 1 2λ²







e^−1−H^ik^λ−K^ij^λUnitStep[−H_ij + H_ik+ K_ij − K_ik+ ¹_λ]







2e^(Hîj^+Kîj^)λ(−4 + Hijλ − Hikλ − Kijλ + Kikλ) + e^1+Hîk^λ+Kîj^λ







3 − 2K_ijλ + 2K_ikλ + H_ij²λ²+ H_ik²λ²+ K_ij²λ²− 2K_ijK_ikλ² +K_ik²λ²+ 2H_ikλ (−1 + K_ijλ − K_ikλ)

−2Hikλ (−1 + Hikλ + Kijλ − Kikλ)



















(8)

Analogamente a quanto gi`a visto per il Connection delay time, dalla

M_ikj = hR_A_ik_+H_ik

K˜ik f (t_ik)dt_ikRK˜ij

Aij−Hijf (t_ij)dt_iji H_ij+ hR_A_ik_+H_ik

K˜ik

R_t_ik_{− ˜}_K_ik_{+ ˜}_K_ij

K˜ij f (t_ij)f (t_ik)dt_ijdt_ik i

H_ij

si ricava che (A.3):

Z _A_ik_+H_ik

K˜ik

f (t_ik)dt_ik = Z _H_ik

K˜ik

f (t_ik)dt_ik+ Z _A_ik

0

f (t_ik)dt_ik

ed anche (A.4)

Z K˜ij

Aij−Hij

f (tij)dtij = Z _H_ij

Aij

f (tij)dtij + Z K˜ij

0

f (tij)dtij

quindi il Missed connection delay time assume la forma:

M_ikj = ³R_H_ik

K˜ik f (t_ik)dt_ik+R_A_ik

0 f (t_ik)dt_ik

´

³R_H_ij

Aij f (tij)dtij +RK˜ij

0 f (tij)dtij

´ Hij

+hR_A_ik_+H_ik

K˜ik

R_t_ik_{− ˜}_K_ik_{+ ˜}_K_ij

K˜ij f (t_ij)f (t_ik)dt_ijdt_ik i

H_ij per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 m_i, 1 6 k 6 m_i

Per la risoluzione diR_H_ik

K˜ik f (t_ik)dt_ik+R_A_ik

0 f (t_ik)dt_ikmediante l’uso di Mathematica, essendo Aik = 1/λ, basta scrivere:

(9)

Figura A.3:

Figura A.4:

(10)

Integrate[erlang2[tik, λ], {tik, Kik, Hik}]

+Integrate[erlang2[tik, λ], {tik, 0, 1/λ}, Assumptions− > (1\/λ > 0)]

che, tenuto conto che UnitStep[Hik] = 1, UnitStep[Kik] = 1 e UnitStep[1/λ] = 1, diventa:

−−2 + e

e + e^−H^ik^λ¡

−1 + e^H^ik^λ− Hikλ¢

− e^−K^ik^λ¡

−1 + e^K^ik^λ− Kikλ¢

(A.5)

Analogamente la soluzione di R_H_ij

Aij f (t_ij)dt_ij +RK˜ij

0 f (t_ij)dt_ij

`e ottenuta da Mathematica come:

Integrate[erlang2[tij, λ], {tij, 1/λ, Hij}] + Integrate[erlang2[tij, λ], {tij, 0, Kij}]

e, una volta tenuto conto che UnitStep[Hij] = 1, UnitStep[Kij] = 1 e UnitStep[1/λ] = 1, si ottiene:

e^−K^ij^λ¡

−1 + e^K^ij^λ− K_ijλ¢

− −2 + e

e + e^−H^ij^λ¡

−1 + e^H^ij^λ − H_ijλ¢

(A.6)

Si passa quindi a risolvere l’integrale doppio R_A_ik_+H_ik

K˜ik

R_t_ik_{− ˜}_K_ik_{+ ˜}_K_ij

K˜ij f (t_ij)f (t_ik)dt_ijdt_ik definendo questa volta:

(11)

G[tik , Kik , Kij , λ , Hij ] := Integrate[erlang3[tij, λ, Hij], {tij, Kij, tik−Kik+Kij}]

GG[Hik , Kij , Kik , λ , Hij ] : = Integrate[G[tik, Kik, Kij, λ, Hij], {tik, Kik, 1/λ + Hik},

Assumptions− > (Kij > 0)]

essendo erlang3 (A.3) la stessa funzione gi`a definita e quindi chiedendo a Mathe- matica la soluzione di

GG[Hik, Kij, Kik, λ, Hij] (A.7)

A questo punto si operano i dovuti raggruppamenti per semplificare la forma del risultato ottenuto e si sostituiscono gli UnitStep di cui si conosce il valore: l’unico UnitStep rimasto e che andr`a di volta in volta valutato in fase di ottimizzazione `e:

UnitStep[−Hij + Hik + Kij − Kik + 1/λ]

A questo punto non resta che far risolvere a Mathematica l’espressione data da:

Hij ∗ (A.5 ∗ A.6 + A.7)

Il risultato finale, una volta semplificato mediante il comando Simplify[%] `e:

(12)

H_ije^−K^ij^λ







Hik+ e^−1−Hîk^λ+Kîk^λHik+ e^−1−Hîk^λ+Kîk^λKij − Kik− e^−1−Hîk^λ+Kîk^λKik

−¹_λ +^3e−1−Hikλ+Kikλ

λ + H_ikK_ijλ − K_ijK_ikλ + e^−2−Hîj^λ−Hîk^λ+Kîk^λ







2e^(Hîj^+Kîj^)λ+ e^1+Hîj^λ+Kîj^λ

−e^1+K^ij^λ(1 + Hijλ) − e^1+H^ij^λ(1 + Kijλ)













−2e^(Hîk^+Kîk^)λ+ e^1+Hîk^λ+Kîk^λ

−e^1+K^ik^λ(1 + H_ikλ) − e^1+H^ik^λ(1 + K_ijλ)







−

e^−1−H^ik^λ







e^(Hîj^+Kîk^)λ(−3 + Hijλ − Hikλ − Kijλ + Kikλ) +e^1+Hîk^λ+Kîj^λ(1 + H_ijλ − H_ikλ − K_ijλ + K_ikλ)







UnitStep[−H_ij + H_ik+ K_ij − K_ik+_λ¹]

λ







(13)

Bibliografia

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