la funzione è dunque continua

derivabilità.doc 1

Studio di derivabilità

Studiare continuità e derivabilità delle seguenti funzioni 1) 





− ≥

<

+

−

= 2

1 3

2

2 1 x x

x x

y

2)









− >

− ≤

= 6 3

21 1 3

4

2

x x x x y

3) y= x² +x−6 4) y=³ (2 x− )²

5) y= x^{3 2} −4 6) y= 4 x− ²

SOLUZIONI

1. Il dominio della funzione è D=R in quanto il denominatore del secondo tratto si annulla in x=1, punto che appartiene al primo tratto. Va verificata la continuità in x=2: ( )2 3 lim ( ) lim ( )

2

2 f x f x

f =− = x→ ⁺ =x→ ⁻ ; la funzione è dunque continua. Per la derivabilità va studiata la continuità della derivata prima:

( ) ^_( )





− ≥

<

−

= 2

1 3

2 2

'

2 x

x

x x

x

f ; '( )2 3 lim '( ) lim '( ) 4

2

2 ≠ =−

=

= _{+ −}

→

→ f x f x

f x x

si tratta dunque di un punto spigoloso (vedi grafico).

2. Il dominio della funzione è D={x∈R/x≠1}; in x=1 presenta una discontinuità di II specie ed un asintoto verticale. Va verificata la continuità in x=3: ( )3 2 lim ( ) lim ( )

3

3 f x f x

f =− =x→⁻ =x→⁺ ; la funzione è dunque

continua. Per la derivabilità va studiata la continuità della derivata prima:

( ) ( )









>

− ≤

= 3 3

1 3 4 '

2

x x x x x

f ^; '( )3 1 lim '( ) lim '( )

3

3 f x f x

f = =x→ ⁻ =x→ ^{+ ; la}

funzione è dunque derivabile in x=3 (vedi grafico).

derivabilità.doc 2

3. La funzione esiste sempre ed è continua; per lo studio della derivabilità conviene scriverla come funzione a tratti e calcolarne la derivata:







≤

≤

− +

−

−

≥

∪

−

≤

−

= +

2 3

6

2 3

6

2 2

x x

x

x x

x

y x ; ( )





≤

≤

−

−

−

≥

∪

−

≤

= +

2 3 1

2

2 3 1

' 2

x x

x x

x x f

x=-3 '( )3 5 lim '( ) lim '( ) 5

3

3 ≠ =

=

−

=

− _{− +}

−

→

−

→ f x f x

f x x

x=2 '( )2 5 lim '( ) lim '( ) 5

2

2 ≠ =

=

−

= _{− +}

→

→ f x f x

f x x

Si tratta dunque di due punti spigolosi (vedi grafico)

4. La funzione esiste sempre, D=R ed è continua. Si calcola la derivata prima: ( ) ₃

2 3 ' 2

x x

f = ⋅ − ; la derivata prima ha dunque una discontinuità in x=2; ₋ ( )=+∞≠ ₊ ( )=−∞

→

→ f x f x

x

xlim ' lim '

2

2 ; si ha dunque un punto a tangenza

verticale, in particolare di una cuspide (vedi grafico).

5. La funzione esiste sempre, D=R ed è continua. Si calcola la derivata prima: ( )

( )

3 2 42

3 ' 2

−

= ⋅ x x x

f ; la derivata prima ha dunque due discontinuità in x=±2; ₋ ( )⁼ ₊ ( )^=+∞

→

→ f x f x

x

xlim ' lim '

2

2 ; ₋ ( )⁼ ₊ ( )^=+∞

−

→

−

→ f x f x

x

xlim ' lim '

2

2 si

hanno dunque due punti a tangenza verticale, in particolare due flessi verticali (vedi grafico).

derivabilità.doc 3

6. La funzione ha il seguente dominio: D={x∈R/−2≤x≤2} ^{ed qui è}

continua. Si calcola la derivata prima: ( )

4 2

' x

x x

f =− − ; la derivata prima ha dunque due discontinuità in x=±2; ₋ ( )=−∞

→ f x

x '

lim2 ; ₊ ( )=+∞

−

→ f x

xlim '

2 si

hanno dunque due punti a tangenza verticale (vedi grafico).