Esercizio 1. Mostrare che la funzione f (x) = x 2 − 1 è crescente per x > 0 e determinare la funzione inversa, indicandone prima di tutto il dominio.

POSSIBILE SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI PER IL TUTORAGGIO DEL 29/10/2010

Esercizio 1. Mostrare che la funzione f (x) = x ² − 1 è crescente per x > 0 e determinare la funzione inversa, indicandone prima di tutto il dominio.

Soluzione. Abbiamo che f ⁰ (x) = 2x > 0 per x > 0, quindi la funzione è crescente.

Poichè f (0) = −1 e

x→+∞ lim f (x) = +∞,

per x > 0 f assume tutti i valori compresi nell’intervallo (−1, +∞) che è quindi l’insieme di definizione della funzione inversa. Per calcolare l’inversa abbiamo

y = x ² − 1 ⇒ x ² = y + 1 ⇒ x = ± p y + 1.

Poichè x > 0 e la radice è sempre positiva abbiamo che f ⁻¹ (y) = √

y + 1. 

Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti:

1. lim x→1 x

−1 x−1 , 2. lim x→0 sin 3x

2x , 3. lim x→0 sin x

x

. Soluzione.

1. lim

x→1

x ² − 1 x − 1 = lim

x→1

(x − 1)(x + 1) x − 1 = lim

x→1 x + 1 = 2, 2. lim

x→0

sin 3x 2x = 3

2 lim

x→0

sin 3x 3x

y=3x = 3 2 lim

y→0

sin y y = 3

2 , 3. lim

x→0

sin x ² x ²

y=x

= lim

y→0

sin y y = 1, dove si deve ricordare il limite notevole lim x→0 sin x

x = 1. 

Esercizio 3. Trovare un intervallo di lunghezza non superiore a 1/2 in cui si annulla il polinomio x ³ − x ² + 2x − 1.

Soluzione. Poichè in 0 il polinomio vale −1 e in 1 vale 1 per il teorema di esi- stenza degli zeri il polinomio si annulla almeno una volta nell’intervallo (−1, 1) che però ha lunghezza superiore a 1/2. In 1/2 però il polinomio vale −1/4 e dunque nell’intervallo (1/2, 1) per lo stesso teorema c’è un punto in cui il polinomio si

annulla. 

Esercizio 4. Trovare una funzione definita nell’intervallo [1, 2] e continua dapper- tutto eccetto in due punti, in uno dei quali la funzione ha una discontinuità di prima specie e nell’altro una discontinuità di seconda specie.

Soluzione. Possiamo prendere ad esempio la funzione f (x) =

 1

x−1 , 1 < x < 2, 0, x = 2.



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