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Sia , si dice che M è massimo assoluto (o

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Academic year: 2021

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(1)

Massimo e minimo assoluti Derivata di una funzione

Definizione

Sia , si dice che M è massimo assoluto (o globale) di f in [a,b] e è punto di massimo se

R b

a

f :[ , ] 

] ,

0 [a b

x

] , [

), ( )

(x0 M f x x a b

f    

In modo analogo:

Si dice che m è un minimo assoluto (o globale) di f in [a,b]

e è punto di minimo se

] ,

1 [a b

x

] , [

), ( )

(x1 m f x x a b

f    

(2)

Massimo e minimo relativi (o estremi locali) Derivata di una funzione

Definizione

Sia , si dice che è un punto di massimo relativo (o locale) per f(x) se

R b

a

f :[ , ]  x0 [a,b]

) , (

), ( )

(x0 f x x I x0

f   

In modo analogo:

Si dice che è un punto di minimo relativo (o locale) per f (x) se

] ,

1 [a b

x

) , (

), ( )

(x1 f x x I x1

f   

: ) , (x0

I

: ) , (x1

I

(3)

x è di max o min relativo in un intorno di x. (la relazione

≥ 𝑜 ≤ vale solo in I

a x1 x2 x3 b

a, b, x2 punti di massimo relativo x1, x3 punti di minimo relativo x3 punto di minimo assoluto b punto di massimo assoluto M

m

(4)

Punti Stazionari

Def. I punti in cui f(x) ha derivata nulla (f’(x) = 0) Si dicono punti stazionari o critici.

(5)

Teorema di Fermat

Sia f(x) definita in [a,b] e derivabile in Se è un punto di estremo locale allora

).

,

0 (a b

xx0

0 )

( 0

x f

Sia un punto di massimo relativo, cioè x0I(x0,

) :

f x h h h x

f ( 0) ( 0 ), :

si ha:

0

0 0

) 0 (

)

( 0 0



 

h se

h se

h

x f h

x f

Dimostrazione

(6)

0 )

) ( ( )

lim ( 0 0 0

0

 

 

f x

h

x f h

x f

h

0 )

) ( ( )

lim ( 0 0 0

0

 

 

f x

h

x f h

x f

h

e

Ma essendo f(x) derivabile in : x0

. 0 )

( )

( )

( 0   0   0

x f x f x

f

Teorema di Fermat (Dimostrazione)

(7)

se invece è un punto di minimo relativo, allora

Se allora e se è un punto di massimo relativo si ha

a

x0  0  h

x0

0 )

) ( ( )

lim (

0

 

 

f a

h

a f h

a f

h

Mentre, nel caso di minimo relativo in : 0

) ) (

( )

lim (

0

 

 

f a

h

a f h

a f

h

a x0

In modo analogo: se è punto di massimo relativo (con ) allora ,

b x0

0 )

( 

b f

b x0  0

)

( 

b f

 0

h

Teorema di Fermat (Dimostrazione)

(8)

Esercizio

Calcolare i punti critici per f(x) classificare i punti di non derivabilità

3 1

)

(xx xf

(9)

Esercizio

Calcolare i punti critici per f(x) classificare i punti di non derivabilità

| ln

| )

(x x x

f

(10)

Esercizio

Calcolare la derivata di f (x)  xlnx

(11)

Sia f:[a,b]

R.

i) f è continua in [a,b], ii) f è derivabile in,(a,b) iii) f(a)= f(b)

Allora  x0(a,b) : Teorema di Rolle

a b

f(a)=f(b)

x0

Per il Teorema di Rolle esiste almeno un punto a tangente orizzontale

0 )

( 0

x f

(12)

Se uno dei due è interno ad [a,b], per es. x1 allora per il Teorema di Fermat

Dimostrazione.

Per il Teorema di Weierstrass, f ha massimo e minimo assoluti in [a,b] ( x1,x2 ∊[a,b ] ):

).

( )

( )

(x1 f x f x2

f  

0 )

( 1

x f

Teorema di Rolle

(13)

Se invece nessuno dei due è interno ad [a,b] per es.

x1=a, x2 =b

Dall’ipotesi f(a)= f(b) si ottiene minimo=massimo, Cioè f(x) è costante e quindi x[ ba, ]

Teorema di Rolle

0 )

( 

x

fx[ ba, ]

(14)

Esercizio

Dire se la funzione soddisfa il teorema di

Rolle nell’intervallo [-1,1] e in caso affermativo calcolare il punto (o i punti) del Teorema.

2 1

)

(xex f

Sono verificate tutte le ipotesi del teorema di Rolle, infatti:

i) è continua in tutto R e quindi anche in [-1,1]

ii) è derivabile in tutto R e quindi anche in (-1,1), iii)

Allora

Si ricava facendo il calcolo:

Cioè

2 1

)

(xex f

) (x f

) 1 ( )

1

( f

f  

0 )

( :

) 1 , 1

(

0

0

   

x f x

x

0 ( ) 0

0

x f

0 0

2xex21   x0

(15)

Esercizio

Dire se la funzione soddisfa il teorema di Rolle nell’intervallo [-e, e].

|

| ln )

(x x

f

Il teorema di Rolle non è applicabile perché

non è definita in x = 0 e quindi non è né continua né

derivabile in x = 0 e perciò non soddisfa tutte le ipotesi del teorema

|

| ln )

(x x

f

(16)

Teorema di Lagrange (o del valor medio)

Sia f(x):[a,b]

R.

i) f è continua in [a,b], ii) f è derivabile in (a,b), Allora  x0(a,b) :

a b

f(a)

x0

a b

a f b

x f

f

 

 ( ) ( ) )

( 0

f(b) r

s

s // r

Per il Teorema di Lagrange almeno un punto (x0, f(x0) )sul grafico di f(x) in cui la retta tangente t è parallela alla retta r secante la curva in (a,f(a)) e (b,f(b))

(17)

Dimostrazione.

Si consideri la funzione ausiliaria

Teorema di Lagrange (o del valor medio)

 

  

 

 ( ) ( ) ( )

) ( )

( )

( x a

a b

a f

b a f

f x

f x

g

equazione di r

Per g(x) vale il Teorema di Rolle, infatti:

i) g(x) è continua in [a,b] perché lo è f(x) (l’altro pezzo è lineare);

ii) g(x) è derivabile in (a,b) perché lo è f(x) (l’altro pezzo è lineare);

iii) g(a)=g(b)=0.

(18)

Teorema di Lagrange (o del valor medio)

0 )

(

:

0

0

 

x g x

) 0 (

) ) (

( )

(

0 0

 

 

b a

a f

b x f

f x

g

a b

a f b

x f

f

 

  ( ) ( ) )

(

0

(19)

Esempio

f(x)=x2 in [a,b],

per il Teorema di Lagrange ∃x0∊[a,b]:

2

0 0

2

2

2

b a

x a x

b

a

b    

Media aritmetica di

a e b

(20)

Esercizio

Dire se è applicabile il Teorema di Lagrange alla funzione f(x)=arcsin x nell’intervallo [-1,1] e in caso affermativo calcolare i punti del teorema.

La funzione data soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Lagrange infatti:

i) f è continua in [-1,1] (è il suo campo di esistenza),

ii) f è derivabile in (-1,1) Allora

2

) 1 ( )

1 ) (

( :

) 1 , 1

(

0

0

 

 

f f

x f

x

2

4

0

 

x

2 1

1

2 0

 

x

(21)

Esercizio

Determinare un intervallo in cui è applicabile il Teorema di Lagrange alla funzione

x x x

f 1

)

(  

i) La funzione data è continua nel suo campo di esistenza cioè nell’insieme:

ii) f è derivabile nell’insieme con derivata:

  :  0 

x R x A

: 0 , 1

x R x B

) 1 (

1 ) 1

(

2

2 2

 

x x

x x

x x

f

(22)

Perciò un intervallo in cui f soddisfa il teorema di Lagrange, è un qualunque intervallo [a,b] che non contiene x =0 e tale che i punti x = 1 e x=-1 non siano interni ad esso

(potrebbero stare agli estremi)

Per es: [1, 2] (f è continua in [1,2] e derivabile in (1,2), da notare che è derivabile anche in x = 2 ma non serve…)

Oppure [-4,-3], etc..

Riferimenti