ε per ogni x &lt

(1)

Pisa, 18 Gennaio 2002

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

sinh(x + 2) = sinh(2x + 1) =⇒ x = 1 2 2

cosh(sin x) `e una funzione periodica 2 2

L’equazione x²− log(2 + x²⁰) = 0 non ha soluzioni reali 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : |x| ≤ 3, y²− 2y ≤ 0} `e limitato 2 2 La serie di potenze P∞

n=13ⁿn³xⁿ ha raggio di convergenza 3 2 2

∀ε > 0 ∃M ∈ R tale che e^x < ε per ogni x < M 2 2

sin x − tan x = o(x²) per x → 0 2 2

{n! · a_n} → 2002 =⇒ P an diverge 2 2

La soluzione generale di u⁰⁰+ 3u⁰ = 0 `e u(t) = ce^−3t 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim

sin(2x²⁰)

x²⁰ = . . . lim

x→0

sin(2x²⁰)

x²⁰ = . . . lim

x→1

sin(2x²⁰)

x²⁰ = . . . .

inf (

α ∈ R :

∞

X

n=0

n²+ 5

n^α+ 2 converge )

= . . . .

max|x²− 1| + 3 : x ∈ [−1/2, 1/3] = . . . .

• Siano

f (x, y) = 3x²y, A =(x, y) ∈ R² : x² + y² ≤ 1, y ≥ x . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(1, 2) = . . . .

Z

A

2p

x²+ y²dx dy = . . . .

(2)

2 + 2 = 8 2 2 sinh(x + 20) `e una funzione monotona in R 2 2 L’equazione cos(x + 1) = cos(x + 20) non ha soluzioni reali 2 2

a_n+3→ 8 =⇒ a_n→ 8 2 2

Esiste M ∈ R tale che sin(x⁴⁰) − x² < 0 per ogni x ≥ M 2 2 f (x, y) = x³+ 3y² =⇒ ∇f (1, 1) = (3, 3) 2 2

{n²a_n} → 2002 =⇒ P a_n converge 2 2

cos x²− 1 = o(x³) per x → 0 2 2

La soluzione generale di u⁰⁰− 5u⁰ = 0 `e u(t) = c₁e^5t+ c₂te^5t 2 2

x→0lim

e^2x− 1

x = . . . lim

x→1

e^2x− 1

x = . . . lim

x→+∞

e^2x− 1

x = . . . .

sup (

α ∈ R :

∞

X

n=0

n²+ n

n + n^α diverge )

= . . . .

sup {x ∈ [0, 2π] : cos x < 0} = . . . .

• Siano

f (x, y) = (x + 2y)², A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [−1, 1], 0 ≤ y ≤ 1 − x . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(0, 0) = . . . .

Z

A

2 dx dy = . . . .

Test d’esame Telecomunicazioni 2002 1.2

(3)

Pisa, 18 Gennaio 2002

sin³x `e una funzione dispari 2 2

Esiste x ≥ 2002 tale che tan x = x 2 2

cosh 8 + sinh 8 = e⁸ 2 2

Se a_n ≥ 0 per ogni n ∈ N e √ⁿ

a_n→ 2002, allora a_n→ 2002 2 2

max{xy : x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1]} = 1 2 2

Esiste M ∈ R tale che x sin x ≤ M per ogni x ∈ R 2 2 P∞

n=12ⁿn⁻³⁰⁰ converge 2 2

L’equazione differenziale u⁰⁰+ tu² = 0 `e lineare 2 2

e^{sin x}= 1 + x + o(x) per x → 0 2 2

x→−∞lim

2x²+ 3x³

3x²− 2x³ = . . . lim

x→0⁻

2x²+ 3x³

3x²− 2x³ = . . . lim

x→1

2x²+ 3x³

3x²− 2x³ = . . . .

sup

α ∈ R : Z 1

0

x + 1

x^2α dx converge

= . . . .

max5n − n² : n ∈ N = . . . .

• Siano

f (x, y) = 2^{sin x}+ 3^{sin y}+ 4xy, A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1] . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(1, 1) = . . . .

Z

A

2y²dx dy = . . . .

(4)

arccos(cos(−1)) = −1 2 2 La funzione cosh(x − 20) `e monotona in [0, +∞[ 2 2

a_2n→ 8 =⇒ a_4n→ 8 2 2

xe^−x `e una primitiva di (1 − x)e^−x 2 2

∀M ∈ R ∃x ∈ R tale che x > M e sin x > 0 2 2 f (x, y) = sin x + cos y ha un massimo locale in (0, 0) 2 2 P∞

n=0(−1)ⁿn(n + 2)⁻¹ converge 2 2

L’equazione differenziale u⁰⁰+ t²u⁰ = 0 `e lineare 2 2

e^x² − 1 = x²+ o(x⁴) per x → 0 2 2

x→−∞lim

2x + 2^x

x − 2^x = . . . lim

x→0

2x + 2^x

x − 2^x = . . . lim

x→1

2x + 2^x

x − 2^x = . . . .

supα ∈ R : x²− 4x − 1 ≥ α ∀x ∈ R = . . . . maxx ∈ R : x⁴ ≤ 3 = . . . .

• Siano

f (x, y) = 2x²+ 3y², A =(x, y) ∈ R² : |x| ≤ y ≤ 1 . Calcolare:

∂²f

∂y²(3, 4) = . . . .

Z

A

2 dx dy = . . . .

(5)

Pisa, 8 Febbraio 2002

|x²+ 3| = |x²+ 8| ha almeno una soluzione reale 2 2

log₃9¹⁰⁰¹ = 2002 2 2

Se a_n> 0 per ogni n ∈ N e an+1/a_n→ 27, allora a_n→ +∞ 2 2 L’integrale di x su {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1} `e 0 2 2

x log x → 0 per x → 0⁺ 2 2

P∞

n=1n⁻¹xⁿ converge per ogni x ∈ [−1, 1] 2 2

∀ε > 0 ∃δ > 0 tale che cosh x < 1 + ε per ogni x ∈ [−δ, δ] 2 2 Il pol. di Taylor di grado 2 in x = 0 di f (x) = sin²x + cos x² `e 1 + x² 2 2 u(t) = e^t² `e la soluzione del problema di Cauchy u⁰ = 2tu, u(0) = 2 2 2

x→0lim

2x + tan x

x = . . . lim

x→^π₂⁺

2x + tan x

x = . . . lim

x→π

2x + tan x

x = . . . .

max2xe^−x : x ≥ 0 = . . . . minx ∈ R : 2xe^−x ≥ 0 = . . . .

• Siano

f (x, y) = 2| cos x| + 3y, A =(x, y) ∈ R² : x² + y² ≤ 9, 0 ≤ y ≤ x . Calcolare:

∂²f

∂x²(0, 0) = . . . .

Z

A

2 dx dy = . . . .

(6)

2³⁰+ 2³⁰= 2³¹ 2 2

La funzione e^x⁶ `e monotona in R 2 2

{2ⁿ· n²· (n!)⁻¹} → +∞ 2 2

L’integrale di |x| in [−1, 1] `e uguale a 0 2 2

f (x, y) = x⁴+ y⁴ ha un minimo assoluto in (0, 0) 2 2 Se 0 ≤ a_n ≤ b_n per ogni n ∈ N e P a_n converge, alloraP b_n converge 2 2

Se u⁰ = 3tu² e u(1) = 2, allora u⁰(1) = 12 2 2

sin⁴(x⁴) = x¹⁶+ o(x¹⁶) per x → 0 2 2

∀x ∈ R ∃M ∈ R tale che x² ≤ M 2 2

x→−∞lim

2x + 3^x

x − 2^x = . . . lim

x→0

2x + 3^x

x − 2^x = . . . lim

x→+∞

2x + 3^x

x − 2^x = . . . . min {|5n − 31| : n ∈ N} = . . . .

maxn

x ∈ R : (x − 8) arctan e^x² ≤ 0o

= . . . .

• Siano

f (x, y) = cos y + x²y, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1 . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(1, 2) = . . . .

Z

A

(x⁵+ 2) dx dy = . . . .

(7)

Pisa, 22 Febbraio 2002

(2³⁰)⁴ = 2³⁴ 2 2

La funzione | sin x + 2| `e periodica 2 2

L’equazione x⁹ + x⁷sin x = 2002 ha almeno una soluzione reale 2 2

a_n → 3 =⇒ a_2n+ 4 → 7 2 2

La serie di potenze P∞

n=0(n²+ n³)xⁿ ha raggio di convergenza 0 2 2

max{y : x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ x} = 1 2 2

∀M ∈ R ∃N ∈ R tale che cosh x ≤ M per ogni x ≤ N 2 2

cos x²⁰= 1 − (1/2)x²⁰+ o(x²¹) per x → 0 2 2

u(t) = e^3t `e una soluzione dell’equazione differenziale u⁰⁰⁰ = 27u 2 2

lim

x→0⁺

√x + x² 2√

x = . . . lim

x→1⁺

√x + x² 2√

x = . . . lim

x→+∞

√x + x² 2√

x = . . . .

inf

α > 0 :

Z +∞

1

log x

x^2α dx converge

= . . . .

maxarctan x³ : x ∈ R = . . . .

• Siano

f (x, y) = log 3 + xy, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1 . Calcolare:

∂f

∂x(1, 2) = . . . .

Z

A

cos(x²+ y²) dx dy = . . . .

(8)

La funzione sin(x + 2) `e periodica 2 2 arctan√

3 = π/3 2 2

L’equazione |x| = e^−x² ha esattamente una soluzione reale 2 2

∀ε > 0 ∃N ∈ N tale che n²3⁻ⁿ< ε per ogni n ≥ N 2 2 u⁰ = u + t `e un’equazione differenziale a variabili separabili 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : 2x²+ 3y² ≥ 5} `e limitato 2 2 Il gradiente di f (x, y) = x²+ y²− 3x non si annulla mai 2 2

sin(arctan x) = x + o(x) per x → 0 2 2

La serie P∞

n=1n(n²+ 3)⁻¹ converge 2 2

x→−∞lim

x + sin x

3x = . . . lim

x→0⁻

x + sin x

3x = . . . lim

x→4π

x + sin x

3x = . . . . min {x ∈ R : |x − 2| ≤ 3} = . . . .

min {|x − 2| + 10 : x ≤ 3} = . . . .

• Siano

f (x, y) = 2xy + sin(x³+ y³), A = [0, 1] × [0, 1].

Calcolare:

∂²f

∂x∂y(0, 0) = . . . .

Z

A

2(x + y) dx dy = . . . .

(9)

Pisa, 3 Giugno 2002

tan(π/3) =√

3 2 2

La funzione x sin x `e dispari 2 2

L’equazione sinh(x) = 3^−x ha esattamente una soluzione reale 2 2

Se A ⊆ R e max A = 2002, allora sup A = 2002 2 2

f (x, y) = sin x + cos y =⇒ ∇f (0, 0) = (1, 0) 2 2 Se an≥ 0 per ogni n ∈ N e √ⁿ

an→ 1, allora P an diverge 2 2 La soluzione generale di u⁰⁰+ 4u = 0 `e u(t) = c₁e^2t+ c₂e^−2t 2 2

∀M ∈ R ∃x ∈ R tale che arctan x > M 2 2

sin x²⁰+ log(1 + x³⁰) = x²⁰+ o(x²⁹) per x → 0 2 2

lim

x→0⁺

e^x+ log x

e^x− log x = . . . lim

x→1⁻

e^x+ log x

e^x− log x = . . . lim

x→+∞

e^x+ log x

e^x− log x = . . . .

min {3x + sin x : x ≥ π} = . . . . max {|x − 18| + 17 : x ∈ [15, 18]} = . . . .

• Siano

f (x, y) = x²y + y²x, A =(x, y) ∈ R² : x² + y² ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 . Calcolare:

∂²f

∂y²(1, 2) = . . . .

Z

A

2x dx dy = . . . .

(10)

L’equazione |x| = |x + 8| ha esattamente una soluzione reale 2 2

La funzione sin³⁰x `e dispari 2 2

x log x `e una primitiva di 1 + log x 2 2

x²⁰+ sin x¹³ ha un minimo relativo in x = 0 2 2

Se a0 = 2 e an+1= 2an− 1 per ogni n ∈ N, allora a³ = 9 2 2 Nello sviluppo di Taylor di sinh x compaiono solo potenze dispari 2 2

max{x : x²+ y² = 4} = 4 2 2

u⁰⁰+ 3u⁰+ 2u = 0, u(0) = u(2) = 0 `e un problema di Cauchy 2 2 Se 0 < an+1 < an per ogni n ∈ N, alloraP an converge 2 2

x→0lim

| cos x|

x = . . . lim

x→0⁻

| cos x|

x = . . . lim

x→π

| cos x|

x = . . . .

sup

x > 0 : sin x x < 0

= . . . .

sup n

2e^−x² : x ∈ R o

= . . . .

• Siano

f (x, y) = x²+ 4y², A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ 2x . Calcolare:

∂²f

∂y²(1, 2) = . . . .

Z

A

x dx dy = . . . .

Test d’esame Telecomunicazioni 2002 5

(11)

Pisa, 15 Luglio 2002

L’equazione |x| = 6 − x² ha esattamente due soluzioni reali 2 2

arccos(1/2) = −π/3 2 2

a_n→ 6π =⇒ cos a_n→ 1 2 2

La funzione sin(x²⁰⁰²) `e periodica 2 2

∃M ∈ R tale che e^{arctan x} ≤ M per ogni x ∈ R 2 2 La funzione f (x, y) = x + y non ha punti stazionari in R² 2 2 P∞

n=0(n + 3)(n²+ 3)⁻¹ converge 2 2

sin(x²+ x⁹) = x²+ x⁹+ o(x⁹) per x → 0 2 2 L’equazione differenziale u⁰(t) = u²(t) + 1 `e autonoma 2 2

x→−1lim

sin(x + 1)

x + 1 = . . . lim

x→0⁺

sin(x + 1)

x + 1 = . . . lim

x→+∞

sin(x + 1)

x + 1 = . . . . minx ∈ R : x² ≤ 9 = . . . .

supx² : x ∈ [−3, 2] = . . . .

• Siano

f (x, y) =√

2 + x²y, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, x ≥ 0 . Calcolare:

∂²f

∂y∂x(1, 1) = . . . .

Z

A

(x²+ y²) dx dy = . . . .

(12)

log₂5 + log₂7 = log₂12 2 2

La funzione arctan(2x + 3) `e monotona in R 2 2

Una primitiva di sinh x `e − cosh x 2 2

sin x = arctan x + o(x) per x → 0 2 2

Esiste min{y cos x²+ x²sin(xy) : x²+ y² ≤ 5} 2 2

Se f (x, y) = 2x + y² allora ∇f (1, 1) = (2, 2) 2 2

∃x ∈ R tale che sin 2x + cos 3x > 2 2 2

L’insieme delle sol. di u⁰⁰⁰− u⁰⁰ = 5u `e uno spazio vett. di dimensione 2 2 2 La serie di potenze P∞

n=2n⁵xⁿ converge solo per x = 0 2 2

lim

x→0⁺

2x + log x

x = . . . lim

x→1

2x + log x

x = . . . lim

x→+∞

2x + log x

x = . . . . minarctan²x : x ∈ R = . . . .

inf (

α ∈ R :

∞

X

n=1

arctan n!

n^α converge )

= . . . .

• Siano

f (x, y) = y3^x, A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], x ≤ y ≤ 1 . Calcolare:

∂²f

∂y∂x(0, 0) = . . . .

Z

A

3x dx dy = . . . .

Test d’esame Telecomunicazioni 2002 7