2 Teorema di Tychonoff

Prodotti infiniti e teorema di Tychonoff

Denis Nardin

Questo articolo `e scritto con lo scopo di dare una rapida illustrazione dei prodotti infiniti di spazi topologici e, in particolare, una dimostrazione essen- zialmente elementare del teorema di Tychonoff. L’ispirazione sono stati gli ottimi appunti di Allen Hatcher (http://www.math.cornell.edu/~hatcher/

Top/Topdownloads.html), di cui raccomando la lettura a chiunque voglia ap- profondire.

1 Prodotti infiniti

Com’`e noto, dati due spazi topologici X, Y si pu`o definire sul prodotto X × Y una topologia, detta topologia prodotto, dando come base i cosiddetti rettangoli aperti, cio`e gli insiemi della forma A × B, dove A, B sono aperti in X, Y . Adesso vedremo come estendere questa nozione ad una famiglia di spazi topologici indicizzata da un insieme qualsiasi I.

Sia quindi {Xi}i∈Iuna famiglia di spazi. Vorremmo quindi dare una topolo- gia all’insieme

X =Y

i∈I

Xi

L’osservazione chiave `e che, nel caso di due spazi, la topologia prodotto `e esat- tamente la topologia meno fine che rende le due proiezioni πX : X × Y → X e πy : X × Y → Y continue. Quindi il minimo che vorremmo chiedere `e che per ogni i ∈ I, la proiezione sulla i-esima coordinata πi: X → Xi.

Ci chiediamo dunque qual `e la topologia meno fine tale che le proiezioni siano continue? Serve esattamente che gli insiemi π<sup>−1</sup><sub>i</sub> (A<sub>i</sub>) siano aperti, per ogni i ∈ I e A<sub>i</sub> ⊆ Xi aperto. Come topologia prodotto prendiamo perci`o la pi`u piccola topologia che contiene questi.

Purtroppo gli insiemi della forma π⁻¹_i (A_i) non sono una base di aperti per la topologia, ma quello che si dice una sottobase, cio`e una famiglia F di insiemi per cui si considera la pi`u piccola topologia che li contiene (la cosa ha senso, perch`e l’intersezione di una famiglia di topologie `e ancora una topologia). Per ottenere una base bisogna considerare le intersezioni finite degli elementi della sottobase. Quindi una base per la topologia prodotto si considerano gli insiemi della forma

π_i⁻¹

1 (Ai₁) ∩ · · · ∩ π⁻¹_i

n(Ai_n)

dove i1, . . . , in∈ I e Ai_j ⊆ Xi_j sono aperti. Questi insiemi sono detti insiemi cilindrici. In altri termini, sul prodotto X mettiamo la topologia che ha per

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base gli insiemi cilindrici, che sono quelli della forma U =Y

i∈I

Ui

dove Ui⊆ Xi aperti tali che solo un numero finito di loro non sono banali (cio`e non coincidono con tutto lo spazio).

2 Teorema di Tychonoff

Lo scopo di questa sezione `e dimostrare il teorema di Tychonoff: se {Xi}i∈I `e una famiglia di spazi topologici compatti, allora il prodotto

X =Y

i∈I

Xi

`e ancora uno spazio topologico compatto.

Com’`e noto, per dimostrare Tychonoff `e necessario utilizzare l’assioma di scelta in qualche sua forma. Qui l’uso che ne faremo si limiter`a a supporre che l’insieme I degli indici sia ben ordinabile, e quindi senza perdita di generalit`a un ordinale ω.

Supponiamo che U sia un ricoprimento aperto privo di sottoricoprimenti finiti. L’idea di questa semplice dimostrazione consiste nel costruire per ricor- sione transfinita un punto x = {xα}α∈ω tale che ogni suo intorno di base non abbia sottoricoprimenti finiti. Questo `e ovviamente assurdo, in quanto il punto x deve stare in qualche aperto di U , che ovviamente conterr`a un suo intorno di base.

Per comodit`a di notazione, indichiamo con Yλ= Y

α<λ

Xα

per ogni λ ≤ ω.

Vogliamo costruire una successione {xα}α<ω tale che per ogni λ ≤ ω, se yλ= {xα}α<λ ogni aperto della forma

U × Y

λ≤α<ω

Xα

con U intorno di base di yλ in Yλ , non abbia sottoricoprimenti finiti in X.

Costruiamola per ricorsione transfinita, una componente alla volta.

• Per λ = 0 la successione vuota soddisfa la tesi

• Se `e vero per λ, troviamo xλ in modo che yλ+1 = {xα}α≤λ verifichi la propriet`a. Supponiamo per assurdo che non esista un tale xλ. Questo

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vuol dire che per ogni x ∈ Xλ esiste un intorno di base Vx di yλ e un intorno Ux di x tale che l’aperto

Vx× Ux× Y

λ+1≤α<ω

Xα

abbia un sottoricoprimento finito. Ma {Ux}x∈X `e un ricoprimento di Xλ, che `e uno spazio topologico compatto. Allora deve esistere un sottorico- primento finito Ux₁, . . . , Ux_n.

Perci`o esistono x1, . . . , xn tali che Ux1, . . . , Uxn ricoprono Xλe V_xi× Uxi× Zλ+1

ha un sottoricoprimento finito per ogni i = 1 . . . n. Ma allora, posto V = V_x1∩· · ·∩V_xn, anche V `e un aperto di base per Y_λ, e inoltre V ×U_xi×Z_λ+1 ha un sottoricoprimento finito per ogni i = 1, . . . , n. Ma quindi l’unione finita

n

[

i=1

V × U_xi× Z_λ+1= V × Z_λ

ha un sottoricoprimento finito (basta prendere l’unione dei sottoricopri- menti finiti dei singoli termini). Ma questo `e assurdo, perch`e l’ipotesi induttiva su yλ era che per nessun intorno di base V , l’insieme V × Zλha sottoricoprimenti finiti. Perci`o `e possibile prolungare yλ a yλ+1.

• Supponiamo ora che λ sia un ordinale limite. Allora abbiamo una succes- sione {xα}α<λ tale che per ogni β < λ, yβ = {xα}α<β. Allora, se pongo yλ= {xα}α<λ posso scrivere ogni suo intorno di base come

U × Y

β≤α<λ

Xα

dove β < λ e U `e un intorno di base di yβ. Questo perch`e ogni intorno di base di yλha solo un numero finito di intorni non banali e λ `e un ordinale limite. Ma allora per l’ipotesi induttiva ogni intorno di base di λ non ha, una volta completato, un sottoricoprimento finito. Quindi yλ `e il punto che stavamo cercando.

Perci`o se poniamo x = y<sub>ω</sub>, abbiamo che ogni intorno di base di x non ha sottoricoprimenti finiti. Ma questo `e assurdo, per quanto visto prima.

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