Gara a Squadre Faenza, 7 Marzo 2011

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Gara a Squadre

Faenza, 7 Marzo 2011

La gara dura 90 minuti. Le risposte dovranno essere numeri di 4 cifre. Se la risposta è > 9999 scrivere 9999, se la risposta non è un numero intero, rispondere con la parte intera (cioè senza le cifre dopo la virgola). Nel caso servano, usare le seguenti approssimazioni:

𝜋 = 3,1416 √2 = 1,4142 √3 = 1,7321

Esercizio 1. [15] Quanto vale la somma delle cifre di 2011

²

− 2010

²

?

Esercizio 2. [20] Nel reparto di neonatologia nell'ospedale di Pisa sono appena nati tre bambini:

Gilberto, Cassandra e Giordano. I medici vorrebbero sapere il loro peso ma purtroppo la bilancia elettronica è rotta e non mostra pesi inferiori ai 5 Kg. Decidono allora di pesare i bambini a due a due ottenendo i seguenti risultati:

- Gilberto e Cassandra insieme: 7047 g;

- Cassandra e Giordano insieme: 6789 g;

- Giordano e Gilberto insieme: 7356 g;

Determinare il peso di Cassandra in grammi.

Esercizio 3. [25] Sia ABCD un quadrato, con AB di lunghezza 20cm; si costruiscono due semicerchi all'interno del quadrato, di diametri rispettivamente AB e BC. Quanto vale l'area dell'intersezione dei due semicerchi (in mm

²

)?

Esercizio 4. [30] Qual’é il più piccolo intero positivo che possiede esattamente 15 divisori positivi?

Esercizio 5. [30] Quanto vale 10𝑎 + 𝑏 sapendo che 250𝑎10𝑏315576 è multiplo di 99?

Esercizio 6. [30] Ho una torta quadrata di 392 mm di lato. Voglio tagliare 7 porzioni di uguale volume mediante 7 tagli rettilinei che partono dal centro del quadrato e arrivano fino al bordo. Il primo taglio arriva in un vertice del quadrato. Supponendo che lo spessore della torta sia costante, determinare a quanti mm di distanza da quel vertice arriva il taglio che delimita la prima fetta.

Esercizio 7. [35] Alberto e Barbara si vengono incontro lungo una strada dritta. All'inizio distano 13 km. Sapendo che Alberto va ad una velocità di 12 m/s mentre Barbara va ad una velocità di 13 m/s, quanti metri avrà percorso Alberto quando si incontrano?

Esercizio 8. [45] Qual’é il prossimo anno la cui agenda sarà la stessa del 2011? Per stessa agenda si intende che allo stesso giorno del mese corrisponde lo stesso giorno della settimana per tutti i giorni dell'anno.

Esercizio 9. [55] Quante sono le coppie ordinate di numeri interi positivi (x; y) che verificano l'equazione 𝑥

²

+ 𝑦

²

− 2010𝑥 − 2010𝑦 + 2𝑥𝑦 − 2011 = 0?

Esercizio 10. [65] Quale sarà il prossimo anno che è somma di 7 interi consecutivi, 8 interi consecutivi ma anche 9 interi consecutivi?

Esercizio 11. [70] Siano a e b due numeri interi positivi. Qual’é il valore minimo di a+b affinché 91𝑎𝑏

²

e 286𝑎𝑏 siano entrambi quadrati perfetti?

Esercizio 12. [80] Da un comune mazzo di 40 carte (numerate a quattro a quattro da 1 a 10)

togliamo due carte che portano il numero 7. Scegliendo a caso due carte tra le rimanenti 38, qual’é

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la probabilità che esse abbiano lo stesso numero? Se la frazione ridotta ai minimi termini è p/q , rispondere con p + q.

Esercizio 13. [85] Nei laboratori biotecnologici dell'Università di Pisa si vuole studiare un nuovo pericoloso tipo di batteri, con la particolarità che dopo un tempo lasso ogni batterio si divide in tre!

Poiché all'inizio vi è un unico esemplare, un ricercatore decide di metterlo in una coltura ed aspettare che si riproduca un numero sufficiente di volte. Dopo un certo periodo, il ricercatore riesamina la coltura e conta il numero di batteri, che però è ancora insufficiente per condurre gli studi. Passato un altro po' di tempo, il ricercatore conta i batteri una seconda volta e nota che ora ce ne sono 2106 in più rispetto al conteggio precedente. Determinare quanti batteri ci sono nella coltura al secondo conteggio.

Esercizio 14. [100] Lo scettro del mago Bobo è un cilindro istoriato alto 235 cm e con una

circonferenza di base di 4 cm. Questo scettro presenta un'incisione che sale ad elica lungo di esso; il segmento che congiunge l'inizio e la fine di tale scanalatura è parallelo all'asse dello scettro, ed è diviso dall'incisione in 141 parti uguali. Determinare quanto è lunga la scanalatura (in cm).

Esercizio 15. [120] Gli spigoli e le diagonali delle facce di un cubo di lato 20√3 cm iscritto in una

sfera sono realizzati in fil di ferro. Se al centro della sfera si trova una piccola candela, quanti

Gara a Squadre Faenza, 7 Marzo 2011

Gara a Squadre

Faenza, 7 Marzo 2011

La gara dura 90 minuti. Le risposte dovranno essere numeri di 4 cifre. Se la risposta è > 9999 scrivere 9999, se la risposta non è un numero intero, rispondere con la parte intera (cioè senza le cifre dopo la virgola). Nel caso servano, usare le seguenti approssimazioni:

𝜋 = 3,1416 √2 = 1,4142 √3 = 1,7321

Esercizio 1. [15] Quanto vale la somma delle cifre di 2011

− 2010

?

Esercizio 2. [20] Nel reparto di neonatologia nell'ospedale di Pisa sono appena nati tre bambini:

Gilberto, Cassandra e Giordano. I medici vorrebbero sapere il loro peso ma purtroppo la bilancia elettronica è rotta e non mostra pesi inferiori ai 5 Kg. Decidono allora di pesare i bambini a due a due ottenendo i seguenti risultati:

- Gilberto e Cassandra insieme: 7047 g;

- Cassandra e Giordano insieme: 6789 g;

- Giordano e Gilberto insieme: 7356 g;

Determinare il peso di Cassandra in grammi.

Esercizio 3. [25] Sia ABCD un quadrato, con AB di lunghezza 20cm; si costruiscono due semicerchi all'interno del quadrato, di diametri rispettivamente AB e BC. Quanto vale l'area dell'intersezione dei due semicerchi (in mm

)?

Esercizio 4. [30] Qual’é il più piccolo intero positivo che possiede esattamente 15 divisori positivi?

Esercizio 5. [30] Quanto vale 10𝑎 + 𝑏 sapendo che 250𝑎10𝑏315576 è multiplo di 99?

Esercizio 7. [35] Alberto e Barbara si vengono incontro lungo una strada dritta. All'inizio distano 13 km. Sapendo che Alberto va ad una velocità di 12 m/s mentre Barbara va ad una velocità di 13 m/s, quanti metri avrà percorso Alberto quando si incontrano?

Esercizio 8. [45] Qual’é il prossimo anno la cui agenda sarà la stessa del 2011? Per stessa agenda si intende che allo stesso giorno del mese corrisponde lo stesso giorno della settimana per tutti i giorni dell'anno.

Esercizio 9. [55] Quante sono le coppie ordinate di numeri interi positivi (x; y) che verificano l'equazione 𝑥

+ 𝑦

− 2010𝑥 − 2010𝑦 + 2𝑥𝑦 − 2011 = 0?

Esercizio 10. [65] Quale sarà il prossimo anno che è somma di 7 interi consecutivi, 8 interi consecutivi ma anche 9 interi consecutivi?

Esercizio 11. [70] Siano a e b due numeri interi positivi. Qual’é il valore minimo di a+b affinché 91𝑎𝑏

e 286𝑎𝑏 siano entrambi quadrati perfetti?

Esercizio 12. [80] Da un comune mazzo di 40 carte (numerate a quattro a quattro da 1 a 10)

togliamo due carte che portano il numero 7. Scegliendo a caso due carte tra le rimanenti 38, qual’é

la probabilità che esse abbiano lo stesso numero? Se la frazione ridotta ai minimi termini è p/q , rispondere con p + q.

Esercizio 13. [85] Nei laboratori biotecnologici dell'Università di Pisa si vuole studiare un nuovo pericoloso tipo di batteri, con la particolarità che dopo un tempo lasso ogni batterio si divide in tre!

Esercizio 14. [100] Lo scettro del mago Bobo è un cilindro istoriato alto 235 cm e con una

Esercizio 15. [120] Gli spigoli e le diagonali delle facce di un cubo di lato 20√3 cm iscritto in una

sfera sono realizzati in fil di ferro. Se al centro della sfera si trova una piccola candela, quanti

centimetri è lunga in totale l'ombra del fil di ferro sulla sfera?

Gara a Squadre

Faenza, 7 Marzo 2011

Soluzioni:

1 0007

2 3240

3 5708

4 0144

5 0082

6 0224

7 6240

8 2022

9 2012

10 2016

11 0245

12 0758

13 2187

14 0611

15 1130