Esercizi di Analisi Matematica Ingegneria Meccanica (corso tenuto dal dott. B. Palumbo) A.A. 2007-08

Esercizi di Analisi Matematica

Ingegneria Meccanica

(corso tenuto dal dott. B. Palumbo) A.A. 2007-08

PRINCIPIO DI INDUZIONE

A.1 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

) 6 ( 6

) 1 6 ( ) 6 )(

5 ( 1 25

1 

 



 







 



 n

n n k

k

n k

.

A.2 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

) 3 2 ( 3

) 13 6 ( ) 3 2 )(

1 2 (

7 8 4

1 2



 











 n

n n k

k

k k

n

k

.

A.3 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

1 ) 1 ( )

1 (

) 2 )(

1 (

1 

 









 n

n n k

k k k

n

k

.

A.4 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

)!

1 2 ( 1 1 )!

1 2 (

1 2 4

1 2

 

 







 k n

k k

n

k

.

A.5 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

)!

2 2 (

1 2

1 )!

2 2 (

1 6 4

1 2

 

 







 k n

k k

n

k

.

A.6 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

2

1 2

2 5

) 2 (

1 4 ) 2 (

) 1 (



 



 



n

n k

k k

n

k

.

A.7 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

2 log

! ) 1 log(

) log(

) 1 log(

2

n

n k

k

n

k k

 

 



.

A.8 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

6 ) 1 6( )

6 (

5 16 18 1 2

3

1 3

2 3



 



 











 



 n

n k

k

k k k

n

k

. A.9 Dimostrare che per ogni n interno non negativo si ha ^Dn(x2ex)^(x2 ^2nxⁿ⁽ⁿ^1))ex

A.10 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

4 ) 2 )(

1 ( 4 1 3

2

1 2



 

 

 







 





n n k k

k

n

k

.

A.11 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

3 1

! 2 1 2 2

1

2

 



 



n n k

k k

n k

.

A.12 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

( 2 ) 2

! 1 2

1

2

 



 



n n k

k k

n k

.

A.13 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

( 2 )!

2 ) 1 ( 3 2

1

 

 



 



  





n n k k

n k

.

A.14 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

) 6 )(

5 (

! )!

1 2 ( 30 6

5 26 2

1  

 



 





 





 n n

n k k

n

k

.

A.15 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

) 2 )(

1 ( 4

) 11 5 ( )

2 )(

1 (

3

1  

 









 n n

n n k

k k

k

n

k

.

A.16 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

) 2 )(

1 ( 2

) 5 ( )

2 )(

1 (

4

1  

 









 n n

n n k

k k

k

n

k

.

A.17 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

) 4 ( 4

) 5 10 2 ( )

4 )(

3 (

3 12

7 ²

1

2 3





 













 n

n n n k

k

k k k

n

k

.

LIMITI DI FUNZIONI E DI SUCCESSIONI

B.1 Verificare (applicando solo la definizione) che 





 3

lim x

x

x .

B.2 Verificare che 





 x

x

xlim 5 . B.3 Verificare che  



 x

x

x

lim1 .

B.4 Verificare che

1

lim

₂

1

2











x x

x

x . B.5 Verificare che

2

1 2 lim 4

₂

2









x

x

x .

B.6 Verificare che

 







4

lim

2

x x

x . B.7 Verificare che

 







2 1

lim

2

x x

x .

B.8 Verificare che

2 1 3 4

1 lim 2

₆

6











n

n

n . B.9 Verificare che

2

7 1 lim 2

₃

3











n

n

n .

B.10 Verificare che 1 1

lim

2  



 n

n

n . B.11 Verificare che

 







4 1

lim

₄

8

n n

n .

B.12 Verificare che

 



  x

x

1 e

lim 1

0 . B.13 Verificare che 0

) 1 log(

lim 1

1 



 x

x .

Calcolare i seguenti limiti:

B.14 ^lim_x0 ^sen_sen13^7x_x^_^sen_sen⁵_x^x B.15

2 18

5 1

lim 25

2   







 x x

x x

x B.16

1 19

3 3

lim 13

3   







 x x

x x

x

B.17

2 3 26

1 1 2 lim 5

3 2

1   









 x x

x x x

x B.18

x

x

x

1 tg

lim 4

4







 B.19

 



 

3 2

1 cos lim 2

3

2

x

x

x

B.20 ₂

6

( 6 )

2 sen cos

lim 3













x

x x

x

B.21

x x

x x

x

cos 9 cos

3 cos 7

lim cos

2





 B.22

12 2

39

11 3 lim 11

5   









 x x

x x

x

B.23

13 4 59 4

25 18 lim 5

4

5

  









x x

x x

x

B.24

2

7 10 1 3

lim 5 ³

3 2

2 









 x

x x

x

x

B.25.

 







2 3

1 lim sen

2

3

x

x

x

B.26

 





x

x

x

6 arcsen 1 lim 2

2

1 B.27

1 lim sen

0



 x

x

e

x

B.28

x x x

x

4

lim

₂

1024

5

4









B.29

x x

x x x

x

4

lim

₂

2

4









B.30 ^

x   x

x

2

lim cotg

2

B.31 ₀ 2arccos₃ 3

lim x

x

x







B.32

1 1 lim ₂ 2

2

1 







 x

x x

x B.33

x x

x x

x 





 3

) 18 lim(

2

5 B.34

3 4 3 2

3 2

4 12 48 64

3 24 lim 80

x x

x x

x x x

x   











B.35

x

x

x

1 2

arcsen lim

2

1



 B.36

x x

x x

x ( 3)log

lim 8

2 3

3 



 B.37

x x

x x

x

4 23

80 lim 11

₃

2 4











B.38

3 4 6

5 14

3 lim 2

x x

x x

x 







 B.39

1 log

) log (

arctg lim

2





 x

x x

e

x B.40

1 ) 1 ( arctg

lim 2 





 x

x

x

B.41 _{2 2/3}

5 / 1 4 / 3 3 /

8

2

lim x x

x x x

x









 B.42

4 1

4 arctg lim 4

4

1









x

x

x B.43

 ^{3 2 5} 

lim

²

  

²

 





x x x x

x

B.44 _x

^lim

_



³

^x

³

^{ 3 x}

²

^{ 6 x  8 }

³

^x

³

^{ 12 x}

²

^{ 5 x  11} 

B.45 Modificare l'esercizio B.44, sostituendo il secondo radicale con ³ x³ax²bxc ; dimostrare che il limite è uguale a

3 3 a

, indipendentemente dai parametri b e c.

B.46

x x x

x 2 3

5 8 lim 3

2









 B.47

1

8 15 lim 6

2 3

1 







 x

x x x

x B.48

7 3

1 17 5

lim ³ 8

2 3











 x

x x

x

x

B.49 Siano f e g due funzioni definite in un intorno bucato I di a, e sia

lim ( )  0



f x

a

x ; sia inoltre g limitata (esiste quindi un M positivo tale che |g(x)| < M per ogni x  I). Dimostrare che

lim ( ) ( )  0



f x g x

a

x . Vale ancora un risultato

analogo se f tende ad un limite finito L diverso da 0?

B.50 Dire se è valido il seguente inverso del teorema della permanenza del segno: se f è positiva in un intorno bucato di a, e se esiste

f x L

a

x





( )

lim

, allora deve essere L > 0.

B.51 Siano f e g due funzioni definite in un intorno bucato I di a, sia

g x M

a

x





( )

lim

, supponiamo che esista finito

) ( lim f x

xa , e sia inoltre f(x) < g(x) in tutto I; dimostrare che

lim f ( x )

xa  M. {Suggerimento: se per assurdo fosse

M L x

a

f

x

 



( )

lim

_...}

TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE ED APPLICAZIONI

C.1 Dire se il teorema di Bolzano - Cauchy (esistenza degli zeri) è applicabile alla funzione

 

5 3 ) 1

(

2



  x x x f

nell'intervallo 

 2 ,3

1 , e in caso affermativo determinare i punti c che verificano la tesi del teorema.

C.2 Dire se il teorema di Bolzano - Cauchy è applicabile alla funzione ^{f(x)(7x85)}

 

^x nell'intervallo [10 , 15], e in caso affermativo determinare i punti c che verificano la tesi del teorema.

C.3 Dire se il teorema di Bolzano - Cauchy è applicabile alla funzione

) 1

(

₂

  x x x

f

nell'intervallo [1 , 1], e in caso affermativo determinare i punti c che verificano la tesi del teorema.

C.4 Dire se il teorema di Bolzano - Cauchy è applicabile alla funzione ₂ ) 1

( x

x x

f   nell'intervallo 



2 ,1 2

1 e

in caso affermativo determinare i punti c che verificano la tesi del teorema.

C.5 Dire se il teorema di Weierstrass è applicabile a ciascuna delle seguenti funzioni negli intervalli indicati:

f(x) = x² nell'intervallo [0 , +);



 





 

0 per 0

0 per 1 )

(

²

x x x

x

g

nell'intervallo [1 , 1];













 

0 per 0

1 0

per log

1 )

(

x

x x x

x

h nell'intervallo 

 e

;1

0 .

C.6 Esistono intervalli in cui il teorema dei valori intermedi è applicabile alla funzione f(x) = [x]?

C.7 Estendere il teorema dei valori intermedi come segue: sia f continua nell'intervallo [a , +), e sia

lim f ( x )

x

uguale ad un numero finito L diverso da f(a) (si può supporre ad esempio f(a) < L); allora, per ogni k compreso tra f(a) ed L, esiste almeno un c  (a , +) tale che f(c) = k.

{Suggerimento: applicare dapprima la definizione di limite con  = L  k; scegliere quindi un p opportuno ed applicare il teorema dei valori intermedi all'intervallo [a , p].}

C.8 Estendere il teorema dei valori intermedi come segue: sia f continua nell'intervallo [a , b), e sia _

 



( )

lim f x

b

x ;

allora, per ogni k maggiore di f(a) esiste almeno un c  (a , b) tale che f(c) = k.

{Suggerimento: applicare dapprima la definizione di limite infinito con M = k; scegliere quindi un p opportuno ed applicare il teorema dei valori intermedi all'intervallo [a , p].}

C.9 Dopo aver osservato che l'estensione del teorema dei valori intermedi vista nell'esercizio precedente si dimostra in modo simile per una funzione f continua in (a , b] e tale che _

 



( )

lim f x

a

x , dimostrare il seguente teorema: se f è continua in (a , b), e se risulta _

 



( )

lim f x

a

x e _

 



( )

lim f x

b

x , allora per ogni k reale esiste almeno un c

 (a , b) tale che f(c) = k. Da ciò dedurre che l'equazione tg x + x = k ammette almeno una radice compresa tra 2

  e 2

 comunque si fissi k reale.

C.10 Siano f e g due funzioni continue in uno stesso intervallo I = (a , b). È possibile che la disuguaglianza f(x)  g(x) sia verificata in un solo punto di I?

C.11 Dire se la seguente affermazione è vera o falsa: se una funzione f è continua in [a , b], e se risulta f(a) > 0 ed f(b) >

0, allora f non si annulla in nessun punto di (a , b).

C.12 Siano f e g due funzioni continue nell'intervallo [a , b], sia f(a) < g(a) ed f(b) > g(b). Dimostrare che esiste almeno un c in (a , b) per il quale f(c) = g(c). {Suggerimento: considerare la funzione h(x) = f(x)  g(x)}

DISEQUAZIONI

{Nota: le disequazioni goniometriche vanno risolte in [0 , 2].}

D.1 ₃₀⁵⁴_sen^sen_x^x_^₄₇^{51 cos2x} D.2 ^{2cosx9senx60} D.3 ^{61cos2x6senx160cosx6745sen2x} D.4 ^{cosx9senx10} D.5 ^{11cosx23senx170} D.6 ^{29senx15cosx21} D.7 31cos²x12senxcosx18cosx9senx90 D.8 30 0





 x x

x x

D.9 x5 x 1 D.10 2

3 4 2

3x  x 

D.11 6x19  73x  112x D.12 0

8 6

3

1 4

2 











 x x

x x

D.13 37sen²x9senxcosx 2 D.14 3x123x

D.15 3x43 5x D.16 0

2 28

9 6

4 











 x x

x x

D.17 ^{12sen3x36cos3x5sen2xcosx12senxcos2x29cosx} D.1

0 2 9 1

12     

 x x

x

D.18 ^{115cos2x83cosx48senx60sen2x72} D.19 x10 15x 1

GRAFICI DI FUNZIONI

E.1 ^{f(x) 4x2 5e3x} E.2 ^{f(x) 4x2 3e2x} E.3

5 9 4 28 3 20 2

)

(x x x x

f   

E.4 f(x)⁵ x³ 4x² 4x E.5 f(x)⁷ x⁵3x⁴3x³ x² E.6 ) 1

( ³

  x x x f

E.7

x x x x

f 2

) (

2 

 E.8

1 8 ) 3

( 2

2





  x

x x x

f E.9

5 4

31 ) 8

( 2

2







 

x x

x x x

f

E.10

25 8 ) 6

( 2

2







 

x x

x x x

f E.11 f(x)3x 4x²6x63 E.12

5 4 4 ) 2

( 2 

 

x x x x

f E.13 ^{f(x) x(x3)(x5)} E.14 ^{( )} 2₄⁴₄

 

x x x x

f E.15

2 1 ) 4

( 2 

 

x x x x f

E.16

1 1 arctg2

)

( 

 

x x x

f E.17

2 arctg 3 13 4

6 3 ) 7

(

₂

 





  x

x x x x f

E.19

4 arccos 1 2 2

15 )

(    ²  x

x x x

f E.20

3 arctg 2 13

4 1 ) 4

(

₂

 





  x

x x x x f

E.21

3 arcsen 2 3 4

5 2 )

(    ²  x

x x x

f E.22 ^{f(x) (x}_x³⁾⁽_^x₃^2)

E.23

1 2 4

2 2 ) 3

( 2

2







 

x x

x x x

f E.24

3 1 arcsen2 8

2 19 4

10 ) 21

(     ²  x

x x x

x

f E.25

2 arctg 3 13 4

6 3 ) 7

(

₂

 





  x

x x x x f

E.26

4 arccos 1 2 2

15 )

( ² 







 x

x x x

f E.27

3 arcsen 2 3 4

5 2 )

( ² 







 x

x x x

f E.28 ^{f(x)arcsen}₁¹_^ _x^x E.29

3 ) 2

( 2

2



 

x x x x

f E.30

43 16 4

19 ) 2

( 2

2





 

x x x x

f

E.31

7 2 4 ) 5

( 2

2





 

x x x x

f E.32 log( 2 2) 4arctg( 1)

2 ) 3

(x  x²  x  x

f E.33

8 2

2 ) 2

( ₂

2







 

x x

x x x

f

E.34 log( 6 10) 12arctg( 3)

2 ) 5

(x  x²  x  x

f E.35



 











^





1 per 0

1 per )

(

^{( )12}

2

x x x e

f

^x

x

E.36 f(x)x5 x² x3 E.37 f(x) x4 233xx² E.39

5 5 4 8 3 12 2

)

(x x x x x

f    

E.40 ^{f(x)2sen3xsen2x} E.41

4 arctg 3 4 ) 7 25 6 log(

)

(  ²    x

x x x

f E.42

2 2

) 1 (

4

)

(

^





^x

x

e x f

E.43

1 2 2

3 ) 4

1 2 ( arctg 2 )

(

₂





 



 x x

x x x

f

E.44

) 1 ( 3

23 25 14

) 12 (

2 3







 

x x x

x x f

NUMERI COMPLESSI

F.1 Calcolare



^{1i 3}



^14.

F.2 Dimostrare che, se z e w sono due numeri complessi qualsiasi, il coniugato della loro differenza è uguale alla differenza dei coniugati.

F.3 Determinare tutti i numeri complessi z per i quali

z  z  1

.

F.4 Dopo aver risolto l'equazione |z|² + 5z + 10i = 0, calcolare le radici quadrate di ciascuna delle radici così trovate.

F.5 Calcolare le radici quarte del numero complesso z = 527 + 336i.

F.6 Calcolare le radici quarte del numero complesso z = 41 + 840i.

F.7 Calcolare le radici quarte del numero complesso z = 3479 + 1320i.

F.8 Calcolare le radici quarte del numero complesso z 6i 47 

 .

F.9 Calcolare le radici quarte del numero complesso z 10324i 7.

F.10 Calcolare le radici quarte del numero complesso z = 1081 + 840i. {Suggerimento: 1369 = 37².}

F.11 Determinare l'unica soluzione in C dell'equazione ^{z z1i 2}.

INTEGRALI

Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

G.1

 _x

³

^xdx _{ 64}

^G.2

 ⁴ _x ^x

²²

_ ^ ₄ ⁵ _x ^x _ ^ ₂₉ ^{11 dx}

^G.3

^

(x² 1)(x2)² dx

G.4



_x³_(x^22x_²₆^_x³_11)^{dx G.5}



_(x² _5^dx_x30)^{3 G.6}



_4x2⁴_^₈³_x^x_29 ^dx

G.7



_2x⁸2^x_^₈¹³_x7 ^dx G.8



_13x³_^x₃^_x⁷2 _10 ^dx G.9



_x ^x4_x2 ^dx

G.10



1_5 x2

dx G.11



2_3 x

dx . G.12



₄^1_ ^x_x^_²₂ ^dx

G.13



_senx^sen_cos^x _x^{dx. G.14}

 _sen

³

^sen _{x }

³

_cos ^x

³

_x ^dx

^G.15

^

_1^xdx4 _x

G.16



^{arctg4 x dx1 G.17}

 _e ^e

^xx

_ ^{ e} _e

^xx

^dx

^G.18

^

^arcsenxdx

G.19



^{4 x logxdx G.20}



₍₃⁵_x^_³₁₁₎^3x₃^_x⁷₇ ^{dx G.21}



^{x2log(x2 6x10)dx}

G.22

 ^e _e

^xx

_ ^{ e} _e

^xx

^ _{ 1} ^{1 dx}

^G.23



_{x 2}4^x_{x 5}^dx 4

G.24



^{(3x2 2x)arctgxdx}

G.25



^{sen5xcos9xdx G.26}



^{sen7xsenxdx G.27}



^{cos12xcos4xdx}

Calcolare i seguenti integrali definiti:

G.28



¹

_{ }

0

2

5 32

2 x x

dx

. G.29



³

3 3

arctg dx x

_{. G.30} ²¹

 _{ }

0

1

3

3 x 1

dx

.

G.31 ^



^/2

_{ }

0

3 sen x 4 cos x 13

dx

. G.32 ^



^/2

_{ }

0

2 sen x 5 cos x 1

dx

G.33 ^



^/2

_{ }

0

2 sen x cos x 2 dx

G.34 ^



^/2

_{ }

0

5 sen x 5 cos x 7

dx

G.35 ^



^/2

_{ }

0

3 sen x 11 cos x 7

dx

G.36 ^



^/2

_{ }

0

4 sen x cos x 9 dx

G.37



¹

_{  }

0

2

3^x

e

^x

e

^x

1 e

dx

. G.38



³

^

2

)

9

1 ( x dx

x

. G.39 ^log



⁵ _^

3

log 3 1

1

2 dx

e e

x x

G.40 ^log



^{7 }_

5

log 2 3

1 dx e

e

x x

. G.41



³

_{ }

0

1

3

21 x 1

xdx

G.42 ²⁰



_ ^{ }_

0 4

4

1 4 2 1

1

4 dx

x x x

G.43 ⁷



^{/9  }

7 / 2

2 3 2

x dx x

x G.44



² _{ }

01 2 2

1 dx

x ^G.45



⁴ _{ }

0 4 x2 9

dx

G.46 ^{ 3}



^/

0 2

cos sen dx

x

x

G.47



⁴

_ ^ _

3

2

7 11

2 dx x

x

x

G.48









2 / 1

3 / 1

2

2

3

5 x x dx

G.49



¹

^{ }

0

2

2

3 5 x 8 x dx

x

G.50 ⁵⁹

 _{  }

22

3

3

x 5 x 1

dx

G.51



^{2 }

0

5e ²dx

x ^x

G.52 ¹³⁶



^/11 _{  }

5 /

16 2 8 25

1 dx

x x

x ^G.53



¹

^{ }

0

)

13

1 )(

2

( x x dx

G.54



³

3 3

2

arctg dx x x

G.55 Sia u una funzione derivabile tre volte con continuità in un intervallo aperto I, tale che si abbia u'''(x)cos 2x =

= u(x) sen 2x per ogni x in I (non si richiede di determinare u). Calcolare



^u(x)sen2xdx, esprimendo il risultato in termini di u, u', u''.

G.56 Sia f una funzione derivabile due volte con continuità su tutto R, tale che f''(x) = e^xf'(x). Calcolare



^f(x)exdx , esprimendo il risultato in termini di f e di f'.

G.57 Sia f una funzione derivabile due volte con continuità su tutto R, tale che f''(x) = 2^f(x), dove  è un parametro reale non nullo. Calcolare



^{f(x)senxdx}, esprimendo il risultato in termini di f e di f'.

G.8 Calcolare 



_^

p

p dx

x x

1

)3

1 (

1

lim 5 G.9 Calcolare 

 ^

n

n n

dx

x x

/ 1

2 2

) 1 lim log(

G.60 Calcolare 



^  



1

5 2 lim 5

n

n n dx

x x

x G.61 Calcolare



_{ }



 p

p x x x

dx

0 ( 1)( 2)

lim

G.62 Calcolare 



n

n n dx

x x n 1/

arctg lim 1

G.63 Dimostrare che per ogni n intero non negativo vale la formula

c k

x x

dx n x

x

ⁿ

k k

n

   



2 0

!

log

!

log

.

G.64 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

c k x

x k n x

dx n

x

ⁿ

k

k

n

  

 





 

  



_^{1 }

0

1 2

2

cosh

! )!

1 2 (

! )!

2 senh (

! )!

2 (

! )!

1 2

cosh (

.

G.65 Dimostrare che, fissato il parametro reale , vale per ogni n intero non negativo la formula

k c

e x dx n

e

x

ⁿ

k

k k x n x

n

 

 

 



^

^!

^{1 } _0

_!

^.

G.66 Dimostrare che in (0 , +) vale per ogni n naturale la formula

x c e k

x n E

x dx

e

ⁿ

k k

x n

x



 

 



 

 

 



^

 1

1

)!

1 ) (

)! ( 1 (

1

, dove

^{E x } 

^x

^e _t

^t

^dt

1

)

(

(osservazione: nel caso n = 1 l'indice della sommatoria dovrebbe variare da 1 a 0: in simili casi, per convenzione la sommatoria si intende "vuota", e pertanto assume il valore 0).

G.67 Dimostrare che per ogni n intero non negativo vale la formula (vedi nota all'esercizio precedente)

k c

n x x

k n x x

n dx x

x

ⁿ

k

k n n k

k

k n k

n

  

 







 

 





  



^









 1

0

1 2 2

0

2 2 2

)!

1 2 2 ) ( 1 ( )! sen

2 2 ) ( 1 ( cos )!

2 (

sen

.

FORMULA DI TAYLOR

Per ciascuna delle seguenti funzioni, scrivere il polinomio di Taylor di ordine n nel punto x0:

H.1 f(x) = e^2x; x0 = 0; n = 5. H.2

cos2 )

( x

x

f  ; x0 = 0; n = 5.

H.3 f(x) = 2^x; x0 = 0; n = 3. H.4 f(x) = e^x; x0 = 1; n = 4.

H.5 x x

f 1

)

(  ; x0 = 1; n = 4. H.6 f(x) = log(5+x); x0 = 0; n = 3.

H.7 f(x) = cos x  log(1+x); x0 = 0; n = 5. H.8 f(x) = sen⁴(x); x0 = 0; n = 7.

H.9 f(x) = cos log(1+x); x0 = 0; n = 6.

SERIE

Determinare il carattere delle seguenti serie:

I.1



^

 



0 2 1

1

n n

n . I.2



^

 



0 3 1

1

n n

n . I.3



^

1 3 log 2

n n n n

n .

I.4



^

¹  ²

3

log

n n n n

n . I.5



^



 

 











0 2

2

1 3 log 2

n

n

n

n

. I.6



^



 

 











0 3

3

2 log 4

n

n

n

n

.

I.7



^

13 log 2

n n n

n . I.8



^

1 log 1

n n n I.9



^

   











1 3 2

4 5 4 3 2

1 7 2

arctg 1 8

n

n

n n n

n n

n n

n _.

I.10



^





1 4

1

n n

n . I.11



^

     



19 14 12 6 2

3 2

)

! ( arctg 3

2 1

n n n n n n

n . I.12



^

1 logsenh cotgh

n n

n

I.13



^

2 5

7

log 1

n n n ^I.14



^

3 log loglog 1

n n n n I.15



^

2 2 log

1

n n n

I.16



^

2  3 3 

2

) 1 ( log ) 2

n (n n

n I.17



^

1 ( 1)log( 1)

n n n

n

e e

e I.18



^

1 3

)!

3 (

)

! (

n n

n

I.19



^

1

! 2

n n

n

n

n I.20



^

1 ( !)2 n

n

n

n I.21



^







1 (2 )!

2

!

n

n

n n n

I.22 Discutere la convergenza della serie



^

 

1 log

1

n n al variare del parametro reale .

I.23 Discutere la convergenza della serie



^

1 ^

1

n ne al variare del parametro reale .

I.24 Calcolare la somma della serie



^

 













2 1

1

) 1 )(

1 (

1

n n n

n n n

e e

e ne

ne {Suggerimento: sommare e sottrarre n al numeratore}.

I.25 Calcolare la somma della serie



^

 





1 2

)!

1 (

1

n n

n

n {Suggerimento: n² + n  1 = n² + 2n + 1  (n + 2)}.

I.26 Calcolare la somma della serie



^

₀ 4 ² 16 15 1

n n n .

I.27 Calcolare la somma della serie



^

09 2 21 10 1

n n n .

I.28 Calcolare la somma della serie



^

016 2 40 21 1

n n n .

I.29 Calcolare la somma della serie



^

025 2 45 14 1

n n n .

I.30 Calcolare la somma della serie



^

1 ( 1)  1

1

n n n n n .

I.31 Verificare che per qualunque valore del parametro positivo a la serie



^

  





1 2 1

1 log 2

n a n

n

a diverge.