Esercizi di Calcolo 1
Ingegneria Informatica canale A-K (corso tenuto dal dott. B. Palumbo)
A.A. 2006-07 II parte
LIMITI
1.
x x
x x
x
cos 9 cos
3 cos 7
lim cos
2
2.
12 2
39
11 3 lim 11
5
x x
x x
x 3.
13 4 59 4
25 18 lim 5
4
5
x x
x x
x
4. 2
7 10 1 3
lim 5 3
3 2
2
x
x x
x
x 5.
2 3
1 lim sen
2
3
x
x
x 6.
x
x
x
6 arcsen 1 lim 2
2 1
7.
4 1
4 arctg lim 4
4
1
x
x
x 8. x
lim
x2 3
x 2
x2
x 5
9. x
lim
3x
3 3 x
2 6 x 8
3x
3 12 x
2 5 x 11
10. Modificare l'esercizio 9, sostituendo il secondo radicale con 3 x3ax2 bxc ; dimostrare che il limite è uguale a 3
3 a
, indipendentemente dai parametri b e c.
11. x
x x
x 2 3
5 8 lim 3
2
12.
1
8 15 lim 6
2 3
1
x
x x x
x 13.
7 3
1 17 5
lim 8
3 3 2
x
x x
x
x
14. Verificare (applicando solo la definizione) che
1 lim
21
2
x x
x
x .
15. Verificare (applicando solo la definizione) che
2 1 2 lim 4
22
x
x
x .
16. Verificare (applicando solo la definizione) che
4
lim
2
x x
x .
17. Verificare (applicando solo la definizione) che
2 1
lim
2
x x
x .
18. Siano f e g due funzioni definite in un intorno bucato I di a, sia
g x M
a
x
( )
lim
, supponiamo che esista finito) ( lim f x
xa , e sia inoltre f(x) < g(x) in tutto I; dimostrare che
lim f ( x )
xa M. {Suggerimento: se per assurdo fosse
M L x
a
f
x
( )
lim
...}19. Siano f e g due funzioni continue nell'intervallo [a , b], sia f(a) < g(a) ed f(b) > g(b). Dimostrare che esiste almeno un c in (a , b) per il quale f(c) = g(c). {Suggerimento: considerare la funzione h(x) = f(x) g(x)}.
20. Risolvere le seguenti disequazioni (risolvere quelle goniometriche in [0 , 2]):
a) 3x123x b) 3x4 3 5x c) 0
2 28
9 6
4
x x
x x
d) 12sen3x36cos3x5sen2xcosx12senxcos2x29cosx e) 72
2 sen 60 sen 48 cos 83 cos
115 2x x x x
f) 37sen2x9senxcosx2 g) 61cos2x6senx160cosx6745sen2x
h) x10 15x 1 i) x12 1x 9x2 0
21. Studiare le seguenti funzioni:
a) f(x)x5 x2x3 b) f(x)x4 233xx2 c) f(x)5 x5x48x312x2 d) f(x)2sen3xsen2x e)
4 arctg 3 4 ) 7 25 6 log(
)
( 2 x
x x x
f
22. Calcolare le radici quarte del numero complesso z = 1081 + 840i. {Suggerimento: 1369 = 372.}
23. Determinare l'unica soluzione in C dell'equazione z z1i 2.
24. Dimostrare che l'equazione 1
2 settcosh 1 5
3 2 2
3 2
x
x x x
ammette una ed una sola radice reale.
25. Dimostrare che per ogni x nell'intervallo
;3 2
5 vale l'identità
) 4 11 4 ( arcsen 2
5 1 2
arcsen x x .
26. Determinare il valore del parametro reale per il quale la funzione
0 per
0 per sen )(
23/x x x
x x
f
risulta continua in tutto R,e stabilire inoltre se essa risulta derivabile in x0 = 0.
SOLUZIONI
1. 1 2.
64
161 3.
85 364 4.
27
13 5. 0 6.
6
3 7. 2 8. 1 9. 5 11.
3
3 12. 3 per x 1+, 3 per x 1.
13. 3 2
14.
2
3 2 1
1 2
N , con la condizione 0 < < 1. 15.
2
N 2 , con la condizione 0 < < 2.
16. 2
16
2 M
M
NM M . 17. NM M M2M .
20. a) 16
3 1
x ; b) 4 < x 5; c) 28 x < 3 3 < x < 5;
d) 0 x 4
3 arctg1 4
arctg7 x
4 arctg7 4
5
x 2
3 arctg1
2 x ;
e)
13
arccos 5 5
arcsen4 x
17 arcsen15 25 2
arccos 24
x ;
f) 5
arctg2 7
arctg1 x
5 arctg2 7 2
arctg1
x ; g)
13
arccos 5
x
2 3 17
arccos 15
x ;
h) 10 x < 6; i)
9 3 2
x .
21. a) D = R; f(x) < 0 per x < 2, f(x) > 0 per x > 2; asint.
2
11
y e
2 2 9
x
y ; nessun massimo, minimo o flesso (f sempre crescente).
b)
2
101 ,3
2 101
D 3 ; f(x) < 0 per 1
2 7
x ; nessun asintoto; min
2 202
;11 4
202
6 .
c) D = R; f(x) > 0 per x > 3; asint.
5
1
x
y (intersezione con asintoto di ascissa circa 1,43745, ma non si può
determinare con metodi elementari); max (cuspidi) (2 ; 0) e (0 ; 0), min di ascisse 5
69
3 , flesso ascendente a tangente verticale (3 ; 0).
d) D = [0 , 2]; f(x) < 0 per
6 11 6
7
x ; min (0 ; 0), ( ; 0),
1 2 ;
3 , (2 ; 0); max
;3
2 ,
27
; 1 3
arcsen1 ,
27
; 1 3 arcsen1
2 .
e) D = R; nessun asintoto; min
8 arctg7 4 7 4 log113 2;
1 . Non è possibile inizialmente determinare eventuali
zeri e segno della funzione, ma dalla monotonia si deduce che f è sempre positiva.
22. z1 = 6 + i; z2 = 1 + 6i; z1 = 6 i; z1 = 1 6i. 23. z = i.
26. = 0; f non è derivabile in 0.
