Esercizi di Calcolo 1 Ingegneria Informatica canale A-K (corso tenuto dal dott. B. Palumbo) A.A. 2006-07

Esercizi di Calcolo 1

Ingegneria Informatica canale A-K (corso tenuto dal dott. B. Palumbo)

A.A. 2006-07

LIMITI

1. ^lim_x0 ^sen_sen13^7x_x^_^sen_sen⁵_x^x 2.

2 18

5 1

lim 25

2   







 x x

x x

x 3.

1 19

3 3

lim 13

3   







 x x

x x

x

4. 26 3 2

1 1 2 lim 5

3 2

1   









 x x

x x

x

x 5.

x

x

x

1 tg

lim 4

4







 6.

 



 

3 2 1 cos lim 2

3

2

x

x

x

7. Verificare (applicando solo la definizione) che 





 3

lim x

x

x .

8. Verificare (applicando solo la definizione) che  



 x

x

x

lim1 .

9.

1

lim sen

0



 x

x e

x 10.

x x x

x

4

lim

₂

1024

5

4







 11.

x x

x x x

x

4

lim

₂

2

4









12. ^

x   x

x

2

lim cotg

2

13. ₀ 2arccos₃ 3

lim x

x

x





 14.

1 1 lim ₂ 2

2

1 







 x

x x

x

15. x x

x x

x 





 3

) 18 lim (

2

5 16.

3 4 3 2

3 2

4 12 48 64

3 24 lim 80

x x

x x

x x x

x   









 17.

x

x

x

1 2

arcsen lim

2

1





18. x x

x x

x ( 3)log

lim 8

2 3

3 



 19.

x x

x x

x

4 23

80 lim

⁴

11

₃ ²









 20.

3 4 6

5 14

3 lim 2

x x

x x

x 









21. log 1

) log (

arctg lim

2





 x

x x

e

x 22.

1 ) 1 ( arctg

lim 2 





 x

x

x 23. _{2 2/3}

5 / 1 4 / 3 3 /

8

2

lim

x x

x x x

x











24. Siano f e g due funzioni definite in un intorno bucato I di a, e sia

lim ( )  0



f x

a

x ; sia inoltre g limitata (esiste quindi un M positivo tale che |g(x)| < M per ogni x  I). Dimostrare che

lim ( ) ( )  0



f x g x

a

x . Vale ancora un risultato

analogo se f tende ad un limite finito L diverso da 0?

{Suggerimento: fissato  > 0, applicare la definizione di limite scrivendo alla fine M

 al posto di .}

25. Dire se è valido il seguente inverso del teorema della permanenza del segno: se f è continua in un intorno bucato di a, e se esiste

f x L

a

x





( )

lim

, allora deve essere L > 0.

TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE ED APPLICAZIONI

1. Dire se il teorema di Bolzano - Cauchy è applicabile alla funzione

5 3 1

] ) [

(

2 

  x x x

f nell'intervallo 

 2 ,3

1 , e in

caso affermativo determinare i punti c che verificano la tesi del teorema.

2. Dire se il teorema di Weierstrass è applicabile a ciascuna delle seguenti funzioni negli intervalli indicati:

f(x) = x² nell'intervallo [0 , +);



 





 

0 per 0

0 per 1 )

(

²

x x x

x

g nell'intervallo [1 , 1];













 

0 per 0

1 0

per log

1 )

(

x

x x x

x

h nell'intervallo 

 e

;1

0 .

3. Esistono intervalli in cui il teorema dei valori intermedi è applicabile alla funzione f(x) = [x]?

4. Estendere il teorema dei valori intermedi come segue: sia f continua nell'intervallo [a , +), e sia

lim f ( x )

x uguale ad un numero finito L diverso da f(a) (si può supporre ad esempio f(a) < L); allora, per ogni k compreso tra f(a) ed L, esiste almeno un c  (a , +) tale che f(c) = k.

{Suggerimento: applicare dapprima la definizione di limite con  = L  k; scegliere quindi un p opportuno ed applicare il teorema dei valori intermedi all'intervallo [a , p].}

5. Estendere il teorema dei valori intermedi come segue: sia f continua nell'intervallo [a , b), e sia _

 



( ) lim f x

b

x ;

allora, per ogni k maggiore di f(a) esiste almeno un c  (a , b) tale che f(c) = k.

{Suggerimento: applicare dapprima la definizione di limite infinito con M = k; scegliere quindi un p opportuno ed applicare il teorema dei valori intermedi all'intervallo [a , p].}

6. Dopo aver osservato che l'estensione del teorema dei valori intermedi vista nell'esercizio precedente si dimostra in modo analogo per una funzione f continua in (a , b] e tale che _

 



( ) lim f x

a

x , dimostrare il seguente teorema: se f è continua in (a , b), e se risulta

 

 

( ) lim f x

a

x e

 

 

( ) lim f x

b

x , allora per ogni k reale esiste almeno un c

 (a , b) tale che f(c) = k. Da ciò dedurre che l'equazione tg x + x = k ammette almeno una radice compresa tra

2

  e 2

 comunque si fissi k reale.

7. Siano f e g due funzioni continue in uno stesso intervallo I = (a , b). È possibile che la disuguaglianza f(x)  g(x) sia verificata in un solo punto di I?

8. Dire se la seguente affermazione è vera o falsa: se una funzione f è continua in [a , b], e se risulta f(a) > 0 ed f(b) > 0, allora f non si annulla in nessun punto di (a , b).

DISEQUAZIONI

{Nota: le disequazioni goniometriche vanno risolte in [0 , 2].}

1. ₃₀⁵⁴_sen^sen_x^x_^₄₇^{51 cos2x} 2. ^{2cosx9senx60}

3. ^{11cosx23senx170} 4. ^{29senx15cosx21}

5. ^{31cos2x12senxcosx18cosx9senx90} 6.

x x x

x x

x 14cos 29sen 10sen3 37sen sen2

sen³  ³   

7. 30 0





 x x

x

x 8. 0

85 1 2

3 4

2 













x x

x x

9. x5 x 1 10. 2

3 4 2

3x  x 

11. 6x19  73x  112x 12. 0

8 6

3

1 4

2 











 x x

x x

GRAFICI DI FUNZIONI

1. ^{f(x) 4x2 5e3x} 2. ^{f(x)  4x2 3e2x} 3. f(x)⁵ 9x⁴ 28x³20x²

4. x

x x x

f 2

) (

2  

 5.

1 8 ) 3

( 2

2





  x

x x x

f 6.

5 4

31 ) 8

( 2

2







 

x x

x x x

f

7. 4 4 5 ) 2

( 2 

 

x x x x

f 8. ^{f(x) x(x3)(x5)} 9. ^{( )} 2 ₄⁴₄

 

x x x x f

10.

2

arctg 3 13 4

6 3 ) 7

(

₂

 





 

x

x x x x

f 11.

4 arccos 1 2 2

15 )

(    ²  x

x x x

f

12.

3

arctg 2 13

4 1 ) 4

(

₂

 





 

x

x x x x

f 13.

3 arcsen 2 3 4

5 2 )

(    ²  x

x x x

f 14. ^{f(x) (x}_x³⁾⁽_^x₃^2)

15. 2

1 ) 4

( 2 

 

x x x x

f 16.

3 1 arcsen2 8

2 19 4

10 ) 21

(     ²  x

x x x

x f

17. 1

1 arctg2

)

( 

 

x x x

f 18. ^{f(x)arcsen}₁¹_^ _x^x 19.

1 2 4

2 2 ) 3

( 2

2







 

x x

x x x

f

20. ( ) 2 3

2 2



 

x x x x

f 21.

43 16 4

19 ) 2

( 2

2





 

x x x x

f 22.

7 2 4 ) 5

( 2

2





 

x x x x

f 23. log( 2 2) 4arctg( 1)

2 ) 3

(x  x²  x  x

f 24. log( 6 10) 12arctg( 3)

2 ) 5

(x  x²  x  x

f

25. 2 8

2 ) 2

( ₂

2







 

x x

x x x

f ^26.



 











^





1 per 0

1 per )

(

^{( )12}

2

x x x e

f

^x

x

NUMERI COMPLESSI

1. Calcolare le radici quarte del numero complesso z = 527 + 336i.

2. Dimostrare che, se z e w sono due numeri complessi qualsiasi, il coniugato della loro differenza è uguale alla differenza dei coniugati.

3. Dopo aver risolto l'equazione |z|² + 5z + 10i = 0, calcolare le radici quadrate di ciascuna delle radici così trovate.

4. Determinare tutti i numeri complessi z per i quali z

 z  1

^. 5. Calcolare



^{1i 3}



^14.

6. Calcolare le radici seste di z = 1.

ESERCIZI VARI

1. Dimostrare che l'equazione

) 2 1 log(

1

arctg x  x   ammette una ed una sola radice reale.

2. Dimostrare che l'equazione

3 settsenh 1 5

10 2 )

5

(  ²   x

x x

x ammette una ed una sola radice reale.

3. Sia f(x)e^2x x³, con x  R. Detta g l'inversa di f, determinare il dominio di g e calcolare la derivata di g, precisando se g è derivabile o no in tutto il suo dominio. Dimostrare quindi che l'equazione g(x) + x ammette una ed una sola radice reale. {Suggerimento: calcolare preventivamente per tentativi g(1) e





 



 1 1

e2

g .}

4. Determinare il valore del parametro reale  per il quale la funzione

 

 









 









1 per

}1 { )2 ,0 ( per 1

log 2 3 )

(

2

x x x

x x

x x

f

risulta continua in tutto l'intervallo (0 , 2). Studiare inoltre la

derivabilità di f in (0 , 2).

5. Sia



 





 







 



.0 per 0

)1 2 2(

0 per ) 1 tg ) (

(

1

x

k x x

x x e

f

^x

Si dimostri che alla funzione f è applicabile il teorema di Rolle sull'intervallo 

 

;4

0 . Si applichi quindi tale teorema per dimostrare che l'equazione (1  tg x)cos² x = x² ammette almeno una soluzione in 



 



 

;4

0 .

6. Determinare il valore del parametro reale  per il quale la funzione

 

 







 



 

1 per

1 per 1

3 4 5 ) (

2

x x x

x x

x

f

^risulta

continua in tutto R. Determinare inoltre il campo di derivabilità E di f e calcolare f'(x) per ogni x  E.

7. Dimostrare che per ogni x nell'intervallo [1 , 2] vale l'identità

) 4 3 2 ( arcsen 2 1 1

arcsen 







 x

x .

8. Dimostrare che la funzione ^{f(x)(x2) x24x37log}



^{(x2) x24x3}



^10 assume valori positivi per ogni x nell'intervallo [5 , +).

9. Dire se il teorema di Lagrange è applicabile alla funzione f(x) = |x|³ + |x  3| nell'intervallo [1 , 3], ed in caso affermativo determinare i punti c che verificano la tesi del teorema.

10. Dimostrare che per ogni x nell'intervallo [4 , 5] vale l'identità

) 2 9 2 ( arcsen 5

2arcsen 







x x .

11. Sia f(x) = x + 3  2 cos x, per x  D = [0 , 2]. Verificare che f è invertibile in D, ed indicare con g la sua inversa.

Dimostrare quindi che l'equazione g(x) = 7  2x ammette una ed una sola radice nell'intervallo (0 ,  + 5).

12. Dimostrare che in tutto l'intervallo ( , 1] vale la disuguaglianza 10

6 )

9 ( 11 ) 3 ( settsenh

15 x   x x²  x . 13. Dimostrare che l'equazione

2 1 2 log 1

2 

 

x x ammette una ed una sola radice reale.

14. Sia



 







^



;0 per 0

0 per )

(

²

1

x x x e

f

^x verificare che f⁽ⁿ⁾(0) = 0 per ogni n  0.

15. Determinare l'unico polinomio P per il quale P'(x)  3P(x) = 4  5x + 3x².

16. Se T(x) è un generico polinomio di secondo grado mx² + nx + p (con m  0), esiste sempre uno ed un solo polinomio P tale che P'(x)  3P(x) = T(x)?

17. Dimostrare che per ogni x > 1 vale l'identità

4 1

arctg1

arctg  



 

x

x x .

18. Dimostrare che l'equazione

) 3 1 log(

1

arctg x  x   ammette una ed una sola radice reale.

19. Sia

 

 







 



.0 per 0

1 0 per log

1 8 ) (

3

x x x x x f

Determinare l'insieme di continuità e di derivabilità di f; quindi dimostrare, senza applicare il teorema di Bolzano - Cauchy, che l'equazione 24x³ log x  8x³ + 1 = 0 ammette almeno una soluzione in 



 



 2

;1

0 _.

20. Determinare i valori dei parametri a, b, c, d per i quali la funzione

 

 

























1 per log

1 2 log per

2 per 2

)

(

^{3 2}

x x

x d

cx bx ax

x x

f

x

è continua in tutto R.