PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA A.A. 2007/08 - Ingegneria Meccanica
(corso tenuto dal dott. B. Palumbo) PRIMA PARTE
RICHIAMI DI MATEMATICA ELEMENTARE
Algebra elementare, scomposizioni di polinomi, equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, intere e fratte. Principali proprietà delle funzione goniometriche. Funzioni goniometriche inverse e loro uso nella risoluzione di equazioni goniometriche.
NUMERI REALI
Cenni sui vari insiemi numerici: naturali, interi, razionali, reali. Operazioni possibili nei vari insiemi. Rappresentazione decimale. Numeri periodici e frazioni generatrici. Proprietà dei numeri reali. Maggioranti e minoranti di un insieme. Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Assioma dell'estremo superiore. Teorema di caratterizzazione dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore. Cenno sulla densità dei razionali nei reali. Principio di induzione. Dimostrazioni per induzione. Simbolo di sommatoria e produttoria.
LIMITI E CONTINUITÀ
Concetto intuitivo e definizione rigorosa di funzione. Dominio e codominio. Rappresentazione grafica di una funzione reale di variabile reale. Alcuni grafici di importanti funzioni elementari.
Concetto intuitivo e definizione rigorosa di limite finito per x a finito. Esempi di verifica di un limite con la sola definizione. Teoremi sui limiti: unicità, permanenza del segno, limite di una somma, limite di un prodotto (senza dim.) e di un quoziente (senza dim.). Funzioni composte.
Funzioni continue in un punto e in un intervallo. Calcolo pratico di limiti. Punti di discontinuità.
Limite di sen x / x ed applicazioni. Limiti infiniti e limiti all'infinito. Ordine di infinito.
Comportamento all'infinito del logaritmo e dell'esponenziale. Teorema dell'esistenza degli zeri per le funzioni continue (senza dim.), teorema del segno costante ed applicazione alla risoluzione di disequazioni di tipo qualsiasi.
CALCOLO DIFFERENZIALE
Derivata di una funzione in un punto e suo significato geometrico e fisico. Derivate di alcune funzioni elementari. Regole per il calcolo delle derivate (senza dim.). Derivata di una funzione composta (senza dim.). Teorema di monotonia delle funzioni derivabili (senza dim.). Massimi e minimi relativi. Punti di flesso a tangente orizzontale. Determinazione di massimi, minimi e flessi a tangente orizzontale tramite lo studio del segno della derivata. Metodi per la determinazioni di asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Studi di funzioni. Casi di funzioni con punti isolati di non derivabilità: punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale.
