{t0 è un punto di massimo locale di B

IV Appello di Analisi Stocastica Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

22 settembre 2009 Matricola:

Nella risoluzione degli esercizi è possibile utilizzare tutti i risultati enunciati a lezione, anche quelli non dimostrati.

Esercizio 1. Sia {B_t}_t∈[0,∞) un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità (Ω, F , P). Per t0, ε ∈ (0, ∞) definiamo gli eventi

A_t0,ε := {B_t0+h ≤ B_t0, ∀h ∈ [0, ε]} , M_t0 := {t₀ è un punto di massimo locale di B} . (a) Si spieghi perché vale l’inclusione di eventi M_t0 ⊆S

n∈NA_t0,1/n. (b) Si mostri che P(A_t0,ε) = 0, per ogni t₀, ε ∈ (0, ∞).

[Sugg.: si sfrutti opportunamente la legge del logaritmo iterato.]

(c) Si deduca che P(M_t0) = 0, per ogni t₀ ∈ (0, ∞).

(d) Si mostri che P(nessun punto di Q ∩ (0, ∞) è un punto di massimo locale di B) = 1.

(e) (*) Si mostri che P(nessun punto di (0, ∞) è un punto di massimo locale di B) = 0, cioè per q.o. ω ∈ Ω esiste (almeno) un punto t₀(ω) ∈ (0, ∞) di massimo locale per B.

Soluzione 1. (a) Se ω ∈ M_t0 significa che t₀ è un punto di massimo locale per la funzione t 7→ Bt(ω), cioè esiste ε > 0 tale che Bt0(ω) ≥ Bt(ω) per ogni t ∈ [t0− ε, t₀+ ε]. Scegliendo n ∈ N tale che 1/n < ε, si ha in particolare che Bt0+h(ω) ≤ B_t0(ω) per ogni h ∈ [0, 1/n], il che equivale a dire che ω ∈ A_t0,1/n. Questo mostra l’inclusione M_t0 ⊆S

n∈NA_t0,1/n. (b) Se ω ∈ A_t0,ε si ha per definizione B_t0+h(ω) ≤ Bt0(ω) per ogni h ∈ [0, ε]: in particolare,

lim sup_h↓0^{√Bt0+h(ω)−Bt0(ω)}

h√

2 log log(1/h) ≤ 0. Questo mostra che vale l’inclusione di eventi At0,ε⊆





 lim sup

h↓0

Bt0+h− B_t0

√ h

q

2 log log¹_h

≤ 0





 .

Per la legge del logaritmo iterato, l’evento nel membro destro ha probabilità nulla, da cui segue che P(A_t0,ε) = 0.

(c) Dai due punti precedenti segue che P(M_t0) ≤P

n∈NP(A_t0,1/n) = 0.

(d) L’evento {nessun punto di Q ∩ (0, ∞) è un punto di massimo locale di B} coincide con T

t0∈Q∩(0,∞)M_t^c₀. Dato che P(M_t^c

0) = 1, la conclusione segue dal fatto che l’intersezione numerabile di eventi di probabilità 1 ha probabilità 1.

(e) Sappiamo che q.c. il moto browniano cambia segno infinite volte in ogni intorno destro di zero: in particolare, per q.o. ω ∈ Ω esiste t₁(ω) ∈ (0, ∞) tale che B_t1(ω)(ω) < 0. Dato che il moto browniano ha traiettorie q.c. continue, per q.o. ω ∈ Ω la funzione t 7→ B_t(ω) ammette massimo nell’intervallo [0, t₁(ω)] e tale massimo è strettamente positivo. Se t₀(ω) denota un (qualunque) punto di massimo, chiaramente t₀(ω) ∈ (0, t1(ω)) (perché il valore del massimo assunto è strettamente positivo) e dunque t₀(ω) è un punto di massimo locale.

Esercizio 2. Si consideri la seguente equazione differenziale stocastica:







dX_t = 1

2 + cos(Xt)dB_t +

 1

2 + cos(Xt) + sin(Xt) 2(2 + cos(Xt))³

 dt X₀ = 0

.

(a) Si mostri che per l’equazione c’è esistenza di soluzioni forti e unicità per traiettorie.

Fissiamo ora uno spazio filtrato standard (Ω, F , {F_t}_t∈[0,∞), P) su cui è definito un {Ft}_t∈[0,∞)- moto browniano reale B = {B_t}_t∈[0,∞). Indichiamo con X = {X_t}_t∈[0,∞) l’unico (a meno di indistinguibilità) processo continuo e adattato definito su Ω che risolve l’equazione data.

(b) Si mostri che, per ogni γ ∈ R, il processo Y = {Yt}_t∈[0,∞) definito da Yt := Xt + 1

2sin(Xt) − γ t (1)

è un processo di Itô e se ne determini il differenziale stocastico.

(c) Si determini il valore di γ ∈ R per cui il processo Y è una {Ft}_t∈[0,∞)-martingala locale e si mostri che, per il valore di γ trovato, si ha in effetti Y_t= ¹₂B_t.

(d) Sfruttando opportunamente la relazione (1), si mostri che q.c. lim_t→+∞^X_t^t = ¹₂.

Soluzione 2. (a) Entrambe le funzioni ϕ(x) := 1

2 + cos(x), ψ(x) := 1

2 + cos(x) + sin(x) 2(2 + cos(x))³ ,

sono ben definite su tutto R, poiché 2 + cos(x) ≥ 1 per ogni x ∈ R, sono derivabili con continuità su tutto R (in effetti sono C^∞) e sono periodiche (di periodo 2π). In particolare, le funzioni ϕ, ϕ⁰, ψ, ψ⁰ sono limitate, in quanto continue e periodiche: esiste cioè M ∈ (0, ∞) tale che

|ϕ(x)| ≤ M , |ψ(x)| ≤ M , |ϕ⁰(x)| ≤ M , |ψ⁰(x)| ≤ M , ∀x ∈ R . Per il teorema di Lagrange segue dunque che, per y ≥ x,

|ϕ(y) − ϕ(x)| =    

Z y x

ϕ⁰(z) dz    

≤ Z y

x

 ϕ⁰(z)

dz ≤ Z y

x

M dz = M |y − x| ,

e analogamente per y ≤ x. Lo stesso vale per ψ, quindi entrambe le funzioni ϕ, ψ sono globalmente lipschitziane. Sono dunque soddisfatte le condizioni del teorema di esistenza di soluzioni forti e di unicità per traiettorie.

(b) Y è un processo di Itô in quanto è funzione C² (in realtà C^∞) di (t, X_t). Applicando la formula di Itô si ottiene

dY_t = dXt + 1

2cos(Xt)dXt − 1

4sin(Xt) dhXit − γ dt

= 1 +¹₂cos(Xt)

2 + cos(Xt) dB_t +

 1 +1

2cos(Xt)

  1

2 + cos(Xt) + sin(Xt) 2(2 + cos(Xt))³

 dt

− sin(Xt)

4(2 + cos(X_t))²dt − γ dt

= 1

2dB_t +  1 2− γ

 dt .

(c) Ill termine a variazione finita nel differenziale stocastico di Y si annulla se e solo se γ = ¹₂. In questo caso si ha dY_t= ¹₂dB_t e dato che Y₀ = 0 si ottiene Yt= ¹₂Bt.

(d) Per la legge dei grandi numeri per il moto browniano si ha B_t/t → 0 q.c. per t → ∞ (come segue anche dalla legge del logaritmo iterato). Consideriamo ora la relazione (1) per γ = ¹₂: dividendo ambo i membri di per t e prendendo il limite t → ∞, dal momento che Y_t= ¹₂Bt si ottiene q.c.

0 = lim

t→∞

Y_t

t = lim

t→∞

X_t+ ¹₂sin(X_t) t

!

− 1

2 = lim

t→∞

X_t t − 1

2, cioè lim_t→∞^X_t^t = ¹₂ q.c..